一類帶有Size結構競爭種群系統平衡解的穩定性條件

張 惠，趙 春

（天津師范大學數學科學學院，天津300387）

生物種群對人類具有十分重要的價值，國內外學者對考慮年齡結構的種群進行了系統研究，并取得了豐碩的成果[1-3].但關于帶有Size結構種群系統的研究并不多.所謂個體Size是指表征個體的一些指標，如長度、體積、直徑等.1967年，Sinko等首先提出了具有Size結構的種群模型[4]，引起了相關學者的廣泛關注.文獻[5—7]應用特征方程的方法分別討論了幾種不同的Size結構模型的穩定性；文獻[8]應用算子半群方法研究了一類Size結構解的正則性和穩定性；文獻[9]利用算子半群理論對幾類模型進行了分析.文獻[6]和[7]分別討論了帶有收獲和遷移的具有Size結構種群模型，證明了模型平衡解的存在唯一性，并利用特征方程給出了平衡解的穩定性條件.而這些模型都是具有Size結構的單種群模型，本研究考慮如下帶有Size結構競爭種群模型：

其中：Q=[0，G]×[0，∞]；固定常數G＞0表示個體的最大Size；pi（s，t）表示第i個種群在t時刻Size為s的種群密度；ki（s）為第i個種群個體的增長率；Pi（t）表示在t時刻第i個種群的總量；βi（s，Pi（t））、μi（s，P1（t），P2（t））分別表示依賴于種群總量的出生率、死亡率；fi（s）表示第i個種群個體遷移；i=1，2.

本研究假設：

（H1）對任意的s∈[0，G]，f（is）＞0，f（i·）∈L1[0，G]，且f（is）為連續函數；

（H2）對任意的并且 μi關于第2、第3變量Lipschitz連續，即存在L＞0，使得對所有的 s∈[0，G]都成立；

（H3）對任意的x∈[0，∞），0≤β（is，x）＜ ∞，β（i·，x）∈L1[0，G]，并且 βi關于x單調遞減并且Lipschitz連續，即

對所有的s∈[0，G]都成立，其中L同（H2）中定義；

（H4）對任意的s∈[0，G]，0＜k（is）＜ ∞，k（is）連續可微且

（H5）對任意的s∈[0，G]，0≤p0i（s）≤Mi，i=1，2，Mi為常數.

若模型（1）有一個平衡解p*（s）=（p1*（s），p2*（s）），則該平衡解滿足如下方程組：

由方程組（2）的第1個方程可得

將式（4）帶入方程組（2）的第2個和第3個式子可得（i=1，2）

1 平衡解的存在唯一性

易知引理1成立.

引理1若方程組（5）存在唯一的正解（p（*0），P*），則系統（1）存在唯一非平凡平衡態p（*s）.

引理2 設（H4）成立，則存在常數、，使得pi（*0）、Pi*滿足

證明 由方程組（5）的第1式可得

由上式可得

故有

由方程組（5）的第2式可得

引理得證.

定義范數‖A‖=|a11|+|a12|+|a21|+|a22|.

引理 3 定義映射，Φ：Ω?R4→R4，ΦA=Y，則存在某個常數 M，使得?A1，A2∈Ω，有‖ΦA1-ΦA2‖≤M‖A1-A2‖，其中

證明 由于A∈Ω，則有

其中 N11、N12、N21、N22如引理中定義.令 M=max{N11，N12，N21，N22}，由 R4上范數定義知

‖Y1-Y2‖=‖ΦA1- ΦA2‖≤M‖A1-A2‖引理得證.

2 特征方程

先將系統（1）線性化，將μi（s，P1（t），P2（t））Taylor展開，省略高階項，有

μi（s，P1（t），P2（t））=μi（s，P1*，P2*）+μ′iP1（s，P1*，P2*）（P1（t）-P1*）+μ′iP2（s，P1*，P2*）（P2（t）-P2*）由模型（1）的第1式可得

同理，將βi（s，Pi（t））Taylor展開，并將pi（s，t）=ui（s，t）+pi*（s）代入模型（1）的第2個式子和方程組（2）的第2個式子，可得

對式（16）求解，可得Ui（s）的表達式：

由式（19）～式（22）可得

對式（23）作變換.將其第1式乘以A33（λ1）-1，第3式乘以A13（λ1），并將二者作差，得

將式（23）的第2式乘以A44（λ2）-1，第4式乘以A24（λ2），并將二者作差，得

方程組（24）存在非平凡平衡解，當且僅當其系數行列式為0.

由上述討論可得如下定理：

定理2線性系統（14）和（15）存在唯一形式解ui（s，t）=Ui（s）eλit，當且僅當λ1、λ2是特征方程

的解.

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