概率論在醫學上的應用案例教學設計

陳志明 杜新滿

【摘要】概率論的教學，學生普遍感覺難學難懂，枯燥乏味，該文通過兩個案例的教學，說明概率論在醫學上的應用十分廣泛，且對科學研究有很重要的指導意義。提高了學生學習興趣，同時也說明案例教學是當今職業教育教學改革的必然選擇。

【關鍵詞】概率；隨機變量

文章編號:ISSN1006—656X(2013)06?-0136-02

一、教學分析

本次課是在學生學習了獨立重復試驗的概率及離散型隨機變量的概率分布與數字特征的基礎上進行的，是對概率論相關知識在生活中應用的廣泛性的初步認識。概率論的內容學生普遍感覺難學難懂，枯燥乏味，大部分學生認為自己到醫學院學習，是以學習醫學知識為主，數學知識作用不大，尤其對純理論的內容缺乏興趣。如果用實例進行教學可以激發學生積極參與課堂教學，體現知識的實用性、趣味性；也是“教、學、做合一”的教學理念的體現。教學中力求實現以教師為主導，以學生為主體，以知識為載體，以培養學生的思維能力，動手能力，探究能力為重點的教學思想。

二、教學過程

前面我們學習了概率論的一些基礎知識，今天這次課要用這些知識幫助一位醫生判斷藥物的療效。

案例一：藥物療效的判斷

一個醫生知道某種疾病患者自然痊愈率為0.25，為了試驗一種新藥是否有效，把它給10個病人服用。他事先規定一個決策規劃：若這10個病人中至少有4人被治好，則認為這種新藥有效，提高了治愈率；反之，則認為無效。求：（1）雖然新藥有效，并把痊愈率提高到0.35，但通過試驗卻被否定的概率；（2）新藥完全無效，但通過試驗卻被判斷為有效的概率。

學生仔細閱讀案例，并開始討論案例含義，討論后請學生大膽表達自己的理解。

先解決（1）：對（1）而言，實際上是說新藥是有效的，并且把痊愈率提高到0.35 ( 包括自然痊愈率在內)。由于決策規劃是10個病人中至少有4人被治好，則認為新藥有效。通過試驗卻被否定，意思是10個病人服用后，最多只有3人被治好，因此，只好認為此藥無效，這顯然是做了錯誤的判斷（按數理統計的語言來說，犯了第一類錯誤，或叫棄真錯誤），計算犯這錯誤的概率。

故此問題轉化為：某新藥對某疾病的痊愈率為p =0.35，求10個病人服此新藥后，最多只有3人被治好的概率是多少？（建立數學模型）

這樣轉化后，就把一個實際生活問題變成一個純數學問題。而此數學問題正好符合貝努里概型。

一般地，如果在每次試驗中事件A發生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率

由于獨立重復試驗的概率由瑞士數學家貝努里首先研究，所以，上述公式也叫貝努里概型公式。

（讓學生找出所求問題與貝努里概型之間的聯系）

10個病人服藥可以認為10次獨立重復試驗，每個病人的痊愈與否可以認為彼此不受影響（即使是傳染病，也是能隔離治療的），痊愈的概率p=0.35，不痊愈的概率1-0.35=0.65，于是“否定新藥”這一事件等價于p=0.35時“10個人中最多只有3個治好”這一事件，﹛最多只有3個治好﹜是﹛0個治好﹜、﹛1個治好﹜、﹛2個治好﹜、﹛3個治好﹜的和事件。（此結論是由學生討論后得出的）

故得所求概率為：

P（否定新藥）= （此式中k=0，1，2，3）

= 0.6510+10×0.35×0.659+45×0.352×0.658+120×0.353×0.657

≈0.5136

（1）的概率已經求出，那么（2）的概率如何算呢？

不少學生認為：因為“判斷新藥有效”這一事件等價于“10人中至少4個治好”這一事件，而這一事件是“否定新藥”這一事件的對立事件，因此得到

P（判斷新藥有效）=1-P（否定新藥）

=1-0.5136=0.4864

大家思考一下，這樣的算法對不對？

我們說上面的這種算法是錯誤的，上面算出的結果0.4864是判斷“新藥有效且痊愈率已提高到0.35的概率。而（2）所說的是要求“新藥完全無效卻判斷為它有效”這一事件的概率（這也是一種錯判的概率，這樣的錯誤在數理統計上叫做第二類錯誤或取偽錯誤）。因為現在新藥實際上是無效的，因而痊愈率是自然痊愈率0.25，而不是0.35，這樣（2）中的“判斷新藥有效”就不是（1）中“否定新藥”的對立事件。

（讓學生討論將此問題轉化為數學問題）

此問題可轉化為：某疾病的痊愈率為0.25，現有一新藥讓患此疾病的人服用，求10個病人服藥后至少4人治好的概率？

當然仍作貝努里概型來處理。﹛至少4人治好﹜是﹛4人治好﹜、﹛5人治好﹜、﹛6人治好﹜、﹛7人治好﹜、﹛8人治好﹜、﹛9人治好﹜、﹛10人治好﹜的和事件。故得所求概率為：

P（判斷新藥有效）=

此式中k=4，5，6，7，8， 9，10，為了方便計算，上式也可寫為

P（判斷新藥有效）=1-（此式中k=0，1，2，3）

=1-（0.7510+10×0.25×0.759+45×0.252×0.758+120×0.253×0.757）

≈0.224

討論：P（否定新藥）=0.5136此數據較大，說明新藥本來有效，結果卻被判無效的可能性較大，這樣就浪費了大量的人力物力（因為新藥的研制需要時間和金錢）。能否降低此值，減少犯棄真的錯誤。我們來改變決策規劃：若10個病人中至少有3人被治好，則認為這種新藥有效；反之，則認為無效。再計算一下

可得： P（否定新藥）≈0.2615； P（判斷新藥有效）≈0.474。

P（否定新藥）≈0.2615此數據變小了，犯棄真錯誤的機會也變小了，但P（判斷新藥有效）≈0.474卻變大了，說明新藥本來無效，結果卻被判有效的可能性變大了，即犯取偽的錯誤機會變大了，則可能危及到生命安全。事實上，犯這類錯誤所生成的影響雖然不一樣，但都會給工作帶來損失。主觀上，我們總是希望作出的判斷能使犯這兩類錯誤的概率都盡可能地小，但在一般情形下，兩種錯判的概率不能同時減小。（1）的概率減小（2）的概率就增大；（2）的概率減小而（1）的概率就增大。

下面我們運用所學的概率論知識來討論一個化驗方案。

案例二：化驗方案的確定

某地區流行某種疾病，為開展防治工作,要對全區居民驗血。一般可采取兩種方法：

為了方便計算，設該地區共有居民N人。每人分別化驗，共需要N次。

以k(k

用哪種方案更節省人力物力？

讓學生閱讀案例，并討論案例含義，討論后請學生大膽表達自己的理解。

討論結果有人認為方案（1）好，如果發病率高，混合血液出現陽性的可能性就高，化驗次數就可能大于N，也有人認為方案（2）好，如果發病率不高，化驗次數就小于N，即使發病率高，k人一組，如兩人一組，呈陰性時只化驗一次，呈陽性時，再化驗其一人，若呈陰性，另一人則呈陽性，也只化驗兩次。等等。

（學生爭論后，老師再講）

到底哪種方案較好，我們可運用概率論的知識加以推證：

設某疾病的發病率為p，則不發病的概率為q=1-p，按方法（2）化驗時，每個人需要化驗的次數ξ是一個隨機變量，ξ的可能取值只有兩個：1/k,1+1/k.