基于雙參數正則化方法的圖像復原

袁 泉，張 騁，陳建軍，嚴一清，金 聰，李 雪

(1.重慶郵電大學，重慶 400065;2.重慶信科設計有限公司，重慶 401121;3.重慶大學通信工程學院，重慶 400044)

責任編輯:時 雯

1 圖像復原概述

圖像復原是圖像處理的一個重要分支，在圖像處理、機器人視覺、信息處理等方面都有重要的應用，特別是在提高照相機的抖動模糊、攝像機的移動模糊、特殊攝像系統的成像精度等方面都有重要應用［1－5］。傳統的圖像復原方法需要先得到系統的點擴散函數，根據圖像復原的方法進行復原，但是在實際的應用系統中，很少能夠得到系統真正的點擴散函數［6－8］。鑒于上述問題，基于信息處理的圖像復原方法被提出，希望在得到圖像后進行盲復原，提高系統的圖像質量。若結合圖像處理的一些先驗知識，則能更好地提高圖像的成像質量，其中圖像復原即為圖像后處理過程［9－11］。

圖像模糊過程可以表示為

式中:f是精確圖像或實際拍攝場景;g是模糊圖像或經過系統后得到的模糊圖像;h是系統的點擴散函數;n是成像系統所帶入的噪聲［1，4，7］;* 表示卷積運算。本文主要針對高斯模糊進行討論，高斯模糊可以認為是相機聚焦不準所造成的模糊。采用交替迭代的總變分方法，直接對圖像各像素進行處理，結合點擴散函數和灰度梯度的正則化約束，實現對圖像的快速復原［7］。

2 基于總變分的圖像復原理論基礎

總變分圖像復原算法是一種非常有效的圖像復原算法，主要處理對象是保持圖像細節為目標的單幀圖像［1，4］。這種圖像復原的方法不但具有較好的圖像復原效果，而且能較好地保持圖像的邊緣，同時對噪聲也具有一定的去噪效果。根據能量泛函的數學理論，基于總變分的圖像復原可以表示為

式中:h是點擴散函數;f是Δ清晰原始圖像;g是經過點擴散函數的系統輸出圖像;f是圖像像素的灰度的梯度值;J表示圖像像素的能量值;正則化參數α的取值需要根據實際模糊圖像進行確定，一般取值為常數，沒有一種通用的正則化參數確定方法。從最小能量泛函的角度出發，可以得到式(2)的偏微分方程，即

為了進一步提高圖像盲復原的質量，Chan等人考慮圖像系統的點擴散函數，將式(2)的圖像處理模型修改為

式中，α1和α2同樣是正則化參數，其偏微分方程可以表示為

3 雙參數交替迭代的正則化圖像復原方法

圖像的邊緣是判定圖像清晰度的一個重要視覺評價指標。為了保持圖像邊緣的特性，提出基于雙參數交替迭代的正則化圖像復原方法，其模型表示為

式(7)同樣是一個多元函數的極值問題，采用求偏導數的方法，分別對式(7)中的f和h求偏導數，得到Euler－Lagrange方程為

式(8)的圖像復原模型考慮圖像的兩個參數在約束過程中的作用，梯度在迭代過程可以采用交替迭代的方法來提高復原的精度，這種圖像復原在平滑圖像的同時能夠保留邊緣特征。平滑參數的大小應與各點的方向梯度有關。在直角坐標系中，考慮圖像像素點的相鄰4個像素值，當4個方向的梯度幅值不同時，可對這4個像素方向的規整化參數分別進行不同的調整，從而達到對該點的不同方向進行不同的平滑，這樣起到了保持邊緣作用的效果。這種基于保邊緣的各向異性處理過程，能夠對背景區域內的像素梯度值較小、灰度值較接近的區域進行很大的約束，而在灰度值較大的區域，需要進行較小的約束，保持圖像梯度的完整性，實現了保持圖像邊緣的目的。

4 數據處理結果和分析

4.1 數值處理過程

在圖像的像素處理過程中，首先對圖像進行等間隔采樣，用l表示空間步長，用中心差分進行估計。設目標像素為f(i，j)，則目標像素f(i，j)的4個鄰域點位置的集合如圖1所示。

圖1 目標像素及領域位置

本文涉及的各項偏微分式子在直角坐標系中表示為

4.2 評價標準

客觀評價使用最為廣泛的是通過統計誤差來評價的方法。到目前為止，常使用的客觀評價方法是均方誤差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)。

1)均方誤差:假設圖像的大小為M×N，那么均方誤差定義為

2)峰值信噪比

4.3 數值處理結果

為了驗證本文算法的正確性和有效性，采用大小為256×256的標準灰圖像作為測試圖像。本文采用峰值信噪比作為圖像處理結果的評價標準。

驗證對模糊圖像復原的有效性。圖2～圖4是對原始的Lena圖像分別通過5×5，7×7，9×9高斯點擴散函數PSF進行模糊，從視覺角度可以看到圖像復原較好。

為了進一步說明本文圖像處理的有效性，對圖2～圖4的實驗結果還可以通過圖像處理的PSNR結果進行說明，如表1所示。

從實驗結果可以看出采用本文算法能較好地恢復高斯模糊圖像。

5 結論

本文基于正則化的圖像復原方法能有效提高圖像復原的質量，采用像素周圍4個像素能體現梯度的特性，較好地保持圖像復原的邊緣，實驗結果驗證了該算法的可行性和有效性。

表1 Lena復原圖像的PSNR比較

［1］TONAZZINI A，GERACE I，MARTINELLI F.Multichannel blind separation and deconvolution of Images for document analysis［J］.IEEE Trans.Image Processing，2010，19(4):912－925.

［2］ZHU X，MILANFAR P.Removing atmospheric turbulence via space－invariant deconvolution［J］.IEEE Trans.Pattern Analysis and Machine Intelligence，2013，35(1):157－170.

［3］JUSTEN L，RAMLAU R.A general framework for soft－shrinkage with applications to blind deconvolution and wavelet denoising［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，2009，26(1):43－63.

［4］洪漢玉，何成劍陳以超.基于各向異性規整化的總變分盲復原算法研究［J］.紅外與激光工程，2007，36(1):118－122.

［5］CHAN T F，WONG C K.Convergence of the alternating minimization algorithm for blind deconvolution［J］.Linear Algebra and its Application，2000，316(3):259－285.

［6］LIAO H Y，LI F，NG MK.Selection of regularization parameter in total variation image restoration［J］.Journal of the Optical Society of America A－optics Image Science and Vision，2009，26(11):2311－2320.

［7］周祚峰，水鵬朗.交替使用小波去噪和全變差正則化的盲圖像恢復算法［J］.電子與信息學報，2008，30(12):2912－2915.

［8］HARJULEHTO P，HASTO P，LATVALA V.Minimizers of the variable exponent，non－uniformly convex Dirichlet energy［J］.International Journal of Pure and Applied Mathematics，2008(89):174－197.

［9］ABADI S H，SONG H C，DOWLING D R.Broadband sparse－array blind deconvolution using frequency－difference beamforming［J］.Journal of the Acoustical Society of America，2012，132(5):3018－3029.

［10］SROUBEK F，CRISTOBAL G，FLUSSER J.A unified approach to superresolution and multichannel blind deconvolution［J］.IEEE Trans.Image Processing，2007，16(9):2322－2332.

［11］WANG Y L，YANG J F，YIN W T，et al.A new alternating minimization algorithm for total variation image reconstruction［J］.SIAM J.Imaging Sci.，2008，1(3):248－272.