廣東沿海的極值風速概率分布研究

曹深西，陳子燊

（中山大學 水資源與環境系，廣東 廣州 510275）

風災是廣東最為嚴重的自然災害之一，主要發生于夏季，沿海地區發生頻率較高。風災不僅自身具有巨大的破壞性，還會帶來嚴重的次生災害，威脅人民的生命財產安全，引起系列社會問題。在土木工程設計中，特別是高大土木工程結構中，風荷載成為最主要的荷載之一。由于在風工程中，結構不僅要承受過去一個時段內的風速，還要保證某一規定期限內的結構能安全可靠的承受可能經受的風速，在設計風速時，不僅要考慮一定時期內結構的安全性，還要考慮設計的合理性，以保證不過高的設計指標而導致資源的浪費，因此極值風速的計算就顯得非常重要（Palutikof，1999）。

隨著極值理論的發展，學者把極值理論引入到極值風速的計算，在計算極值風速過程中，誤差主要來自3個方面：樣本的選取、模型的選取和模型擬合中的參數估計（段忠東，2002）。在過去的幾十年中，大量學者和工程人員通過理論推導和統計計算對極值理論在風速領域方面的應用做了大量研究，以期減小計算中的各個環節的誤差，提高極值風速的計算精度。

本文主要根據極值理論的3個模型對廣東9個沿海氣象站的極值風速統計計算，以探討這些模型在廣東沿海的應用效果。

1 抽樣方法與模型介紹

1.1 抽樣方法方法

AM（Annual Maximum，年最大值方法）抽樣方法是每年取一個最大值組成一個新的序列。Gumbel（1958）提出每年的洪水序列中的最大值組成的極值序列，可以用極值分布去擬合，奠定了經典極值分布的基礎。

由于AM方法每年只抽取一個數據，造成了數據的浪費，而在許多領域，觀測時間不夠長，只能得到較小的樣本，樣本太小又會產生較大的樣本誤差，因此為了增加被分析的有效數據量，以減小樣本量太小造成的誤差，3種主要的抽樣方法被提出：r-LOS（r-largest order statistics）、POT（Peak over threshold）和 MIS（Method of Independent Storm）。r-LOS（Ying，2007）是每年選取前 r個最大的次序統計量組成極值序列；MIS抽樣方法的解釋見文獻（Harris，1999）；POT方法是選取給定的閾值（充分大）以上的觀測值組成極值序列，在洪水頻率的計算中也被稱為PDS（Partial duration series）（Palutikof，1999）。學者和工程人員（Pickands， 1975；De， 1994；Hosking， 1985；Hosking，1987；Davison，1990；Simiu，1996）對此方法做了大量研究并廣泛應用于工程實際。

1.2 Gumbel和GEV分布

Fisher和Tippett（1928）在對獨立同分布的極大值漸進分布進行研究時提出了3種極值分布，分別稱為極值Ⅰ型（Gumbel分布）、極值Ⅱ型（Fréchet分布）和極值Ⅲ型（Weibull分布）。

極值Ⅰ型：

極值Ⅱ型：

極值Ⅲ型：

上面的式中為位置參數，σ為尺度參數，ξ為形狀參數。

Von（1936）把3個極值分布統一到一個形式，稱為GEV分布（Jenkinson，1955）：

當時ξ→0，為極值Ⅰ型分布（Gumbel分布）；當ξ＜0時，為極值Ⅱ型分（Fréchet分布）；當ξ＞0時，為極值Ⅲ型（We分布）。

1.3 廣義pareto分布（GPD)

Pickand（1975）給出 閾值的超出量的漸近分布，即GPD分布。

如果隨機變量X的分布函數為：

則稱X服從GPD分布。式中u為位置參數，σ為尺度參數，ξ為形狀參數。

設X的分布函數為F（x），如果Xup為其支撐上端點，X超過閾值u的超出量分布為Fu（x），如果存在廣義pareto分布G（x），使得

則稱X屬于廣義pareto分布的POT吸引場。

其中GEV分布屬于GPD的POT吸引場，GPD本身屬于GPD的POT吸引場，且形狀參數不變，后者又稱為GPD的POT穩定性（史道濟，2006）。

GPD還有一個重要的性質，就是GPD超出量函數是域值u的線性函數，即

式中σ為尺度參數，ξ為形狀參數。

這個性質可以作為實際應用中選取閾值的標準。

樣本的超出量函數en（u）可以根據下面的公式進行估計：

式中n為樣本數。

超閾值峰量數符合泊松分布：

式中，λ為年平均發生的超量數，也稱為年率。

1.4 參數估計方法

模型參數的估計是計算極值風速很重要的一步，為了得到更好的參數，各種參數估計方法被提出和應用到極值分布模型。

Gumbel模型的參數估計方法中，最佳線性無偏估計（BULE）方法得到了廣泛的應用；Harris（1996）對Gumbel模型進行了改進，采用權重最小二乘法進行參數估計；學者首先求得Gumbel分布的矩估計公式，并在其基礎上提出概率權重矩（PWM）和線性矩（LM），并在Gumbel分布取得比較好的應用效果；對于大樣本，性能優良的最大似然估計會得到更好的參數。

GPD模型的參數估計方法包括Pickand法和超出量函數法（CME）法，De（1994）提出的 De Hann法，Hosking等學者對概率權重矩、線性矩和最大似然估計在GPD模型中的應用進行了研究。

經驗分布是參數估計的一個重要方面，本文使用的經驗分布公式為數學期望公式：pei=m/N+1，其中pei表示經驗分布頻率，m為樣本數據按照從小到大的順序排列后，樣本點的序列號，N表示樣本數。

1.5 擬合優度檢驗

擬合優度的檢驗有很多種方法，本文選取PPCC（probabilityplotcorrelationcoefficient）、RMSE（root mean square error）檢驗指標作為評估模型適用性的依據。PPCC和RMSE的計算公式為：

式中，xi表示實測樣本排序后的觀測值，xm為xi的平均值，xei表示經驗分布頻率的pei對應的分位數，xem為xei的平均值。

2 實例研究

2.1 地區情況和數據描述

廣東省位于亞洲大陸的東南部、太平洋西岸，瀕臨南海，受到3種季風氣團的影響，構成了特殊的季風氣候條件。大風天氣成因比較復雜，從大的方面來看，造成廣東各地出現最大風速的天氣系統，主要是臺風，其次是寒潮。

本文選取的這9個站點資料源于國家氣象信息中心。測站分布在廣東的沿海地帶，受臺風影響嚴重，而且由此帶來的暴雨和風暴增水往往都對這些地區的造成災害，因此精確推求最大風速，不僅為工程設計中的風荷載提供可靠的參考依據，而且對由此引起的次生災害的防御工作也有重要意義。

觀測氣象站的編號和觀測數據的有效時段見表1，本文選取的數據為日最大風速。

表1 數據來源和描述

2.2 GEV和Gumbel對AM抽樣數據的擬合

根據經典極值理論，使用AM抽樣方法分別對9個沿海站點的日最大風速進行抽樣，得到9個站點的極值序列，然后分別使用Gumbel和GEV模型對9個極值序列進行擬合。Gumbel模型的參數通過MOM、PWM、ML和LSM方法求取，四種方法得到的PPCC和RMSE指標很相近，本文最終選擇在大多數站點都表現得更好的PWM參數估計方法；GEV模型的參數估計方法利用PWM和ML兩種參數估計方法，由于PWM方法表現更好，因此GEV模型也選取PWM參數估計方法；廣州、汕頭、湛江和陽江站的擬合圖見圖1、2、3、4，其他站點的擬合圖略。

圖2 Gumbel和GEV模型擬合汕頭站最大風速

圖4 陽江最大風速GEV和Gumbel擬合

表2 3個模型的參數與擬合優度指標

2.3 GPD模型對POT抽樣數據的擬合

根據POT方法對9個站點的日最大風速數據進行抽樣。根據極值分布理論，在增加有效數據量的同時必須保證數據的獨立同分布，因此本文采取改進的POT抽樣方法。第一，選取8天作為最小時間間隔，最小時間間隔內的最大值如果超過給定閾值，則被選取組成極值序列；第二，為了保證閾值足夠大，選取歷年最大值中的最小值作為備選閾值的最小值。

閾值的選取是GPD模型的重要內容，本文根據以下條件選取閾值。第一，為了滿足GPD模型對數據的要求，我們選取年率大于1小于4；第二，每年的超出量數序列服從Possion分布，并采用卡方檢驗方法進行檢驗。第三，用GPD模型擬合滿足條件的閾值下的極值序列，采用PWM、ML參數估計方法求取參數，計算模型的擬合優度指標，選取擬合優度指標最優的閾值。圖5、6、7、8為汕頭、廣州、陽江和湛江氣象站的GPD擬合圖。

圖6 汕頭最大風速GPD擬合圖

圖7 湛江最大風速GPD擬合圖

圖8 陽江最大風速GPD擬合圖

2.4 結果分析

由表2可知9個站點的GEV模型和Gumbel模型的尺度參數和位置參數相近，GEV的形狀參數有4個站點大于0，5個站點小于0。如果形狀參數大于0，分布為極值Ⅲ型，曲線上凸，如圖1、3所示；如果形狀參數小于0，分布為極值Ⅱ型，曲線下凸，如圖2所示；凸凹程度取決于形狀參數絕對值的大小，當形狀參數的絕對值很小時，如陽江站，曲線幾乎與Gumbel重合，Gumbel模型為直線，如圖4所示。兩個模型計算的極值風速值見表3。

由于GEV模型具有形狀參數的調節，比Gumbel模型更靈活，在9個站點中的擬合效果也比Gumbel更好。而由于廣州和陽江的形狀參數的絕對值很小，GEV模型的的RMSE指標稍微差于Gumbel模型。

理論上GEV的形狀參數應該和GPD的相同，但在9個站點中，GPD模型中的形狀參數的差別較大，還有3個站點GEV和GPD的形狀參數符號不一，本文認為這是由于樣本太小造成的誤差。GPD模型的形狀參數與GEV一樣，形狀參數的符號和大小對其分布的形態有很大影響，尤其對極值風速的估計，重現期越大，所推算的極值風速對形狀參數越敏感。9個站點中8個站點的形狀參數為負，其中6個站點GPD模型估計的50年以上重現期的估計值比Gumbel模型大，湛江和上川島由于形狀參數絕對值很小，與Gumbel模型估計的結果相近（表3）。

GPD模型的9個站點的兩項擬合指標中，只有汕頭站的PPCC指標較GEV模型稍差，為此可以認為GPD模型可以更好地擬合歷史數據。由于GPD模型應用了更多的歷史數據，減小了抽樣誤差，因此本文認為GPD模型是3個模型中最合適的模型。

表3 3個模型的參數與擬合優度指標

3 結論

（1）3個模型的擬合指標都較優，推求的100年以下重遇期的極值風速相近，3個模型都是廣東沿海計算極值風速的合適模型。

（2）GEV和GPD模型計算的極值風速的大小與形狀參數密切相關，如果形狀參數小于0，則估算的較大重遇期極值風速比Gumbel模型的要大；否則，情況相反。

（3）GPD模型傾向于給出比Gumbel和GEV模型更大的極值風速。

（4）GPD模型增加了有效數據量，取得更好的擬合優度指標，是估算極值風速的更合適的模型。

An Ying，Pandey M D，2007.The largest order statistics model for extreme wind speed estimation.J.Wind Eng.Ind.Aerodyn，95：165-182.

Davison A C，Smith R L，1990.Models for exceedances over high thresholds.Journal of the Royal Statistical Society，52：393-442.

De Haan L，1994.Extreme value statistics.In ExtremeValue Theory and Applications Vol.1（J.Galambos，J.Lechner&E.Simiu，Editors），Kluwer，Dordrecht.

Fisher R A，Tippett L H，1928.Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample.Proc Cambridge Philos Soc，24：180-190.

Gumbel E J，1958.Statistics of Extremes.New York，Columbia University Press，375.

Harris R I，1996.Gumbel re-visited-a new look at extreme value statistics applied to wind speeds.J.Wind Eng.Ind.Aerodyn.，59：1-22.

Harris R I，1999.Improvements to the‘Method of Independent Storms′.J.Wind Eng.Ind.Aerodyn，80：1-30.

Hosking J R M，Wallis J R，Wood E F，1985.Estimation of the generalized extreme-value distribution by the method of probabilityweighted moments.Technometrics，27：251-261.

Hosking J R M，Wallis J R，1987.Parameter and quantile estimation for the generalized Pareto distribution.Technometrics，29：339-349.

Jenkinson A F，1955.The frequency distribution of the annual maximum（or minimum）values of meteorological elements.Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society，81：158-171.

Palutikof J P，Brabson B B，Lister D H，et al，1999.A review of methods to calculate extreme wind speeds.Meteorological Applications，6：119-132.

Pickands J，1975.Statistical inference using extreme order statistics，Ann.Statist，3：119-131.

Simiu E，Heckert N A，1996.Extreme wind distribution tails：a peaks over threshold approach.J.Struct.Eng.，122：539-547.

Von Mises R，1936.La Distribution de la Plus Grande de n Valeurs.Reprinted in Selected Papers，II，Amer.Math.Soc.，Providence，RI（1954）：271-294.

段忠東，歐進萍，周道成，2002.極值風速的最優概率模型.土木工程學報，35（5）：11-16.

廣東省氣象臺，廣東師院數學系，1975.廣東省風壓的分析和計算.華南師范大學學報（自然科學版），01：79-104

史道濟，2006.實用極值統計方法.天津，天津科學技術出版社，30.