基于范成原理的漸開線圓柱齒輪參數化設計

郭海鵬

(陜西恒鑫精密紡織機械有限公司，陜西 寶雞 721013)

漸開線圓柱齒輪是機械傳動中應用最為廣泛的齒輪機構，以往我們都是依據標準或者設計手冊進行齒輪的設計，計算出齒輪工作圖上的各個參數和尺寸。但是隨著科學技術的發展，對齒輪機構的壽命、噪聲提出了更高的要求。同時為了發展體積小重量輕的傳動機構，需要盡可能的通過精確的計算和分析進行齒輪的設計。為此，我們首先要從齒輪的幾何學入手建立準確的齒輪模型，再進行齒輪的受力分析。

1 范成齒形的基本原理

1.1 漸開線圓柱齒輪齒面形成的幾何原理

漸開線圓柱齒輪(以下稱齒輪)齒面是漸開線螺旋面，其形成原理如圖1所示。在一直徑為rb的基圓柱面上放一塊長方形平板，在平板上畫一條與基圓柱軸線成βb角的直線KK，當平板沿基圓柱體作純滾動時，直線KK上的每一點都畫出一條漸開線，由這些漸開線所形成的螺旋面即是斜齒輪的齒面，這些漸開線的起點是直線KK與基圓柱面的依次接觸點，由這些接觸點在基圓柱面上所形成的是一條螺旋線AA。

圖1 漸開線圓柱齒輪齒廓形成原理

1.2 齒輪的范成法齒形加工原理

齒輪的滾齒過程是將齒坯與滾刀成一定角度安裝，利用范成法原理滾切而成。我們可以理解成齒輪與齒條的嚙合過程，齒條的法截面齒形即是滾刀齒形，滾刀齒形參數選用標準植。為保證正確嚙合，齒輪端面齒形與齒條端面齒形的模數mt和壓力角αt應該相同，且齒輪的分度圓螺旋角與齒條的傾角應該相同。

1.3 圓柱齒輪傳動設計的相關參數

設計齒輪時已知齒輪齒數z，法面模數mn，法面壓力角αn，法面變位系數χn，分度圓螺旋角β，法面齒頂高系數h*an，當法面模數mn≥1時法面頂隙系數c*n=0.25當mn＜1時法面頂隙系數c*n=0.35，刀具法面齒頂圓角ρ。

(9)不根切的最小變位系數χmin

2 漸開線和過渡線的方程推導

標準漸開線圓柱齒輪單側齒廓由4段曲線組成，即齒頂圓部分、漸開線部分、過渡線部分和齒根圓部分。齒頂圓部分由齒輪毛坯外圓直接車制，齒跟圓由刀具齒頂包絡而成，齒頂圓和齒根圓直徑可根據上面的公式計算。下面推導漸開線和過渡線的方程。

2.1 漸開線方程的推導

設范成加工時刀具與齒坯的初始位置如圖2所示，齒輪基圓齒槽半角ηb可按下式計算：

圖2 范成加工時刀具與齒坯的位置

漸開線方程為：

2.2 過渡線方程推導

過渡線由刀具齒頂圓角(頂點)在齒坯上范成滾切時包絡而成。

當刀具與齒坯位置如圖2所示時，建立支架固定坐標系S0(O0X0Y0)、齒坯動坐標系S1(O1X1Y1)，此時S0與S1重合。

當刀具與齒坯嚙合轉動至圖3所示時，建立刀具動坐標系S2(O2X2Y2)，此時S1相對 S0旋轉角度φ，記作S'1。此時，刀具圓角與齒坯齒廓過渡線的共軛法線方向通過固定坐標系S0的Y0軸，設刀具從左向右運動，則齒坯過渡線剛開始形成。根據幾何關系可求得

當刀具與齒坯嚙合轉動至圖4所示時，刀具向右移動了L距離，根據Willis定理，此時刀具圓角與齒坯齒廓過渡線的共軛法線方向通過節點P。設共軛點在刀具動坐標系中的坐標為(X2，Y2)，根據幾何關系可推導 L=X2*Y2*cos2β/(Y2+HF-ρ)-X2。此時，齒坯動坐標系相對S'1旋轉θ角度，θ=2*L/d

坐標變換式分別為：

圖3

因此，共軛點在齒坯動坐標系中的坐標可由刀具動坐標系變換而來，即

圖4

3 漸開線圓柱齒輪的參數化設計過程及實現

3.1 漸開線圓柱齒輪的參數化設計過程

Pro/E是目前國際市場上最有影響的高級CAD/CAM工程軟件之一，其最大特點和優勢在于全參數化、全相關、基于特征的實體建模。本文利用Pro/E的【程序】功能進行齒輪參數的計算，通過創建方程曲線的方法繪制漸開線、過渡線和螺旋線，并利用Pro/E基于特征的實體建模方法和參數化功能進行漸開線圓柱齒輪的參數化設計，詳細設計過程如下圖5所示。

圖5 漸開線圓柱齒輪的參數化設計過程

3.2 系統實現及實例

4 結論

本文通過合理地建立坐標系，提出了一種基于坐標變換推導齒根過渡曲線的方法，利用通用工程軟件Pro/E里實現了漸開線圓柱齒輪的參數化設計。通過生成的模型可以直觀的了解所設計的齒輪在實際范成加工后的狀態，可以分析齒輪是否跟切或者齒頂變尖，從而在設計階段排除不合理的設計。也可以通過這個精確的模型進行齒輪的受力和強度分析，將模型轉入FEA工程分析軟件通過劃分網格，加載、后處理等實現CAD/CAE設計。遺憾的是，由于工程軟件的計算方法和繪圖精度的原因，實際繪制的方程曲線與理論曲線有一定的誤差，在參數改變至某些值(如mn≤19)時，模型再生會產生失敗特征。

［1］機械設計手冊第五版機械傳動卷［M］，成大先，化學工業出版社，2010.

［2］微分幾何與齒輪嚙合原理［M］，傅則紹，石油大學出版社，1999.

［3］齒輪幾何學與應用理論［M］，F.L.李特文(Litvin)，上海科學技術出版社，2008.

［4］BS ISO 21771：2007，Gears—Cylindrical involute gears and gear pairs—Concepts and geometry［S］.

［5］Pro/E參數化高級應用教程［M］，黃愷，李雷，劉杰，化學工業出版社，2008.