數(shù)學(xué)建模思想的實(shí)踐

劉華南

黑龍江科技大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150022

線性代數(shù)課程是工科類專業(yè)非常重要的數(shù)學(xué)類主干課程，在機(jī)械、電子、建筑工程、交通運(yùn)輸、軟件工程等工科專業(yè)的后繼課程中大量涉及。線性代數(shù)課程設(shè)置的初衷是培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生抽象思維能力、邏輯思維能力、探究、分析、解決問題的能力，并為各專業(yè)的后續(xù)課程做好知識(shí)儲(chǔ)備，因此學(xué)好線性代數(shù)課程對(duì)于工科類學(xué)生是必然的要求。

1、工科線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀

線性代數(shù)課程理論內(nèi)容十分抽象，出現(xiàn)了大量新的定義、新的數(shù)學(xué)符號(hào)，學(xué)生會(huì)覺得這門課程枯燥乏味，容易喪失學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)課堂上授課教師大多采用定義——定理——例題方式授課，學(xué)生很難參與到教學(xué)中，成為了一名旁觀者，不利于學(xué)習(xí)積極性的培養(yǎng)還導(dǎo)致對(duì)內(nèi)容理解不深刻“知其然，不知其所以然”，不能將所學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為自身能力[1]。這種情況背棄了線性代數(shù)的教學(xué)初衷，也是工科院校線性代數(shù)課程教學(xué)中普遍存在的問題。

2、數(shù)學(xué)建模思想和發(fā)展現(xiàn)狀

所謂數(shù)學(xué)模型，是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定研究對(duì)象，為了某個(gè)特定的目的，在做了一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，并通過數(shù)學(xué)語言表述出來的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。我們常說的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則等都是數(shù)學(xué)模型[2]，甚至可以是一個(gè)圖表，一個(gè)圖像，總之就是得到的結(jié)構(gòu)一定要蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)意義，再經(jīng)過不斷的修改和檢驗(yàn)，得到合理的結(jié)論。這就是數(shù)學(xué)建模。

數(shù)學(xué)建模沒有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)工具，可以根據(jù)建模者知識(shí)水平?jīng)Q定采取何種數(shù)學(xué)手段，因此具有很大的開放性。但是具體步驟大體相同：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型檢驗(yàn)、模型優(yōu)化與推廣。我們看到數(shù)學(xué)建模整個(gè)過程是“實(shí)際→理論→實(shí)際”，即從實(shí)際問題中獲得數(shù)學(xué)模型再指導(dǎo)實(shí)際問題，這也就是數(shù)學(xué)建模的核心思想。當(dāng)代豐富的數(shù)學(xué)理論為數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用提供了良好的基礎(chǔ)，使得數(shù)學(xué)建模在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模的影響力不斷增強(qiáng)，并且逐漸走進(jìn)了高等院校的教學(xué)課堂。

3、線性代數(shù)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

3.1 線性代數(shù)是數(shù)學(xué)建模常用工具

線性代數(shù)課程作為數(shù)學(xué)一門分支，為建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題提供了非常有效的手段，是數(shù)學(xué)建模最常用工具之一，最著名的例子當(dāng)屬美國的Wassily Leontief教授應(yīng)用線性代數(shù)建立投入產(chǎn)出模型和價(jià)格均衡模型，從而獲得1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)[3]，這是線性代數(shù)課程服務(wù)于數(shù)學(xué)建模的典型代表。

3.2 數(shù)學(xué)建模思想對(duì)線性代數(shù)教學(xué)的促進(jìn)

線性代數(shù)課程教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模思想可以更好促進(jìn)線性代數(shù)的教學(xué)，主要體現(xiàn)在更好的引起了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)主動(dòng)學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，有利于學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，加強(qiáng)計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。

3.3 將數(shù)學(xué)建模融入線性代數(shù)教學(xué)的原則

1）循序漸進(jìn)性。這種融入是數(shù)學(xué)建模思想的融入，不是數(shù)學(xué)建模課程的融入，是漸進(jìn)性的融入，不是生搬硬套的融入。應(yīng)該是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐步滲透的過程。正如中國科學(xué)院院士李大潛所指出的：“數(shù)學(xué)建模思想的融入宜采用漸進(jìn)的方式，力爭(zhēng)和已有的內(nèi)容猶記得結(jié)合，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的引領(lǐng)作用”[4]；

2）重點(diǎn)突出、特色鮮明。線性代數(shù)課程的原有體系是理論學(xué)習(xí)的經(jīng)典模式，我們不能為了增強(qiáng)線性代數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能力，強(qiáng)硬的將數(shù)學(xué)建模模式綁定到線性代數(shù)教學(xué)中，把所有知識(shí)點(diǎn)都由數(shù)學(xué)建模的方法導(dǎo)入、理解、運(yùn)用，這樣做會(huì)消耗大量授課學(xué)時(shí)，必然擠占理論推導(dǎo)和學(xué)生練習(xí)時(shí)間，同時(shí)也使得線性代數(shù)課程成為數(shù)學(xué)建模課程，起到喧賓奪主的相反效果。因此，擇取部分知識(shí)點(diǎn)重點(diǎn)運(yùn)用建模思想講授，并且每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都要做到精講，充分體現(xiàn)建模思想，使數(shù)學(xué)建模思想成為學(xué)生解決問題的基本能力。

4、具體措施

1）收集豐富的線性代數(shù)模型案例，要求是涉及線性代數(shù)教學(xué)中的大部分知識(shí)點(diǎn)，并且是在工科的各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用的案例，而且每個(gè)知識(shí)點(diǎn)要有簡(jiǎn)單和復(fù)雜兩種難度的案例，授課教師也可以根據(jù)所教授專業(yè)自己建立模型，這種模型可以是簡(jiǎn)單模型往往用于概念引入。我校的做法是由授課教師組成團(tuán)隊(duì)，調(diào)查線性代數(shù)在所授課學(xué)生的專業(yè)中的應(yīng)用模型，然后匯編成冊(cè)形成案例匯編講義，方便授課教師隨時(shí)使用按所教專業(yè)不同和學(xué)生水平不同采用不同領(lǐng)域、不同難度的模型；

2）對(duì)重要概念、疑難知識(shí)點(diǎn)、重要運(yùn)算方法要運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想講授，如行列式、矩陣運(yùn)算、逆矩陣、線性方程組求通解、特征值特征向量、方陣的對(duì)角化等。這里的講授往往是采用簡(jiǎn)單模型，使學(xué)生易于理解和掌握。例如，行列式定義，可以介紹法國數(shù)學(xué)家Cauchy求解空間多面體模型體積，借助于平行四邊形面積和空間六面體體積引入二階、三階行列式基本公式，然后推廣到高階行列式定義[3]，這樣就不顯得行列式的定義出現(xiàn)的突兀，學(xué)生也會(huì)更好的理解這一定義，了解行列式的實(shí)際幾何背景；

3）在章節(jié)末復(fù)習(xí)時(shí)模仿數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組織學(xué)生成立小組，給出針對(duì)本章節(jié)知識(shí)點(diǎn)的實(shí)際問題，難度適中，如矩陣部分可以給出電報(bào)密碼解密模型、線性方程組部分可以給出交通流量模型、特征值特征向量部分可以給出人口流動(dòng)模型等等，這些模型由學(xué)生課堂解決，并在下課前讓成功解決的小組到講臺(tái)上展示解決過程，最后授課教師總結(jié)；

4）以難度稍大的模型布置課后作業(yè)，以小組形式提交建模報(bào)告，這種作業(yè)要給學(xué)生充足時(shí)間尋找資料、相互探討，整個(gè)學(xué)期布置三次左右即可，授課教師要對(duì)建模報(bào)告進(jìn)行認(rèn)真批閱，并在課堂上反饋學(xué)生完成情況；

5）增加數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，現(xiàn)代工程實(shí)踐涉及的都是一些大型數(shù)據(jù)的線性代數(shù)計(jì)算，所以課堂教學(xué)要求學(xué)生掌握行列式、矩陣、線性方程組等知識(shí)點(diǎn)的低階運(yùn)算方法即可，高階運(yùn)算可以由計(jì)算機(jī)來完成，因此線性代數(shù)教學(xué)要增加數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，選用軟件可以是國際常用計(jì)算軟件Matlab、Mathematica等，實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)不用過多，我校做法一般分別在行列式、矩陣后，向量、線性方程組之后，特征值和二次型之后各增加一次實(shí)驗(yàn)，共三次實(shí)驗(yàn)課，使學(xué)生熟悉運(yùn)算的命令，增強(qiáng)動(dòng)手能力。

數(shù)學(xué)建模思想融入到線性代數(shù)教學(xué)還沒有形成可以達(dá)成共識(shí)的模式，這里所提到的五點(diǎn)措施是我校近年不斷積累的經(jīng)驗(yàn)，在實(shí)際教學(xué)中獲得良好的教學(xué)效果，學(xué)生動(dòng)手解決實(shí)際問題能力有了提高。

5、結(jié)語

線性代數(shù)是工科類專業(yè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程之一，隨著工程技術(shù)領(lǐng)域?qū)@門學(xué)科應(yīng)用越來越多，提高這門課程的教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生切實(shí)將線性代數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)化為自身解決問題的能力是授課教師所面臨的問題。數(shù)學(xué)建模思想和方法的實(shí)用性、對(duì)學(xué)生解決問題的能力培養(yǎng)非常適合線性代數(shù)的教學(xué)，這就需要更多的授課教師大膽嘗試將數(shù)學(xué)建模的思想融入到線性代數(shù)教學(xué)中去。

參考資料

[1]劉華南.建構(gòu)主義在線性代數(shù)中的運(yùn)用[J].黑龍江科技信息,2012(20):175.

[2]姜啟源,金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].3版.北京:高等教育出版社,2003:3.

[3]岳曉鵬,孟曉然.在線性代數(shù)教學(xué)改革中融入數(shù)學(xué)建模思想的研究[J].高師理科學(xué)刊,2011,31(4):77-79.

[4]李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].中國大學(xué)數(shù)學(xué),2006(1):9-11.