將數學建模思想融入線性代數課程教學

□孫國祥

電子科技大學應用數學學院是國家批準的重點工科教學基地，它在教學改革方面開展了一些列相關討論。“線性代數與空間解析幾何”是國際級精品課程，而如何從培養創新型人才的戰略高度去進行教學改革是本次探討的重點內容之一，應用數學學院通過將數學建模的思想核心運用到“線性代數與空間幾何”的教學過程中，既符合了電子科技大學的辦學宗旨，也有利于培養創新型人才。

一、課程的重要性

線性代數與空間解析幾何與微積分、概率論并列為工科學生高等數學課程的基礎課程，它主要以矩陣、空間結構以及線性變換為主要研究對象，他與微積分的顯著不同為：線性代數比較抽象，且與高數數學沒有必然聯系，而微積分與高數數學還有一定的聯系。線性代數這門課程的核心內容是研究線性代數方程組解的情況以及怎樣更便捷的求解、線性空間結構和線性變換等。線性代數作為一門抽象學科對工科學生主要有以下影響：

一是有利于培養學生的抽象思維。抽象思維能力有先天因素，但是也可以后天培養的，其中的方法之一就可以通過學習線性代數等課程來培養。它會教授你N維空間甚至是仿射空間，而這遠遠超出直觀幾何的研究范圍。在實踐中要運用先進的計算機處理實際問題也需要將將其抽象化，然后經計算機處理后再還原為實際問題，因此抽象思維對工科學生格外重要。

二是現代工程問題大部分最終都可以通過線性代數方程組求解來解決。例如，雷達散射截面、大規模集成電路設計、信號處理以及復合材料運用等方面。以雷達散射截面的計量為例，無論是運用有限差分、有限元還是矩量法來計量雷達表面電流分布然后計算散射截面，這都涉及到對連續問題離散化，進而求解線性代數方程組的解。

不可否認，由于知識積累和學習時間的不足，本科階段對“線性代數與空間解析幾何”的講授也只是限定在基本內容，而對于希望繼續從事科研的學生這一階段的學習能為他們將來的學習與科研打下堅實的基礎；而對于那些畢業參加工作的學生來說，這門課程培養的抽象思維對他們的工作也是有積極作用的。因此，線性代數能夠培養學生的抽象思維能力，并為他們將來專業深造打下堅實基礎。

線性代數由于與高中數學沒有必然的聯系且較為抽象，所以學生們學習起來普遍反映較困難。從教學實踐和經驗來看，學生對于空間、特征值以及線性變換等抽象的代數內容學習起來感到困難，對于其在工科的應用就更難掌握。當前，如何激發學生學習線性代數的積極性，并將其應用于工程問題是急需解決的緊要問題。而本文認為將數學建模思想融入到線性代數教學中去是一種可以探索的有效方法。

二、數學建模思想融入教學

數學建模主要是對實際問題建立相應的數學模型來進行分析，通過對數學模型求解來達到處理實際問題的目的。它能夠培養學生分析問題的能力和運用所學知識解決實際問題的能力，這也正是它備受社會關注，并成為我國高校數學教學重要內容的原因所在。

綜上所述，由于線性代數較為抽象，如果能夠用實際問題來引導學生，讓他們去觀察問題、討論問題、分析問題進而解決問題，這樣就能提高學生學習這門課程的興趣，也能夠幫助他們理解和掌握相關知識。在實際教學中可以運用兩種方法來將數學建模思想融入到線性代數課程中：

（一）第一種方法是采用數學建模的團隊形式，通過小組討論的方式來對特定問題進行探討分析，最后根據討論結果形成報告，同時引出需要講授課程的新內容。

建模所需的實際問題既可以從實際生活中獲取，又可以教師從科研活動中得來。例如，當講解到矩陣特征值和特征向量時可以讓學生小組討論分析一下問題：

有種昆蟲，分為三組：第一組是不產卵的幼蟲；第二組每個成蟲兩周產卵100個；第三組每個成蟲兩周產卵150個。假如該昆蟲每個卵的成活率為9%，而第一組和第二組昆蟲能夠存活到下一個成蟲組的概率為10%與20%。同時假設每個組的昆蟲各有100只，請分別計算在第二、四、六周后各類昆蟲的數量，同時思考以下問題：

1.將兩周時間作為分析間斷點，研究此種昆蟲在周齡組數上的變化趨勢。相鄰的兩個時間段里，每個周齡數組的昆蟲數目是否保持一個穩定的比例？昆蟲數目是否會發生極端變化？造成這種變化的原因是什么？

2.如果采用殺蟲劑降低昆蟲的成活率的方式來控制昆蟲數目，結果使得每組的昆蟲數量減半，那么這種殺蟲劑是否有效？

（二）類似的問題在外來物種入侵方面也可以應用，比如說飛蛾、喜旱蓮子草等等。林業部門、農業部門以及相關的防疫部門對這些問題比較關注（數值線性代數與此密切相關，同時這也是解決很多工程問題的重要工具）。這樣做的目的是：

1.在學習過程中通過對實際問題的分析和研究，可以大幅度增強學生對學習數學理論的興趣，并且在小組探討過程中，有助于幫助學生提升對線性代數理論的理解程度，并且提高學生的解題能力和表述能力。

2.在學習過程中，以團隊的形式增強學生的協作能力。并且，在每一個階段，團隊成員都將合作完成學習報告，在學習報告中，應該綜合體現學生的個人觀點、學習方法以及學習成果等等，通過這樣的形式還可以增強學生的協作能力和創新能力。在綜合應用計算機和數學軟件（MATLAB）的基礎上，通過先實現可視化模擬再建立抽象理論，可以大幅度提高學生對于抽象數學理論的理解程度。

3.通過這樣的方式有助于提升學生對線性數學（理論、計算、應用）三個基本成分的理解程度。在此基礎上知曉線性代數和矩陣的藝術性，并且積極學習新理論以及這些理論這實際問題中的應用。

4.通過這種教學方式有助于提升學生在學習和思考兩個方面的結合度。通過將所學的知識系統化，可以提升學生在宏觀層面的認知度。不過這種方法可能對課程內容有較大影響，對課時和學生人數的限制要求也比較高。電子科技大學以培養創新型人才的理念為引導，目前已經在這一方面做過不斷嘗試。

第二種方法，即將一些與課堂內容相關的實際問題融入到課堂講授之中。以講授特征值為例，根據總體課時和課程內容，在講授昆蟲繁衍問題時可以劃分較長的時間進行講述。對于工科學生，可以根據他們的相關專業，將更多的實際問題融入到課堂講授中，這些可以在上文闡述的線性代數課程所扮演的角色中找到。

任何一種方法，首要條件都是要求老師在講課之前準備相關的資料的素材。這些相關資料和素材在專業教材上可以獲得。教學工作和科研工作兩者應該充分結合，從而保證在選擇例題方面更加具有代表性。

本科教學過程富含較強的探索性和創新性。在教學過程中，不僅承擔了教授科學知識、傳遞文明的任務，還肩負了探索未知以及提高學生創新能力的責任。故而，在本科教學過程中，科研和教學兩種內容是互相滲透有機結合的。在科研工作過程中，教師將積聚一種獨有的精神氣質，這種精神氣質是集實踐精神、進取精神、探索精神以及創新精神等等于一體的。長時間進行科研工作的教師，總是結合所研究方向的前沿熱點，因而必然最先掌握了這方面理論的最新研究動態。例如，通過在“計算電磁學中大規模線性代數方程組的高效求解技術”研討班上的學習，提高了線性代數課程的教師對于在經典物理中線性代數的應用層面的認知，因而在講述“空間解析幾何和線性代數”的相關理論時，這些教師就可以舉出較多的應用實例，提高課堂教學的說服力。

綜上所述，將數學建模思想融入到“線性代數與空間解析幾何”的教學內容中，可以為學生搭建起一條溝通數學理論知識和應用實際問題的橋梁，在實際問題中，促進學生依靠數學建模思想思考問題、解決問題。從而為學生提供一種優質的思考方法，為學生以后的成功奠定基礎。近些年來，數學建模思想逐漸被社會各界所接受，并且在教育界以及工業界中得到越來越廣泛的應用。在大學本科教育中融入數學建模思想是一個新的課題，需要更為深入的研究和探討。本文以為科研與教學兩者互相有機結合是推行數學建模思想的有效途徑。在這個過程中，可以培養學生的觀察、分析、思考、判斷以及推演能力；可以提升學生的創新能力；可以促進學生形成科學的問題思考方法、分析方法以及解決方法，為學生在將來生活以及工作中科學的解決問題奠定基礎。

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