對中學數學中“數學問題”的思考*

● 戚其祝

由于受到過去教學實踐中一些偏差行為的影響，人們對數學問題存在不同程度的偏見，認為強調數學問題就是要學生陷入“題海”。

事實上，無論課內還是課外，數學問題都有其存在的必要性。數學問題具有引入新知識、幫助學生加深對所學知識的理解、培養學生數學興趣等作用。在課堂教學中，課堂導入階段，教師給學生“以適合他們程度的問題去引起他們的好奇心”[1]能夠有效激發起學生的思考熱情，給課堂教學開一個好頭；新知識講解階段，一個接一個緊密聯系、逐步推進的數學問題的提出能夠引導學生的思考方向，直至得到最終的數學結論；練習階段，經過教師悉心編排的高質量的習題，能夠幫助學生加深對當堂課內容的理解；課堂小結階段，提出基于當堂課教學內容而又高于當堂課所講內容的數學問題，能夠引起學生課下的思考，為后續內容的學習埋下伏筆。在數學課外，教師通過介紹一些經典的、富有趣味性的數學問題，能夠幫助學生增進對數學的理解，培養學生的數學興趣。所以，從數學教學的角度來看，中學數學教育活動中需要大量數學問題。

一、數學問題要有質量有意義

陳省身先生講，有好的數學，也有不好的數學。同樣，中學數學教育中也有好問題和不好的問題之分。真正為學生所討厭、也是我們所反對的是那些毫無意義、僅僅是簡單重復的不好的數學問題。例如斐波那契數列 1，1，2，3，5，8.13……是一個比較經典的、對數學發展有一定影響的數列，它有許多奇妙的性質，在實際生活中也有非常廣泛而有趣的應用，深入挖掘它的文化價值、向學生展示它的驚奇有趣的那一面應該是教學中要努力追尋的。但是一些人僅僅是抓住該數列的“規律”不放，人為編造出大量的規律并不是那么明顯、而且事實上也沒有什么應用的問題來讓學生反復練習，這無疑是把好的材料用偏了。所以，對于數學問題的選擇，教師一定要進行篩選，選擇那些高質量的、有意義的數學問題提供給學生。至于好的數學問題的標準，大衛·希爾伯特認為，一是問題本身必須提得“清晰”、“易懂”；二是問題“應該是困難的，但卻不應是完全不可解決而使我們白費力氣”，即“難而又可解決”。[2]

二、數學問題的來源應該多樣化

一般來說，推動數學發展的力量主要有兩點：社會生產發展的需要 （包括物理等非數學學科的需要）和數學內部發展的需要。數學中的問題也就可以相應的分為兩類：來自于數學外部的問題和來自數學內部的問題。體現在中學數學教育中就是數學問題有的是從生活中提出來，帶有濃厚生活味道的數學問題，有的是純粹的數學問題。人們不應該為了培養學生的數學應用意識就僅僅強調第一類問題，也不應該讓學生只做后一類問題而無法讓其看到數學具有廣泛應用的一面。任何只強調一類問題的做法都是不恰當的。尤其是現在新課改強調數學要體現其應用價值的情況下，人們對于純數學問題應該有一個正確的看法。事實上，中學數學中許多純數學問題尤其是數學競賽的試題，都具有比較大的教育價值，同樣可以引起學生的探究欲望，培養其數學學習的興趣。

需要特別指出的是，中學數學中的數學問題是經過加工的具有教育功能的數學問題，屬于教育數學的范疇。在從現實生活中提煉加工數學問題的過程中，人們已經省略掉了一些非主要因素，也就是已經做了中學數學建模中的問題假設工作，這樣，到中學生面前的數學問題已經不可能百分百忠實于生活 （事實上，也沒有必要）。所以對于中學數學教育中數學問題的“真實性”人們不應該有太高的要求。一個數學問題只要能夠做到引起學生的探究欲望，對實現教育的目的有積極的作用，那么它的教育價值就應該被肯定。

三、中學數學教育中的數學問題并非都要有解

數學問題并不是都有解的，中學數學教學中也應該介紹一些“無解”或者是對于中學生來說“無解”的經典數學問題。哥德巴赫猜想“每個大于或等于6的偶數都是兩個素數之和，每個大于或等于9的奇數都是3個素數之和”內容簡單易懂，但是很多人卻將問題的證明簡單的理解為要證明“1+1=2”，而不去了解猜想的內容。如果中學數學中介紹一下哥德巴赫猜想這個目前“無解”的問題，或許能夠讓相當一部分人糾正對數學、數學家及其研究工作的偏見。又比如費馬大定理經過幾代數學家的工作，歷時358年，才最終獲得證明。安德魯·懷爾斯的整個證明過程洋洋灑灑足有二百多頁。在中學數學中介紹該定理自然不是為了讓學生掌握其證明方法，但是卻完全可以作為一個研究性課題出現：學生在學習了勾股定理后，老師讓學生對此結論進行推廣，猜想三元方程Xn+yn=Zn當n≥3時的正整數解的情況。然后要求學生課下查閱資料獲得對該問題的盡可能多的信息，最后進行匯報。整個過程既培養了學生查閱資料、整理資料的能力，又可以通過安德魯·懷爾斯證明該定理的過程讓學生了解數學家是如何進行研究工作的，拓寬學生的視野，幫助學生對數學形成正確的認識，發展數學觀。

數學問題在數學教學中具有積極的作用，但是所謂過猶不及，我們又應注意不可過分強調數學問題在教學中的地位。美國在20世紀80年代提出“問題解決”，認為必須把問題解決作為學校數學的核心，但是世紀之交又提出了平衡基本技能、概念理解和問題解決，重新強調基礎知識的重要性。所以一方面我們要發揮數學問題和問題解決在數學教學中的積極價值和作用，另一方面又必須重視數學基礎知識和基本技能的培養，以更好完成培養創新型人才的目的。

[1]波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]黃忠裕.初等數學建模[M].成都：四川大學出版社，2004.