基于結構思想的數學教學

殷堰工

（蘇州市教育科學研究院，江蘇 蘇州 215004）

“數學是通過對概念的分析、生成和組織，對命題的嚴密邏輯推理而形成的互相聯系的系統化的有機整體。反映的是概念命題的客觀邏輯結構”，“數學是用數學經驗規則組成的體系，其組織的活力依賴于各部分之間的聯系，結構決定體系的功能”。[1]2003年頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱“《標準》”）中，首次出現了數學課程結構圖[2]，成為新一輪課改的一大亮點。如何從全局上把握數學學科的思想，從內容上把握數學知識結構，是擺在每個數學教育工作者面前的一個現實課題，也是提高數學教學質量的前提和保證。本文以皮亞杰、布魯納、布爾巴基學派的結構思想為指導，重點闡述數學結構思想下的數學教學，以及數學思想方法的滲透問題。

一、結構思想的理論依據

瑞士心理學家、發生認識論創始人皮亞杰采用數理邏輯作為刻畫兒童邏輯思維發展的工具，從宏觀的角度對三種基本數學結構的“自然性”進行了分析，認為：第一種結構的特征是可逆性，表現為“可逆關系”，如加法和減法的關系；第二種結構的表現為“互反性”，如“大于”和“小于”的關系；第三種結構則是與“連續變換”相對應的[3]。這與數學史上有名的布爾巴基學派認為的全部數學基于三種母結構——代數結構、序結構、拓撲結構的思想具有很高的吻合度，與該學派“數學是研究結構的理論”的觀點也具有一致性，突出了“結構是功能作用的中心”的論點。[4]

當代深孚眾望的教育家布魯納發展了皮亞杰的認知發展理論，他在其著名的《教育過程》一書中指出：“不論我們教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構?！盵5]布魯納認為，“基本概念和原理是學科結構最基本的要素”，這些基本結構反映了事物之間的聯系，具有“普遍而有力的適用性”。[5]“所謂‘學科基本結構’，布魯納解釋說，是指該學科的基本概念、基本原理及其相互之間的關聯性，是指知識的整體性和事物的普遍聯系，而非孤立的事實本身和零碎的知識結論，如代數學上的交換律、分配律、結合律等。他認為，任何學科都有基本結構，任何與該學科有聯系的事實、論據、觀念、概念等都可以不斷地納入一個處于不斷統一的結構之內。這種基本結構是學生必須掌握的科學因素，應該成為教學過程的核心。學生如果掌握了學科知識的基本結構，就可以獨立地面對并深入新的知識領域，從而不斷獨立地認識新問題，增多新知識。”[6]布魯納以初等代數為例，認為學生只要掌握了方程式中所包含的交換律、分配律和結合律，那么在遇到新的方程式時，就能按照這些基本法則獨立解題，這些新題目只不過是所熟悉題目的“變式”而已。所以，教師的根本任務，就是要用這門學科基本的和普遍的知識、觀念來不斷擴大和加深學生的知識結構。[6]知識結構不僅是知識的固著點，也是從不同側面認識事物的一條途徑，學生頭腦里積累的知識只有做到條件化、成熟化、結構化，才會有效地同化、鞏固和遷移，才能成功地解決問題[1]。

二、數學結構思想與數學教學

（一）學科基本結構與知識的構建

學生通過學習基本結構、理解基本概念和原理，就能較容易地深入理解所學內容。掌握學科基本結構有利于對學科的深入理解和進行整體上的把握，基本結構對整個學科內容具有統率作用。就教師而言，必須學會或探索構造知識結構圖。所謂知識結構是各種知識在人類大腦中的組織形式，它包括各種學科知識的配置比例，相關程度和協同關系。知識結構的關鍵是結構，而知識本身僅僅是組成這種結構形式的材料。知識結構圖[7]主要包含以下四個要素：

1.明確每個章節的知識背景：包括新舊知識的梳理、新舊知識間的聯系、新舊知識之間的遷移所運用的基本思想及學科方法、知識點間的發展過程等。

2.知識梳理：對相關的知識進行科學整理、分類，在系統完整的基礎上明確并突出重點。

3.知識網絡的初構：建立各知識點間的聯系，比較知識間的差異，總結經驗規律，強化素質和能力。

4.知識應用和拓展：精選不同層次的例題、習題，解決實際問題，點撥方法，開拓思維，開發智力，培養能力，同時以學生認知規律為依據，挖掘深度，拓展廣度。

知識結構圖的構建，關鍵在于教師如何指導學生構建知識體系，形成知識的網絡化，“與學生共同探索知識，尋求答案”[7]，進一步體現學生的主體地位。這正是知識結構圖所孕育其中而又不拘泥于其中的一片廣闊天地。

知識構建可以使我們明晰課堂教學的任務和教學重點，理清完成教學任務的思路，使我們能夠“在全局上把握學科的思想，內容上把握知識的結構”[7]，從而達到自如駕馭教材的能力，同時使學生獲得有活力的條件化、結構化的數學知識、概念體系和命題體系。具體來說，需要把所教的內容結構化，即在整個中學范圍內，任何章節的知識，它們本身具有一定的結構性。必須把每一章的主要內容先串成“線”，然后再由“線”織成“網”，并且告訴學生探究事物因果關系的思維模式。在此基礎上，使結構內容豐富化，使得結構化了的知識能夠與學生內在的知識結構碰撞，并能及時地同化在學生的新的知識結構中，以形成他們長期的記憶。

（二）從美學的角度看數學結構

我國著名數學家徐利治先生明確指出：“數學是人類文明的結晶，數學的結構、圖形、布局和形式無不體現出數學中美的因素。”[8]數學具有無與倫比的結構美，結構圖、群結構、同構等都是數學結構美的表現形式[9]。

以同構為例，結構上相同的數學對象可以相互轉化，這種轉化來自于數學結構內在的美，它絲毫不會改變這些數學對象的實質，然而卻對我們研究數學問題的難易程度有很大的影響。一個比較復雜的數學問題，經過同構變換，可能會變得十分簡潔明了，非常便于處理，歷史上三大尺規作圖不可能問題的解決就是最有說服力的例證之一。可以說，數學的美深深蘊涵在它的基本結構之中，數學結構是數學美的源泉之一。

數學的結構美主要表現為知識體系的高度統一、式子結構的對稱有序、數學元素（數字、符號、式子）的完備整齊等。如解析幾何把代數和幾何兩大數學分支高度地統一起來，而解析幾何中的橢圓、雙曲線、拋物線又都可以統一于圓錐截線之中；又如，在集合理論建立以后，代數中的“運算”、幾何中的“變換”、分析中的“函數”這三個不同領域的概念可以統一于“映射”概念之中；再如，平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理可以統一于一個圓冪定理之中。還有像數學中的“關系—映射—反演”方法，一個三角形的三個正切之和等于三個正切之積這樣的三角恒等式等均淋漓盡致地呈現出數學的結構之美。只要善于發現、挖掘、創設這些“結構美”，會給我們解決問題帶來意想不到的效果。對于學生而言，可以獲得從總體上記憶、理解和把握數學知識的邏輯結構的方法、具體問題具體分析的解題方法，這非常有利于提高數學解題教學的質量。

（三）數學結構思想與教學

數學結構思想是對教育層面上數學本質的認識與處理方式，它主要強調數學知識間的廣泛關聯性。運用數學結構思想進行數學教學，不僅能提高學生對知識掌握的效率，而且能使學生獲得全面的數學素質?！疤貏e是新知識的教學不能孤立進行，應把新知識納入原有的觀念系統中進行整體考慮，使新知識與原有的相關知識相聯系，并把這些有聯系的知識點重新組織為一個大的知識組塊。這樣，既有利于知識的保持又有利于知識的檢索與應用?！盵10]教師應通過運用元認知在知識點之間的實質性關聯和邏輯性聯系上講清知識的來龍去脈以及知識結構的建構方式、過程和結構圖式，并進行概括梳理，使各種知識形成“組塊”，在知識結構的總體上把握數學的概念、原理、定理、法則以及數學方法和技巧，不斷深化知識。例如，學完三角函數的36個誘導公式之后，如果不作進一步的組織加工，那么這些孤立的知識是難以保持和應用的。但如果教師引導學生把這些公式放在一起進行觀察、比較、分析，最后概括為新的知識組塊——“奇變偶不變，符號看象”，那么學生的數學認知結構也將得到優化。[11]

而具有起固定作用的核心數學觀念的數學認知結構具有較高的信息解讀能力，包括抽象、概括、類比、歸納、邏輯推理、論證等理性思維能力和思維探究能力[1]。不妨再以“向量”內容為例說明之：

《標準》把向量作為刻畫現實世界的數學模型。[2]學習數學模型的最好方法是經歷數學建模的過程，即“問題情景—建立模型—數學結果—解釋、應用與拓展”。《標準》對向量的處理，首先提供豐富的實際背景，通過對實際背景（現實原理）的分析、概括與抽象，建立向量模型，再運用數學方法研究向量模型的性質，最后運用向量模型及其性質去解決包括現實原型在內的更加廣泛的一類實際問題，這種處理體現了數學知識的產生和發展過程，反映了數學的“來龍去脈”，有助于學生理解數學的本質，形成對數學的完整認識和理解。

三、數學思想方法蘊涵于數學結構之中

（一）對數學思想方法的認識

數學思想是數學中的理性認識，是數學知識的本質，是數學中的高度抽象、概括的內容，它蘊涵于運用數學方法分析、處理和解決數學問題的過程之中，直接支配著數學的實踐活動。數學方法是解決問題的策略與程序，是數學思想具體化的反映。從這一意義上來講，數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學的行為，數學思想對數學方法起著指導作用，是數學結構中的有力支柱。數學思想方法是對數學知識的本質認識，是從具體的數學內容和對數學的認識過程中抽象、概括、提煉的數學觀點，是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁，是建立數學和用數學解決問題的指導思想。掌握數學思想方法能不斷深化對數學知識本質的認識，在解決問題過程中減少盲目性，增加針對性，對提高分析問題和解決問題的能力具有本質性、概括性和指導性的意義。

（二）數學思想方法是一種特殊的“結構”

核心概念體系與命題體系的建構過程，可以揭示蘊涵于核心概念的概念體系、命題體系深層的數學思想方法。數學本身蘊涵著豐富的思想方法，如對稱、轉化、分類、統計、模型、概率、逼近、定量化等，有著函數和方程思想、分類討論思想、數形結合思想、化歸思想等數學思想。一種數學思想方法是解決某一類數學問題的方法的一個“結構”。可見，學習數學，除了要學習基礎知識，還要學習數學思想方法，這一點與布魯納的學科結構理論的思想是一致的。誠如皮亞杰所說“結構主義真的是一種方法”[3]，我們應該從方法論的意義上來看待結構主義。

（三）數學教學應該滲透數學思想方法

數學思想滲透在中學數學學習的全過程之中，是以數學知識為載體的更高層次的數學。然而，反觀當前的數學教學，對數學思想方法教學缺乏意識是一個普遍存在的問題。主要表現為：

1.確定教學目的時，對具體知識技能訓練的重點、難點的教學要求比較明確，忽視數學思想方法的教學要求。

2.教學時，往往注重知識結論的傳授，忽視知識形成過程中數學思想方法的訓練。

3.知識應用時，往往偏重于就題論題，忽視數學思想方法的揭示與提煉。

4.小結復習時，只注重知識體系、知識網絡的整理，忽視數學思想方法的歸納與提高。

凡此種種，致使數學教學停留在較低的層次上。為此，筆者曾專文論述了在基礎知識的教學中滲透數學思想方法、在解題教學中滲透數學思想方法、在復習教學中滲透數學思想方法等觀點[12]，并且強調了知識結構在滲透教學中的作用。比如，分類討論的思想，幾乎每一章都會涉及到，因此，在平時的教學中要注意到這種反復性，同一種思想方法在這一章出現了，在下一章可能還會出現，教師就要運用統籌的觀點，有意識地讓學生在這種反復接觸、理解、運用、體驗中不斷加深對這種思想方法的認識和掌握，提高和升華[12]?？傊?，在中學數學教學過程中滲透數學思想方法，能幫助學生真正認識數學的本質，提高分析問題和解決問題的能力。

[1] 王學沛，鄧鵬，魏勇.幾種教學觀下的數學教學[J].課程?教材?教法，2008，28（2）：53-57.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003：4.

[3] 皮亞杰.結構主義［M］.倪連生，王琳，譯.北京：商務印書館1984：6-11.

[4] 張宏斌.試述數學結構思想及其在數學教學中的運用[J].遼寧教育行政學院學報，2006，23（12）：125-127.

[5] 布魯納.教育過程［M］.邵瑞珍，譯.北京：文化教育出版社，1982：8-18.

[6] 靳瑞宏.學習學科基本結構理論 推進基礎教育課改進程[J]. 文理導航：下旬，2010（6）：6，8.

[7] 周慧君.新課程理念下的數學教學[J].中學課程輔導：教學研究，2009，3（24）：5-6.

[8] 年仁德.讓數學課發出美的光輝[N].中國教育報，2002-02-20（4）.

[9] 裘肖庚.論數學結構美[J].撫州師專學報，2003，22（3）：53-56.

[10] 陳華安.從公開課《倍角公式》教學反思“組塊化”教學的缺失[J].數學教學通訊，2008（5）：22-25.

[11] 邵梅生.由淺入深說理解——例析學生數學理解的層次性[J].基礎教育課程，2007（11）：20-22.

[12] 殷堰工.數學思想方法及其教學[J].蘇州市職業大學學報，2008，19（4）：116-118.