柔性厚壁筒環向纏繞張力分析與設計①

劉成旭，邢靜忠，2，陳 利，楊 濤

(1.天津工業大學 機械工程學院，天津 300387;2.天津工業大學現代機電裝備技術天津市重點實驗室，天津 300387;3.天津工業大學復合材料研究所，天津 300387)

0 引言

在造紙、包裝和軋鋼等行業中，需要對帶材進行卷繞(收卷)成形，以縮小貯存空間，或方便運輸。在寬帶卷繞過程中，恒張力卷繞經常導致帶材皺折和厚度不均，這是由于外纏繞層張力對內層產生了放松效應。對于印刷行業，印刷機工作(開卷)時，會出現走紙不穩、印品折皺、重影，甚至發生紙張斷裂或堵塞等問題，這是由于紙帶張力不均勻引起的。因此，需分析研究初始纏繞張力與剩余纏繞張力之間的關系。如何設計初始纏繞張力，以達到纏繞后均勻的剩余張力，是解決這些問題的關鍵。目前，針對寬帶纏繞張力的諸多研究，主要圍繞如何確定初始纏繞張力與剩余張力之間的關系。楊婭君等討論了恒張力卷繞和錐度張力卷繞下卷筒內的張力分布，導出不起皺折的必要條件，給出在等張力和等徑向應變分布條件下卷繞張力的計算公式［1］。吳德會等介紹了玻璃布包裝過程中收卷張力控制系統的工作原理，并針對包裝收卷過程中易產生折皺的問題，分析了包裝收卷過程中的張力變化規律及其影響因素，給出了不同卷裝條件下避免折皺的錐度系數的確定方法［2］。盛衛鋒等基于動力學原理，分析了印刷機械中的張力控制問題［3］。

相比寬帶纏繞，纖維增強復合材料對纏繞張力的要求更高。尤其在國防和航天等高尖端領域，施加預張力的纖維增強復合材料，可達到更高的纖維體積含量和更高的結構開裂強度。所以，預張力纖維纏繞技術被大量用于飛機、火箭、航天器和衛星等結構上［4］。工業上，以金屬為芯模的復合材料容器大多應用張力纏繞技術提高容器的承壓能力和纖維的利用率。但金屬的彈性范圍小，過高的纖維張力會導致內襯屈曲。所以，研究芯模的剛度和纏繞張力之間的關系具有非常重要的意義。依據纖維纏繞復合材料的基本原理［5］和理論［6］，許多研究者已圍繞復合材料容器強度分析［7］與設計［8］的研究得出了一些張力計算公式［9－10］，并提出了具有金屬內襯的纖維纏繞高壓容器的設計方法［11－12］。研究發現，纖維張力放松量主要來源于芯模的徑向變形，同時在外層纏繞張力引起的徑向外壓下，纏繞層產生的徑向和環向收縮，使環向應力降低。文獻［13］未考慮芯模變形影響，給出了剛性芯模上環向纏繞層張力分析的計算方法和纏繞張力設計方法。但針對柔性芯模，如何使剩余纏繞張力達到預定分布，仍沒有很好地解決。

本文考慮芯模的變形影響，依據彈性力學厚壁筒理論，提出考慮芯模變形影響的剩余張力分析方法和纏繞張力設計方法。采用疊加原理，基于外層剩余張力導致內層張力的放松量導出纏繞后剩余張力與纏繞張力的微分方程;通過對給定纏繞張力確定剩余張力和給定要獲得的剩余張力確定應施加的纏繞張力兩類問題的研究，討論芯模厚度對纏繞層剩余張力的影響。

1 芯模和纏繞層的應變和應力

將收卷輥簡化為外半徑為c的寬帶環向纏繞在外半徑為b內半徑為a的柔性圓筒上，在最外層寬帶上施加均勻環向外壓p，如圖1所示。

1.1 平衡方程

在纏繞張力引起的外壓作用下，芯模外表面和最內層纖維之間密切接觸，接觸界面上的徑向位移與徑向應力連續。設帶有上標“(1)”和“(2)”的符號分別代表關于芯模與纏繞層變量。下標“r”、“θ”和“z”的變量分別表示沿徑向、周向和軸向的物理量。纏繞層和芯模的微元體均滿足平衡方程:

圖1 模型的橫截面Fig.1 Cross section of model

1.2 幾何方程和物理方程

對于小變形情況，定義位移u和應變ε滿足如下幾何關系:

假定芯模與纏繞層近似滿足各向同性三維本構關系，則芯模和纏繞層的應力與應變關系可表示為

1.3 徑向位移和應力分量

結合式(2)和式(3)關系，式(1)可化簡為

其通解為

積分常數A(i)和B(i)由芯模和纏繞層內外側的邊界條件確定。將式(4)代入式(1)，整理可得芯模與纏繞層的應力表達式:

在平面應力情況下，只需要將上式中的彈性模量E(i)替換為 E(i)(1+2ν(i))/(1+ ν(i))2，泊松比 ν(i)替換為ν(i)/(1+ν(i))即可。其中，拉密常數:

1.4 芯模徑向剛度

引入芯模徑向的廣義剛度:

由芯模內外壁的邊界條件:

對于兩端固定，軸向應變為零的情況，求得

1.5 纏繞層邊界條件及其應力

纏繞層內側與芯模接觸面上的徑向變形與徑向應力成線性反比關系，則纏繞層內外側的邊界條件可表示為

由此求得積分常數A(2)、B(2)，將其及廣義剛度K代入式(5)，可求得纏繞層的環向應力和徑向應力:

其中，引入影響因數

2 纏繞張力和剩余張力分析

由式(6)可知，外壓p引起的纏繞層應力和應變不僅與纏繞層和芯模的材料參數有關，還與纏繞層幾何尺寸有關。隨著纏繞層數的增加，外層纏繞張力引起的外壓增大，使內纏繞層的剩余張力不斷減小。定義很薄的單位寬度的寬帶纏繞在柔性芯模上，其初始纏繞張力分布為Tw(r)。這樣的初始纏繞張力Tw(r)減去外層張力引起的張力放松量ΔT，即為該層的剩余纏繞張力T(r)。外半徑為c的所有纏繞層上的總張力T(c)對該纏繞層內表面產生徑向應力p=T(c)/c。

其中，δ是纏繞帶的壁厚，此時半徑c位置的環向應力下降量為

引入變換x=r/b和m=c/b，張力下降量可表示為

為了實現纏繞后的剩余張力達到指定的分布，需要利用式(7)計算出張力放松量，并與該層的初始纏繞張力疊加后等于指定的剩余張力，即

3 由初始纏繞張力確定剩余張力分布

根據給定的初始纏繞張力Tw(x)分布，確定纏繞后的剩余張力T(x)分布。最外層x=m處，有Tw(m)=T(m)。可將式(8)轉化為

針對不同的應用情況，下面分別討論錐度，等張力和等力矩纏繞情況下的剩余張力分布。

3.1 錐度纏繞

設錐度纏繞張力Tw(x)=t(1－αx)，t和α分別為初始纏繞張力值和錐度系數，由式(9)可得

其中

采用SPSS 17.0軟件對數據進行分析處理，計量資料以（均數±標準差）表示，采用t檢驗；計數資料以（n，%）表示，采用χ2檢驗，以P＜0.05表示差異具有統計學意義。

3.2 等張力纏繞

設均勻纏繞張力Tw(x)=t，由式(9)可得

3.3 等力矩纏繞

設等力矩纏繞張力Tw(x)=t/x，由式(9)可得

4 實現給定剩余張力分布的纏繞張力設計

對式(8)積分，給定纏繞后剩余張力分布，可求得初始纏繞張力的分布。給定均勻剩余纏繞張力T(x)=t，由式(8)可求得

對其他分布的剩余張力，均可由式(8)積分獲得纏繞張力設計方案。

5 數值算例和討論

由式(10)～式(12)可知，決定剩余纏繞張力大小的因素有芯模和纏繞層的材料參數和幾何參數。文獻［13］提出纏繞層m、錐度系數α對剩余纏繞張力的影響。在此基礎上，本文考慮芯模變形影響，討論不同芯模內經α(單位:m)對剩余纏繞張力的影響。以薄板層為纏繞層，芯模材料采用鋼。取彈性模量E=210 GPa，相對彈性模量 E21=1，泊松比 ν(1)= ν(2)=0.3。幾何參數 b=0.5 m，c=1 m，m=2。

5.1 錐度纏繞后的剩余張力分布

圖2所示為利用式(10)在不同內徑芯模上取錐度系數α=0.3，錐度纏繞后的剩余張力分布。橫坐標表示纏繞層所在的徑向位置，縱坐標表示纏繞后的剩余張力與初始張力t的比值。剩余張力隨著芯模內徑a的減小而增大，即芯模壁厚越大，剩余張力越大;剩余張力是隨纏繞層位置的增大而增大。

圖2 錐度纏繞在不同a值時剩余張力沿徑向的分布Fig.2 Residual tension distribution along radial direction by taper winding at different values of a

5.2 等張力纏繞后的剩余張力分布

圖3所示為由式(11)給出不同內徑芯模上等張力纏繞后的剩余張力分布。橫坐標表示纏繞層所在的徑向位置，縱坐標表示纏繞后的剩余張力與初始張力t的比值。剩余張力隨著a的減小而增大，即芯模壁厚越大，剩余張力越大;剩余張力是隨纏繞層位置的增大而增大。

圖3 等張力纏繞在不同a值時剩余張力沿徑向的分布Fig.3 Residual tension distribution along radial direction by equal tension winding at different values of a

5.3 等力矩纏繞后的剩余張力分布

圖4所示為由式(12)得到不同內徑芯模上等力矩纏繞后的剩余張力分布。橫坐標表示纏繞層所在的徑向位置，縱坐標表示纏繞后的剩余張力與初始張力t的比值。剩余張力隨著a的減小而增大，即芯模壁厚越大，剩余張力越大;剩余張力是隨纏繞層位置的增大而增大。

5.4 實現均勻剩余張力的纏繞張力

假設纏繞后剩余張力為t，取纏繞層外徑c=0.6 m，其他幾何參數和材料參數與前面一致。圖5所示為實現均勻剩余張力的纏繞張力分布。橫坐標表示纏繞層所在的徑向位置，縱坐標表示纏繞張力與剩余張力t的比值。由式(13)通過變化幾何參數a改變芯模壁厚，進而得到相對纏繞張力隨徑向位置的變化曲線。

由圖5可見，芯模的壁厚越大，纏繞張力越小。纏繞張力是隨纏繞層位置的增大而減小。

5.5 與現有均勻剩余張力研究結果的比較

文獻［14］利用有限元方法，計算了文獻［15］給出的鋼帶纏繞實例。按該文的幾何參數和材料常數，計算得到 H= －0.883 32，m=1.18，t=105 MPa。按式(13)，得到最大內側纏繞張力Tw(1)=410.1 MPa。考慮到本文分析為無限薄寬帶連續纏繞，按照原文的纏繞帶厚度修正m=1.18－0.007 5(纏繞帶厚度δ與芯模外徑b的比值)，此時Tw(1)=397.4 MPa。按照每層纏繞帶所處區間積分計算張力，獲得354.2，288.9，244.1，211.5，186.7，167.3，151.7，138.9，128.3，119.3，111.6，105.0 MPa。對比表明，該結果介于文獻［14］和［15］結果之間，并非常接近它們的平均值。而本文解析公式(13)簡單實用。

圖5 在不同a值時實現均勻剩余張力的纏繞張力分布Fig.5 Winding tension leading to uniform residual tension distribution along radial direction at different values of a

6 結論

(1)在錐度纏繞、等張力纏繞和等力矩纏繞的情況下，剩余張力隨徑向位置的增大呈遞增趨勢，且隨芯模壁厚的增大而增大。

(2)剩余張力分布和實現均勻剩余張力的纏繞張力分布可根據本文得出。

(3)本文計算方法考慮芯模變形影響，得出的纏繞張力和剩余張力計算公式能給出更貼合實際的結果。

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