基于粒子群算法的磁懸浮儲能飛輪結構優化設計?

王 喆，譚天力，周 雙，徐開發，安宏彬

（武漢理工大學 機電工程學院，湖北 武漢 430070）

0 引言

在磁懸浮飛輪儲能系統中，飛輪是系統儲能性能的核心部件［1］，通常希望它能以盡可能小的質量來儲存盡可能多的能量，即要有高的儲能密度，而在設計轉速下飛輪的儲能密度主要取決于飛輪的結構形狀。近年來國內外學者對飛輪的結構作了很多的設計研究。Arslan［2］基于有限元法研究了6種不同截面形狀的金屬飛輪的儲能性能。Eby等［3］采用并行遺傳算法研究變厚金屬飛輪的儲能密度最大化問題，但這些算法需要人為確定較多參數，并且收斂速度慢，效率不高。郭振宇等［4］采用差異演化算法對飛輪結構進行了優化，此算法采用了迭代離散控制點的優化思路，計算繁瑣，耗時長，且易陷入局部最優解。本文在已有研究成果的基礎上，運用粒子群優化算法，并結合ANSYS有限元分析軟件，對磁懸浮儲能金屬飛輪進行了結構優化設計。

1 磁懸浮飛輪儲能原理

磁懸浮飛輪儲能裝置是通過外部動力源帶動基于磁懸浮技術支承的飛輪高速旋轉，能量以飛輪的機械能形式儲存，然后通過發電機將機械能轉換為電能輸出。本文中的飛輪樣機如圖1所示，磁懸浮支承結構如圖2所示，采用永磁軸承和機械軸承相結合，保證飛輪在較高轉速下穩定旋轉。

2 飛輪結構優化的數學模型

2．1 目標函數

對于材料均勻、厚度可變的金屬飛輪，設飛輪的軸向厚度δ（r）是半徑r的函數，則飛輪的質量m、轉動慣量J和動能E可分別表示為：

其中：ρ為飛輪材料密度；ω為飛輪轉速；ra、rb分別為飛輪內、外徑。

圖1 飛輪樣機

圖2 磁懸浮支承結構

單位質量飛輪儲存的能量為飛輪的儲能密度，則飛輪的儲能密度D表示為：

其中：R為飛輪的有效回轉半徑。飛輪的儲能密度是衡量飛輪儲能性能的重要指標，本文以此作為結構優化模型的目標函數。由式（1）可知，提高飛輪轉速和增大飛輪的有效回轉半徑都可以增大飛輪的儲能密度，在材料確定的情況下，飛輪的轉速要受到飛輪材料強度的限制。因此在給定設計轉速下，飛輪的儲能密度主要取決于飛輪的結構形狀。

2．2 約束條件

（1）基于磁懸浮支承的飛輪高速旋轉時主要承受離心力作用，可以采用平面應力理論來分析飛輪受力情況［5］。由平衡條件［6］知：

其中：σθ為環向應力；σr為徑向應力。

本構方程為：

其中：εθ、εr分別為環向應變和徑向應變；μ為泊松比。

幾何方程為：

在離心力作用下，飛輪在平面應力場中徑向應力和環向應力都是受拉的，所以σθ（r）＞0，σr（r）≥0，則依據Tresca準則有：

σθ（r）≤［σ］，σr（r）≤［σ］。

（2）為滿足裝配要求，飛輪的設計還應滿足尺寸要求：

δmin≤δ（r）≤δmax。

其中：δmin、δmax分別為飛輪最小、最大軸向厚度。

2．3 優化模型

對于本文樣機中的飛輪，材料選用普通碳鋼Q235，其密度ρ＝7．8×103kg／m3，屈服強度σs＝235 MPa，泊松比μ＝0．26；δmin＝30mm，δmax＝80mm；在內徑ra處的邊界條件是：σr（ra）＝0，ra＝9mm。因此，

其中：u為徑向位移。

由式（2）～式（5）可得應力協調方程為：飛輪結構優化模型可描述為：

3 基于粒子群算法（PSO）的優化設計

3．1 算法設計

以D最大化為目標函數，在一個n維空間里，記粒子的當前位置為δ（r）i＝（δ（r）i1，δ（r）i2，…，δ（r）in），粒子的當前飛行速度為vi＝（vi1，vi2，…，vin），pi（pi1，pi2，…，pin）為粒子所經歷過的最好位置，這里以目標函數為適應度函數，即粒子所經歷過的最大目標函數的位置適應值最好［7］，則粒子i的當前最好位置pi（t＋1）為：

假如群體數為S，群體中所有粒子經歷過的最好位置為pg（t），稱為全局最優解，則：

D（pg（t））＝max｛D（p0（t）），D（p1（t）），…，D（ps（t））｝。速度與位置更新過程描述如下：

vij（t＋1）＝vij（t）＋c1rand（1）（pij（t）－δij（t））＋c2rand（2）（pgj（t）－δij（t））。

δij（t＋1）＝δij（t）＋vij（t＋1）。

其中：δij為第i個粒子在第j維的位置；pij為第i個粒子在n維空間里經歷過的最好位置，即局部最優解；pgj為種群中粒子經歷過的最好位置，即全局最優解；vij為粒子i的飛行速度；t表示第t代；rand（）為［0，1］范圍內的隨機數；c1和c2為加速度常數。

3．2 優化程序設計

在對飛輪結構所建模型以及PSO實現方法研究的基礎上，運用MATLAB軟件進行編程計算。程序模塊包括應力計算模塊、粒子群初始參數化模塊、粒子位置與速度更新模塊和尋優主模塊。程序流程如圖3所示。

本文中粒子群算法的初始化參數分別為：群體規模S＝200；加速度c1＝1．8，c2＝1．5。經過計算得到優化結果如下：圖4為優化結果。

圖3 程序流程圖

圖4 優化結果圖

4 優化飛輪的有限元分析

在給定設計轉速15 000r／min下，運用ANSYS軟件對上述計算得到的優化飛輪進行有限元靜態分析和模態分析，得到相應的應力云圖及結構模態，如圖5～圖7所示。

圖5 應力分布

圖6 應變分布

從圖5可以看出，飛輪在設計轉速下的最大應力為209．2MPa，小于普通碳鋼的抗拉屈服強度235 MPa，有一定的安全裕量，滿足強度要求，所以該優化飛輪的結構設計是合理的。通過計算得到優化飛輪（如圖8所示）與等質量普通餅狀飛輪（如圖9所示）的儲能參數，如表1所示。

圖7 總變形

圖8 優化飛輪

圖9 等厚餅狀飛輪

表1 優化飛輪與餅狀飛輪對比

優化結構后的飛輪儲能密度為同等質量餅狀飛輪儲能密度的186．03%，優化后的飛輪儲能性能大大提高。

5 結語

（1）本文基于粒子群算法和結構有限元分析軟件ANSYS，在給定設計轉速，同時滿足結構強度、剛度、體積等約束條件的前提下，以飛輪儲能密度最大化為目標，尋求磁懸浮飛輪的最優結構，優化結果令人滿意。

（2）粒子群優化算法具有很好的全局優化能力，同時該算法的思路清晰，實現較容易，且該算法需要人為確定的參數較少，故優化結果比較客觀、準確。

（3）本文所建立的參數化模型可用于儲能飛輪系列產品的設計，能有效提高設計效率，縮短設計周期，降低制造成本。

［1］ 戴興建，李奕良，于涵．高儲能密度飛輪結構設計方法［J］．清華大學學報（自然科學版），2008，48（3）：378－381．

［2］ Arslan Ｍ Ａ．Flywheel geometry design for improved energy storage using finite element analysis［J］．Materials and Design，2008，29（2）：514－518．

［3］ Eby D，Averill R，Goodman E，et al．The optimization of flywheels using an injection island genetic algorithm［J］．Evolutionary Design by Computers，1999，13：167－190．

［4］ 郭振宇，葉敏，程博，等．基于差異演化算法的高速儲能飛輪形狀優化設計［J］．吉林大學學報（工學版），2008，38（1）：80－83．

［5］ 閆曉磊．儲能飛輪優化設計理論與方法研究［D］．長沙：湖南大學，2011：15－17．

［6］ 徐秉業，劉信聲．應用彈塑性力學［M］．北京：清華大學出版社，2003．

［7］ 茹忠亮，趙洪波，索玉萍．微粒群算法在結構優化設計中的應用［J］．河南理工大學學報，2006（10）：395－398．