基于計算力矩的助行腿機器人神經網絡補償控制

馮治國

貴州大學，貴陽，550025

0 引言

步行訓練機器人系統LOKOMAT、LOPES、GBO是針對脊椎損傷（spinal cord injury，SCI）患者進行步態康復訓練的自動化設備中的典型代表。該類機器人具有 “機器主動”和“患者主動”兩種運動訓練模式。“機器主動”和“患者主動”運動訓練模式的控制策略研究已成為國際康復訓練機器人領域的熱點。文獻［1－2］為 LOKOMAT機器人主動訓練模式設計了比例－微分（proportion－differential，PD）反饋位置控制器，采用力／位置混合自適應控制方法，實現了患者主動訓練。文獻［3－4］在研究阻抗控制基礎上，提出了自適應協作控制算法，實現了LOPES與患者交互作用力的控制。文獻［5－6］采用PD反饋軌跡跟蹤控制方法實現了GBO的機器主動訓練，且提出了基于阻抗控制的患者主動訓練控制算法。上述控制方法大多忽略了機器人動力學模型以及環境等不確定因素，這將影響對期望關節角位移和力矩的跟蹤能力，以至于影響對康復訓練以及評估參數的提取。

本文針對研究的步行康復訓練助行腿機器人系統，采用拉格朗日法，建立了“機器主動”運動訓練模式下人機系統的動力學模型，且設計了基于計算力矩加PD反饋的神經網絡控制器，以實現助行腿機器人與患者系統的主從跟隨控制，彌補機器人動力學模型的不確定性，提高助行腿軌跡跟蹤能力。

1 助行腿機器人動力學模型

為了研究助行腿步行動態特性，根據減重步行原理，結合助行腿的結構（圖1），作如下假設：①助行腿在矢狀面上運動，即髖關節、膝關節只是彎屈、伸展運動；②助行腿的髖關節在水平方向運動被限制，只在垂直方向運動；③支撐腳連續接觸跑步機，并隨跑步機一起運動；④單條助行腿是三連桿機構，包括髖關節、膝關節、踝關節、大腿、小腿和腳；⑤“機器主動”訓練時，訓練患者的腿與助行腿視為一體，即助行腿的負載變為固有質量。助行腿機器人在跑步機上的步行模型如圖2所示。圖2中模型參數描述見表1。

圖1 助行腿機器人

圖2 助行腿機器人步行模型

表1 助行腿模型參數

由步行模式分析可知，在一個完整步態周期內，助行腿在跑步機上步行包括單足支撐階段和雙足支撐階段，但由于運動約束條件不同，動力學參數有區別。因此，針對步行周期的兩個階段，分別建立動力學方程，討論系統動態特性。

1.1 助行腿單足支撐動力學模型

助行腿單足支撐時，支撐腿跟隨跑步機運動，擺動腿處于懸空狀態。此時，由圖2所示位置關系，可求出每桿的質心位置矢量為

支撐腳端點位置矢量為

將式（1）～式（6）求導，可得相應位置的速度矢量為

因此，根據質心位置和速度即可求出系統拉格朗日能量函數：

式中，g為重力加速度；In為轉動慣量。

對式（13）求偏導和導數，建立第一類歐拉－拉格朗日方程，并避免冗余驅動，設T0＝0（Ti為關節轉動力矩，i＝0，1，…，5），則有

將式（14）寫成下面的標準形式：

式中，mf為腳的質量。

1.2 助行腿雙足支撐動力學模型

在雙足支撐階段，雙足與跑步機接觸，且沒有相對滑動，因此構成閉鏈結構，動力學模型的建立存在運動約束問題。運動約束方程為

利用約束方程產生雅可比矩陣J（θ），將雙足所受跑步機施加的作用力f映射到關節空間。因此，用與單足支撐動力學相同的推導方法，可求出雙足支撐時動力學方程為

式（20）中各系數矩陣含義同式 （15），MD是5×5對稱慣性力矩陣，CD為5×5反對稱向心力和哥氏力矩陣，GD為5×1重力矩陣，TD為關節力矩。

2 基于計算力矩加PD反饋的神經網絡控

“機器主動”訓練模式時，文獻［7］中采用的計算力矩加比例加PD控制方法由于受系統的不確定因素影響，只能實現有偏跟蹤。為此，本文利用神經網絡具備的逼近任何非線性函數的能力、自學習及自適應能力，對到助行腿機器人關節計算力矩的不確定性部分進行補償控制，以提高系統軌跡跟蹤能力，實現無偏軌跡跟蹤。

目前，應用于非線性系統辨識和控制中的神經網絡主要有反向傳播（backpropagation，BP）和徑向基函數（radial basis function，RBF）。兩者主要區別在于非線性映射上作用函數不同，前者的S作用函數是全局的，后者的RBF作用函數為局部的，較前者結構更為簡單，網絡優化速度更快［8－10］。因此，本文將徑向基函數神經網絡應用于助行腿機器人補償控制，消除控制中的不確定性因素。

由圖3所示的基于計算力矩加PD反饋的RBF神經網絡補償控制方案可以看出，控制助行腿機器人的輸入為

TCT是計算力矩控制器的輸出；TNNC是RBF神經網絡補償控制力矩，定義為

其中，M（θ）為慣性矩陣是助行腿系統中不確定性f′的估計，定義為

式中，φ（X）為高斯函數的輸出最佳RBF神經網絡權值W＊的估計值；ci為高斯基函數的中心矢量；σi為高斯基函數形狀的寬度。

圖3 RBF神經網絡補償控制

由文獻［7］中計算力矩加PD反饋控制器可知：

式中，KD為微分增益矩陣；KP為比例增益矩陣；C（θ）為哥氏力矩陣；G（θ）為重力矩陣；e為角度偏差為期望加速度。

由式（15）、式（21）～ 式（24），可得

式（25）表示機器人逆向動力學建模誤差與跟蹤誤差之間的關系，可以將其用狀態空間的形式表達如下：

式中，η為RBF神經網絡建模誤差。

當神經元網絡自適應權值更新選取很合適時，系統跟蹤誤差向量是漸進穩定的。定義Lyapunov函數為

式中，P為正定矩陣。

由式（26）、式（28）得到：

將Lyapunov方程PA＋ATP＝－Q代入式（29）可得

則式（31）可寫成：

式中，λmin（Q）、λmax（P）分別為矩陣Q、P的最小、最大特征值；η0為建模誤差的上界。

即系統誤差收斂條件為

通過分析式（35）可知，Q的特征值越大，P的特征值越小，神經網絡建模誤差η的上界η0越小則X越收斂，跟蹤效果越好。此神經網絡是無重構誤差的理想狀況，實際中存在誤差，該方法無法保證神經網絡權值的有界性。

神經網絡權值的自適應調整為

由式（31）、式（37）可得

根據范數性質，可推出：

式中，Wmax為神經網絡權值中的最大值。

由式（38）～ 式（40）可得

即收斂條件：

采用上述方法可保證控制系統狀態估計與神經網絡權值一致且最終有界，系統不確定因素導致的建模誤差域 ‖η0‖ 決定系統跟蹤誤差收斂域‖X‖。

3 仿真實驗

本文利用建立的ADAMS－MATLAB助行腿機器人虛擬樣機協同仿真平臺進行助行腿動力學模型和運動控制算法的仿真驗證。仿真實驗中，助行腿機器人步行模型機構參數見表2。仿真數據是利用美國Motion Analysis公司的Hawk數字動作捕捉及分析系統在跑步機上進行真人步行實驗時采集的步態數據，采樣周期為0.02s，步態為周期1s，步長為0.5m。

表2 助行腿的結構參數

為對比分析計算力矩加比例加PD控制和基于計算力矩加PD反饋的神經網絡控制方法的軌跡跟蹤效果，首先進行計算力矩加PD控制方法的仿真，經過多次仿真實驗，調整比例微分參數，確定KP=diag［50 50］，KD=diag［50 50］。在RBF神經網絡補償控制方法中，取KP、KD取值相同。由于助行腿雙腿可以視為兩個獨立控制體，所以將助行腿每條單腿作為控制單元，輸入層為單腿兩關節期望軌跡值與虛擬樣機虛擬傳感器測得實際的偏差值（下標h、k、a分別表示髖關節、膝關節、踝關節，輸出層為對應關節的補償力矩傳遞函數為高斯函數，仿真時初始權值W設為［－10，10］之間的隨機數，將隱元中心設為ci＝［－2 －1 0 1 2］，bi＝［1］（i＝1，2，3，4），助行腿各關節位置誤差和初始速度均設為零。采用方法（2）的自適應權值調整律。

從圖4和圖5可知，髖關節、膝關節和踝關節角位移誤差范圍分別為－0.156～0.28rad、－0.146～0.08rad、－0.005～0.095rad；髖關節角、膝關節角和踝關節角速度誤差范圍分別為－0.18～0.2rad／s、－0.39～0.41rad／s、－0.33～0.22rad／s。上 述 結果表明計算力矩加PD控制方法能夠達到預期的控制效果。但此方法控制效果容易受以下因素的影響：①系統建模誤差、擾動等一些不確定因素；②計算力矩中由于采取簡化計算或近似算法，導致助行腿的連桿質量分布及轉動慣量計算不準確，引入額外誤差；③由于忽略助行腿中一些小零件，因此計算力矩沒有考慮小部件影響，產生偏差。圖6和圖7是引入RBF神經網絡補償控制的仿真結果，髖關節、膝關節角和踝關節角位移誤差范圍分別為－0.053～0.087rad、－0.043～0.025rad、－0.027～0.023rad；髖關節、膝關節和踝關節角速度誤差范圍分別為－0.063～0.068rad／s、－0.086～0.096rad／s、－ 0.098 ～0.088rad／s。對比分析結果，采用RBF神經網絡對計算力矩誤差進行補償后，助行腿的關節角位移、角速度誤差變得更小，一定程度上提高了計算力矩的精度，使得助行腿關節軌跡跟蹤能力明顯提高。

圖4 關節角位移曲線

圖5 關節角速度曲線

4 系統測試實驗

根據設計的“機器主動”訓練模式控制策略，在搭建的樣機平臺上進行無人空載步行實驗，以測試系統在空載下助行腿關節的軌跡跟隨情況。

實驗過程中，為了檢驗助行腿關節軌跡跟隨狀況，采用編碼器反饋采集外骨骼關節運動軌跡。采用模擬量輸出的編碼器容易受電磁干擾，本實驗中主要受伺服電機的影響。為了消除不確定干擾因素，對編碼器的輸出進行濾波、添加屏蔽線等操作。為進一步檢驗編碼器反饋數據是否滿足要求，使用NDI運動捕捉儀進行助行腿關節軌跡檢測。圖8～圖10所示為5s步態周期空載狀況下，外骨骼助行腿髖關節、膝關節和踝關節的期望軌跡、編碼器采集數據和NDI運動捕捉儀采集數據的比較。髖關節誤差在±1°內，膝關節，踝關節誤差在±0.5°內。圖中表明，理論值與編碼器采集數據最大誤差產生在關節的最大角度處，主要是由于步行過程中助行腿的慣性引起的，此外，助行腿系統機械裝配間隙誤差，如驅動器與關節連接頭部、關節軸軸向竄動等也是產生誤差的因素。系統零位設置（主要靠操作人員調整）等影響因數會造成軌跡跟蹤誤差。

圖6 關節角位移曲線（RBF補償）

圖7 關節角速度曲線（RBF補償）

圖8 5s步態周期髖關節角度軌跡

5 結束語

圖9 5s步態周期膝關節角度軌跡

圖10 5s步態周期踝關節角度軌跡

本文利用拉格朗日法，建立了“機器主動”運動訓練模式下助行腿機器人系統在跑步機上步行的動力學模型，并在虛擬樣機協同仿真平臺進行動力學仿真求解運算，為研究助行腿機器人“患者主動”運動訓練模式時的動態特性奠定基礎。

基于計算力矩加PD反饋的RBF神經網絡補償控制，可以保證軌跡跟蹤的漸近穩定，較計算力矩加PD反饋控制更能實現助行腿機器人關節非線性系統的時變軌跡跟蹤控制，達到了消除系統動力學模型不確定因素，提高軌跡跟蹤控制性能的目的。

［1］Riener R，Lunenburger L，Jezernik S，et al.Patientcooperative Strategies for Robot－aided Treadmill Training：First Experimental Results［J］.IEEE Transactions on Neural Systems and Rehabilitation Engineering，2005，3（13）：380－394.

［2］Jezernik S，Colombo G，Morari M.Automatic Gaitpattern Adaptation Algorithms for Rehabilitation with a 4－DOF Robotic Orthosis［J］.IEEE Transaction on Robotics and Automation，2004，20（3）：574－582.

［3］Agrawal S K，Banala S K，Fattah A.Assessment of Motion of a Swing Leg and Gait Rehabilitation with a Gravity Balancing Exoskeleton［J］.IEEE Transactions on Neural Systems and Rehabilitation Engineering，2007，15（3）：410－420.

［4］Banala S K，Kulpe A，Agrawal S K.A Powered Leg Orthosis for Gait Rehabilitation of Motor－impairedPatients［C］／／IEEE International Conference on Robotics and Automation.Roma，2007：4140－4145.

［5］Asseldonk E H，Veneman J F，Ekkelenkamp R.The Effects on Kinematics and Muscle Activity of Walking in a Robotic Gait Trainer during Zero－force Control［J］.IEEE Transactions on Neural Systems and Rehabilitation Engineering，2008，16（4）：360－370.

［6］Ekkelenkamp R，Veneman J F，Kooij van der H.Selective Control of Gait Functions during the Gait Rehabilitation of CVA Patients［C］／／IEEE 9th International Conference on Rehabilitation Robotics.Chicago，2005：361－364.

［7］Feng Zhiguo，Qian Jinwu，Zhang Yanan，et al.Dynamics Modeling and Motion Control for Lower Limb Exoskeleton Orthosis［J］.Chinese High Technology，2009，19（3）：267－272.

［8］Teixeira R，Braga A P，Menezes B.Control of a Robotic Manipulator Using Artificial Neural Networks with On－line Adaptation［J］.Neural Processing Letters，2004，12：19－31.

［9］Wang Dongshu，Shen Dazhong.A Method of an Enhanced Computed－torque Control for Robot with a Neural－compensator［J］.Chinese High Technology，2007，17（5）：479－483.

［10］賀紅林，劉文光，汪洋.直接驅動機器人的函數鏈神經網絡PD復合控制［J］.中國機械工程，2012，23（21）：2061－2066.He Honglin，Liu Wenguang，Wang Yang.Tracking Control of Robotic Manipulator Using a Hybrid Controller Composed of an Artificial Neural Network and a PD Sub－controller［J］.China Mechanical Engineering，2012，23（21）：2061－2066.