基于分形接觸模型的齒輪接觸強度影響參數分析

陳 奇 黃 康 張 彥 孫 浩

合肥工業大學，合肥，230009

0 引言

齒輪接觸強度是齒輪設計中的重要設計量，其大小直接影響到齒輪的承載能力和壽命。通常齒輪強度理論為 Hertz彈性接觸理論［1］，由于Hertz理論成熟，計算過程簡單，因此仍用于齒輪的接觸強度分析。目前，也有應用有限元方法進行齒輪接觸應力計算［2］，分析齒輪的接觸強度，因其分析結果直觀、可視性好，因此也被廣泛應用于齒輪的接觸應力計算。

由于Hertz彈性接觸理論不能分析同曲率內接觸時的接觸應力而有限元方法相對比較繁瑣［3］，故文獻［3］給出了一種新的齒輪接觸應力計算方法——基于分形理論的齒輪接觸應力計算方法，并進行了實例計算，證明了該方法的科學性。

本文應用該方法進行齒輪接觸強度分析，討論影響齒輪接觸強度的參數，并通過討論這些參數得出提高接觸強度的方法，從而改善齒輪的接觸質量，增加齒輪的承載能力，延長齒輪的壽命。

1 基于分形接觸模型的齒輪接觸強度理論

1.1 分形接觸模型

由文獻［3］知，分形接觸模型是齒輪接觸應力計算的重要理論。從分形接觸模型中可得到齒輪接觸面的接觸載荷與真實接觸面積之間的關系。為便于分析，下面列述分形接觸模型的公式。

設Ac為單個微突體由彈性變形變化到塑性變形的臨界面積［4-5］，Al為最大接觸點的面積。分形接觸模型表述了齒輪接觸面的接觸力與接觸面積的關系。分下述兩種情況［6-8］進行描述。

（1）當Al≥Ac，接觸點處于彈塑性接觸，此時又分為兩種情況：

①分形維數D≠1.5，則有

②分形維數D＝1.5，則有

（2）當Al＜Ac，接觸點都處于塑性接觸，此時有

式（1）～ 式（7）為兩齒輪接觸應力計算的分形接觸模型。

1.2 基于分形接觸模型的齒輪接觸應力計算

由文獻［3］知，應用分形接觸模型進行齒輪接觸應力計算通常由以下三個步驟組成：

（1）建立齒輪接觸應力計算的分形接觸模型。通過建立分形接觸模型，可建立接觸面的接觸力與接觸面積之間的關系，為求解接觸強度提供理論公式。

（2）針對具體接觸表面的性質，確定模型中的參數。在分形接觸模型中，以下幾個參數對其有重要影響：分形維數D、粗糙度幅值參數G＊、材料的特性參數φ。

（3）代入模型，進行接觸應力的求解。當確定齒輪表面接觸系數、接觸體間的法向載荷F、分形維數D、粗糙度幅值參數G＊和材料的特性參數φ后，即可通過分形接觸模型計算出實際接觸面積Ar，然后利用公式σ＝F／Ar計算出接觸應力。

2 影響齒輪接觸強度的相關參數分析

由上述分析知，應用分形接觸模型進行齒輪接觸應力計算時，粗糙度幅值參數G＊、材料的特性參數φ、分形維數D和表面粗糙度Ra對計算結果有重要影響，下面研究這些參數對齒輪接觸應力的影響，為減小齒輪接觸應力、增加齒輪接觸強度提供依據。

2.1 粗糙度幅值參數G＊對接觸強度的影響

由文獻［5，9-11］知，G＊主要反映材料的表面性質。由圖1可得，減小G＊能提高彈性接觸面積占真實接觸面積的比例，可改善表面接觸性質，從而提高齒輪接觸強度。

2.2 材料的特性參數φ對接觸強度的影響

圖1 粗糙度幅值參數G＊對模型預測結果的影響

從圖2a中可看出，增大φ會使曲線下移，接觸應力增大。但從圖2b中看出，φ增大同時使彈性面積增加，表面接觸性質改善。另外，從公式φ＝σy／E中可看出，增大σy，即增大較軟材料的屈服強度σy，可提高接觸對的整體接觸承載能力［12］。由此可見，增大材料的特性參數φ有利于提高齒輪接觸強度。

圖2 材料的特性參數φ對模型預測結果的影響

2.3 分形維數D對接觸強度的影響

從圖3中可看出，分形維數D與齒輪接觸應力之間不是線性關系，而是存在一最佳值。因此，為了使齒輪接觸強度最高，需根據齒輪實際的載荷和工況，求解出最優的分形維數D。

圖3 分形維數D對模型預測結果的影響

2.4 表面粗糙度Ra對接觸強度的影響

為了得到表面粗糙度對接觸強度的影響，取3個不同表面粗糙度（分別為0.2μm、1.6μm和12.5μm）的齒輪接觸對，應用上述分形模型，可得到其載荷與面積的關系，以及彈性變形下的真實接觸面積，如圖4所示。

由圖4a可見，隨著表面粗糙度的降低，真實接觸面積增加，遵循該趨勢可得：降低表面粗糙度，有利于改善接觸狀態。但從圖4b來看，真實面積中發生彈性變形的真實接觸面積（增加彈性變形的接觸面積有利于提高接觸強度）并不是和表面粗糙度成線性關系的，只有取一定的表面粗糙度時，才能使發生彈性變形的真實面積最大。彈性變形的真實面積越大，則接觸應力越小，接觸條件越好。關于這一點，在以前的Hertz彈性接觸理論或有限元理論運用過程中是得不到的。之所以在分形模型中能體現其影響，其原因在于分形理論的研究是從接觸體的微觀形態出發的，而常用的接觸理論從接觸體的宏觀特性出發計算接觸應力。

圖4 表面粗糙度對模型的預測結果

為了進一步說明表面粗糙度對接觸強度的影響，圖5給出了當粗糙度在0.01～12.5μm之間變化時，一對漸開線齒輪的接觸應力大小的變化情況。齒輪相關條件如下：小齒輪齒數z1＝25，大齒數齒數z2＝83，其余參數相同，分別為：驅動力矩為9.5×104N·mm；模數m＝2mm，壓力角α＝20°，齒 寬B＝17mm，彈性模量E＝206GPa，泊松比μ＝0.3；變位系數為0；齒輪為6級精度。

圖5 接觸應力與表面粗糙度的關系

由圖5可見，接觸應力并不是隨著表面粗糙度Ra的降低而一直減小，而是：當表面粗糙度很小時，接觸應力很高；隨著表面粗糙度增大，接觸應力減小；當表面粗糙度為一定值（約為0.36μm）時，接觸應力達到最小值；隨著表面粗糙度繼續增大，接觸應力逐漸增大。同時，當表面粗糙度很小或者很大時，表面粗糙度對接觸應力的影響不大。

由此可見，在設計齒輪表面粗糙度時，并不是越低越好，而是根據實際的接觸情況，選擇一個最佳的表面粗糙度值，才能使接觸應力最小，從而使齒輪接觸狀態最優。

上述結論可解釋如下：當表面粗糙度很小時，表面輪廓非常光滑，兩接觸體的接觸可認為是點與點的接觸，接觸面積很小，所以接觸應力較高。隨著表面粗糙度的提高，表面輪廓變得有些粗糙，兩接觸體間的接觸可認為是多微凸體間的接觸，兩者互相融合，接觸面積增加，從而使接觸應力減小，并在表面粗糙度達到一定數值時，兩接觸體融合得最好，此時的接觸應力最小。隨著表面粗糙度繼續增大，表面輪廓的不平程度增加，兩接觸體融合情況變差，因此接觸面積減小，接觸應力增大。之后，隨著表面粗糙度繼續增大，表面輪廓變得非常粗糙，因此接觸狀態越來越差，接觸應力越來越大。但當表面粗糙度達到一定數值時，其對接觸應力的影響變化不大。

上述分析說明：表面粗糙度對接觸強度的影響符合實際情況，齒輪分形接觸模型正確。

3 結論

（1）在應用分形接觸模型進行齒輪接觸應力計算時，粗糙度幅值參數G＊、材料的特性參數φ、分形維數D和表面粗糙度Ra這4個參數對結果有重要影響。

（2）減小粗糙度幅值參數G＊、增大材料的特性參數φ可有效改善接觸條件，提高接觸強度。另外，分形維數D與接觸強度之間不是線性關系，只有選擇一定的分形維數數值，才能使接觸狀態達到最佳。

（3）表面粗糙度對接觸強度的影響不是簡單的線性關系，即并不是表面粗糙度越低越好，而是存在一個最優值。即在齒輪設計、確定齒輪的表面參數時，需要根據齒輪的實際載荷和工況，求解出表面粗糙度的最優值，而不是一味地降低表面粗糙度。這一點對實際的齒輪設計有重要意義，可有效地降低齒輪成本。

［1］濮良貴，紀名剛.機械設計.［M］.8版.北京：高等教育出版社，2006.

［2］楊生華.齒輪接觸有限元分析［J］.計算力學學報，2003，20（2）：189－194.Yang Shenghua.Finite Element Analysis of Gear Contact［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2003，20（2）：189－194.

［3］陳奇，趙韓，黃康，等.分形理論在齒輪接觸應力分析中的應用研究［J］.中國機械工程，2010，21（9）：1014－1017，1057.Chen Qi，Zhao Han，Huang Kang，et al.Application Research on Gear Contact Stress Analysis by Fractal Theory［J］.China Mechanical Engineering，2010，21（9）：1014－1017，1057.

［4］Bhushan B.Introduction to Tribology［M］.New York：John Wiley＆Sons，2002.

［5］葛世榮，朱華.摩擦學的分形［M］.北京：機械工業出版社，2005.

［6］Majumdar A，Bhushan B.Elastic－plastic Contact Model for Bifractal Surfaces［J］.Wear，1992，153：53－64.

［7］Thomas W，Dusan Krajcinovic L.Fractal Models of Elastic－perfectly Plastic Contact of Rough Surfaces Based on the Cantor Set［J］.International Journal of Solids and Structures，1995，32：2907－2922.

［8］Han J H，Shan P，Hu S S.Contact Analysis of Fractal Surfaces in Earlier Stage of Resistance Spot Welding［J］.Materials Science and Engineering A，2006，435／436：204－211.

［9］葛世榮.粗糙表面的分形特征與分形表達研究［J］.摩擦學學報，1997，17（1）：73－80.Ge Shirong.The Fractal Behavior and Fractal Characterization of Rough Surfaces［J］.Tribology，1997，17（1）：73－80.

［10］朱育權.粗糙表面接觸的彈性／彈塑性、塑性分形模型［J］.西安工業學院學報，2001，21（2）：150－157.Zhu Yuquan.The Elastic Elastoplastic and Plastic Fractal Contact Models for Rough Surface［J］.Journal of Xi’an Institute of Technology，2001，21（2）：150－157.

［11］馮麗，謝沛霖.粗糙表面接觸問題的數值計算研究［J］.武漢理工大學學報，2008，30（10）：124－126，130.Feng Li，Xie Peilin.Numerical Calculating of Contact Problem for Rough Surfaces［J］.Journal of Wuhan University of Technology，2008，30（10）：124－126，130.

［12］黃康，趙韓，陳奇.兩圓柱體表面接觸承載能力的分形模型研究［J］.摩擦學學報，2008，28（6）：529－533.Hang Kang，Zhao Han，Chen Qi.Research of Fractal Contact Model on Contact Carrying Capacity of Two Cylinders’Surface［J］.Tribology，2008，28（6）：529－533.