基于LSSVM的重力壩地震穩定易損性分析

李浩瑾，李俊杰，康 飛

(大連理工大學 建設工程學部，大連 116024)

由于地震的突發性，地震災害風險分析成為目前重要的防災減災措施之一，主要包括地震危險性分析，承災體易損性分析和災害損失評估三個方面。其中承災體易損性分析是指結構在不同強度的地震作用下發生不同程度破壞的概率，可以比較全面地評價結構的抗震性能。大壩作為生命線工程的重要組成部分，一旦發生破壞甚至潰決將造成嚴重的生命財產損失，因此非常有必要對大壩進行地震易損性分析，以全面地了解其抗震能力。根據易損性分析的結果，一方面可以有針對地進行加固，另一方面可以作為地震損失評估的依據。

易損性分析的主要方法有經驗統計法和理論分析法［1］，由于目前能夠收集到的關于大壩震害的資料較少，因此很難進行經驗統計。理論分析法是一個可行的方法，在國內外取得了若干成果。Tekie等［2］建立了壩頸開裂、壩址塑性屈服等破壞模式的易損性曲線。Ghanaat［3］建議對混凝土大壩進行彈性及塑性損傷分析，并提出了破壞等級的劃分原則。沈懷志等［4］根據上述原則，對金安橋碾壓混凝土重力壩進行了地震易損性分析。上述研究均采用經驗對數假設建立擬合的易損性曲線。Tsompanakis等［5］指出，該方法建立的易損性曲線的精度低于基于Monte Carlo仿真(Monte Carlo Simulation，MCS)的易損性曲線的精度。大壩的動力反應分析，尤其是強震下的動力反應分析往往包括塑性、開裂、接觸等強非線性，計算量很大，MC有限元法需要進行大量的此類數值模擬，因此用該方法建立易損性曲線計算耗時過長，在實際工程中的應用受到限制。

支持向量機(Support Vector Machine，SVM)是Vapnik等［6］基于統計學習理論提出的構造預測及分類規則的通用方法，SVM基于結構風險最小化原則，減少過擬合，對未來樣本有較好的泛化性，適用于小樣本問題，在地震工程中的應用取得了若干成果。Oommen等［7］采用SVM預測土體液化側向位移，取得了比經驗回歸精度更高的結果。Goh等［8］建立了基于SVM的地震液化判別模型，取得了很好的效果。Suykens等［9］提出了最小二乘支持向量機(Least Squares Support Vector Machine，LSSVM)，提高了求解效率。王威等［10］利用LSSVM對地下管線系統震害等級進行仿真模擬，預測結果的正確率高于神經網絡預測模型和理論法。本文以重力壩地震穩定性為研究對象，利用LSSVM的非線性函數逼近能力，首先采用較少的動力時程分析結果作為學習樣本，建立地震動-重力壩動力響應的非線性映射關系，然后在此基礎上進行MCS以獲得其地震穩定易損性曲線。

1 重力壩動力穩定性分析方法

重力壩的抗震性能表現為保持地震時動態穩定的能力，以及避免出現局部高應力集中產生裂縫［11］。在重力壩的失效模式中，大壩沿地基或地基內薄弱面滑動是最為普遍的失效模式［3］，也是對下游破壞力最大的失效模式，本文以該模式為研究對象，分析重力壩在地震荷載作用下的整體穩定易損性。Alliard等［12］研究了重力壩累積滑動位移對排水系統產生破壞引起的揚壓力上升，進而導致抗滑安全系數下降的現象。美國標準［13］認為由于地震具有往復性，瞬時抗滑安全系數小于1.0并不能作為失穩判據，而應根據地震累積的失穩變形來判斷大壩的動態穩定，或是采用比較保守的參數進行震后穩定核算。因此，本文采用累積滑動位移作為評價大壩動態穩定性的指標。

1.1 壩基接觸模型

Leger等［14］指出，用傳統的擬靜力法評價大壩在地震荷載下的穩定性是沒有明確意義的，并根據壩體-壩基交界面不能承受較大的拉應力，在交界面采用接觸單元模擬大壩在地震荷載下的抗滑穩定性，分析了累積滑動位移、交界面張開最大百分比以及壩踵和壩趾區最大應力等指標，建議將交界面張開最大百分比作為動力穩定性的評價指標。Chopra等［15］采用接觸單元分析了壩體和地基的彈性模量對累積滑動位移的影響，并給出了壩體沿建基面滑動的臨界加速度。Mir等［16］通過對比試驗結果，驗證了在交界面采用接觸模型的合理性，并指出了不同的上游水位時，大壩整體失穩的不同形式。Arabshahi等［17］應用接觸單元，采用不同的交界面分離機制，分析了大壩的應力分布和累積滑動位移等動力響應，得出大壩沿建基面滑動會小幅度地降低壩體的應力水平，接觸面的抗拉強度和粘聚力對壩體動力響應的影響很小，而摩擦系數對壩體拉應力和壓應力均有很大影響等結論。上述研究在進行重力壩動力穩定分析時均采用接觸單元模擬壩基交界面，本文采用接觸力學模型模擬大壩與地基接觸面的張開、滑動等行為。接觸的力學模型包含特有的接觸界面非線性:① 接觸界面的區域以及接觸狀態未知且隨時間變化;② 接觸界面必須滿足不可相互嵌入、接觸力的法向分量只能是壓力以及切向接觸的摩擦條件，因此在求解上需要特殊的方法，目前主要有拉格朗日法和罰函數法。拉格朗日法根據最小勢能原理，通過引入拉格朗日乘子將接觸問題轉化為無約束極值問題，其解是嚴格滿足接觸面互不侵入條件的，但是在剛度矩陣中增加了零對角項，使得數值計算的收斂變得困難，特別是在動力分析中，接觸狀態的突然改變會增加收斂的難度，因此本文選用罰函數法。罰函數法在接觸界面發生嵌入時引入接觸力，將嵌入量控制在數值計算允許的范圍內。接觸力在接觸面法向上定義為嵌入量δ與接觸剛度k的乘積，物理意義可視為在接觸面上設置剛度為k的彈性彈簧。接觸剛度k的計算采用如下公式［18］:

式中，α為罰參數，A為接觸面單元的面積，V為接觸面單元的體積，E為材料的體積模量。合理的罰參數α應保證計算的收斂性，并且接觸力不會過大。接觸力在切向上滿足庫倫摩擦定律，即T=μcP+σ，其中T為切向接觸力，μc為接觸摩擦系數，P為法向接觸力，σ為粘聚力。在動力分析中，μc可以由靜態摩擦系數Fs、動態摩擦系數Fd、衰減系數Dc及接觸面相對速度v確定［18］

基于以上接觸面的本構關系，考慮接觸非線性的運動控制方程為:

式中，M為質量矩陣為節點加速度向量，C為阻尼矩陣為節點速度向量，K為剛度矩陣=［I Ni］，α為罰參數，I為單位矩陣，Ni為單元的位移插值函數，P(t)為節點荷載向量，Pc(t)為等效節點接觸力向量，F(t)為內力向量。采用Newmark時程分析法求解，具體步驟請參見文獻［19］。

1.2 彌散裂縫模型

混凝土重力壩在強震下會發生局部開裂，本文在進行易損性分析時，采用固定彌散裂縫模型模擬壩體混凝土的開裂行為。該模型將實際的裂縫分散在整個單元中(通常設置在積分點上)，開裂后將混凝土處理為各向異性材料，利用調整材料本構模型來模擬裂縫的影響，無需重新劃分網格或預先設定裂縫的起裂位置，適于分析混凝土重力壩等復雜結構的開裂行為。模型原理請參見文獻［20-21］。

2 基于LSSVM的重力壩穩定易損性分析模型

2.1LSSVM

LSSVM的思想是構建尋求形如f=(ω·x)+b的決策函數，通過引入變換x=Φ(x)和核函數K(x，x')=(Φ(x)·Φ(x'))，變為形如f=(w·x)+b的決策函數［22］，其原始問題是凸二次規劃:

其中，x是歐氏空間中的向量，x是Hilbert空間中的向量，ω是歐氏空間中的權向量，w是Hilbert空間中的權向量，γ是懲罰參數。引進記號:

則最優化問題

是原始問題的對偶問題。解得α*后，選取i(1≤i≤l)計算

最后可以構造決策函數:

本文取Gauss徑向基函數作為核函數，即:

采用基于網格平行搜索的交叉驗證法確定懲罰參數γ和帶寬參數r［23］。LSSVM與SVM的顯著不同在于它需要求解的最優化問題是只含一個等式約束的凸二次規劃問題，僅僅相當于求解一個線性方程組，提高了計算效率。

2.2 基于LSSVM的穩定易損性分析

大壩的地震易損性分析是研究在不同強度的地震荷載作用下，大壩發生不同程度破壞的概率。在動力時程分析中，地震荷載的強度通常以峰值加速度(Peak Ground Acceleration，PGA)表示，本文選取PGA的范圍是0.1 g～1.4 g，以覆蓋足夠的地震荷載強度。大壩穩定性的破壞程度用壩趾沿建基面的累積滑動位移表示，根據文獻［4，12］對該指標的劃分建議，破壞程度分為輕微、中等、嚴重三個等級，累積滑動位移的劃分值分別為0.05 d、0.2 d 及0.5 d，其中 d 為排水管直徑。

目前，采用理論分析法建立易損性曲線的具體方法有兩種:① 基于累積概率的對數正態分布假設，統計有限元計算結果，擬合相關系數;② 基于可靠性分析技術計算各強度地震荷載作用下結構的失效概率。對于動力分析，絕大多數的極限狀態函數難以顯式表達，可采用響應面法獲得近似的極限狀態函數，然后采用一次二階矩法或MCS技術進行求解［24-26］。由于本文的計算模型含有非線性很強的接觸和開裂問題，響應面法無法進行精度較高的擬合。結合MCS技術和數值方法進行易損性分析不受隨機變量維數和極限狀態函數復雜程度的限制，并且具有更高的精度［5］，但本文需要進行非線性動力時程分析，總體計算量過大，實際應用存在限制。拉丁超立方抽樣技術(Latin Hypercube Sampling，LHC)可以提高MCS的抽樣效率［27］，但是無法從根本上解決上述方法在計算效率上存在的不足。

LSSVM可以采用少量的有限元計算結果作為學習樣本，建立地震動-大壩響應的非線性輸入-輸出映射關系。以訓練后的LSSVM為基礎，進行MCS操作即可計算大壩在某一地震強度下達到或超出某一破壞程度的概率，進而可以得到大壩在所有地震強度下發生各級破壞的概率，從而解決了基于MCS有限元法建立易損性曲線時計算量過大的問題。大壩在某一強度地震作用下發生某一程度破壞的概率按下式計算:

式中，Pexci，j為第i級地震強度下達到或超過第j破壞等級的概率，Nexci，j為第i級地震強度下達到或超過第j破壞等級的樣本個數，Nsimi，j為總體模擬次數。綜合上述內容，本文計算重力壩地震穩定易損性的具體步驟為:

圖1 基于LSSVM的重力壩地震穩定易損性分析流程Fig.1 Procedure of fragility analysis of seismic stability of gravity dam based on LSSVM

3 實例分析

為了具體說明上述易損性分析方法，本文選取某重力壩擋水壩段作為計算實例，該壩段寬為20 m，建基面高程為86 m，壩頂高程為185 m，上游正常水位為175 m，順流向最大長度為79.5 m，排水孔直徑0.1 m，網格劃分見圖2。計算荷載為:上游靜水荷載、揚壓力、自重及地震荷載。地震引起的上游動水壓力采用Westergaard公式計算。針對結構的自振周期(0.28 s)，選取5條卓越周期為0.1 s至0.9 s的國內外實際地震波，見表1。為計入結構-地基相互作用的影響，采用以無質量地基為基礎的考慮輻射阻尼的等效結構阻尼比~ξ［28］:

式中，~ξ為等效結構阻尼比，e為自然對數底，ER為地基彈模，EC為壩體混凝土彈模，a為量綱參數(地基范圍取1倍壩高時，a=1.13×10-4s(m﹒rad)-1)，H為壩高，ωi(i=1，2，3)為結構前三階頻率。計算采用的確定性參數為:上游水深為89 m;壩體混凝土密度為2 400 kg/m3、泊松比為 0.17、彈性模量為 30 GPa、抗壓強度為32.5 MPa、地基泊松比為0.2;彌散裂縫模型的剪切保留系數為0.3，開裂應變為6倍拉伸彈性極限應變;接觸模型的罰參數為3.0，不計入接觸面粘聚力。由于衰減系數Dc無確實資料，接觸摩擦系數取為靜摩擦系數。隨機變量為:接觸面摩擦系數為0.78-1.28的均勻分布;地基彈性模量為正態分布，均值為45 GPa，變異系數為0.25;壩體混凝土抗拉強度為正態分布，均值為 2.23 MPa，變異系數為 0.2［4］;各條地震波的 PGA 為對數正態分布，均值分別為0.1g、0.2g、0.3g、0.4g、0.5g、0.6g、0.7g、0.8g、1.0g、1.2g、1.4g，變異系數均為0.1［5］。LHC 隨機抽樣次數為20。

圖2 有限元計算網格Fig.2 Meshed model of FEM

表1 實際地震動參數Tab.1 Parameters of earthquake records

利用有限元計算結果作為樣本，其中70%作為訓練樣本，25%作為檢驗樣本，5%作為預測樣本，采取3種建立LSSVM模型的方案:

(1)建立每條地震波每個PGA的LSSVM模型，輸入變量為接觸面摩擦系數、壩體混凝土抗拉強度和地基彈性模量，記為LSSVM1模型;

(2)建立每條地震波的LSSVM模型，輸入變量為接觸面摩擦系數、壩體混凝土抗拉強度、地基彈性模量和PGA，記為LSSVM2模型;

(3)建立每個PGA的LSSVM模型，輸入變量為接觸面摩擦系數、壩體混凝土抗拉強度、地基彈性模量，記為LSSVM3模型。

3種模型的輸出均為壩趾沿建基面的累積滑動位移。采用最小相對誤差、最大相對誤差、平均相對誤差和線性相關系數作為LSSVM模型預測能力的評價指標，3種模型累積滑動位移的預測值見圖3，預測能力指標見表2。

表2 LSSVM模型預測能力指標Tab.2 Prediction ability indexes of three LSSVM models LSSVM

圖3 累積滑動位移計算值與LSSVM模型預測值對照圖Fig.3 The comparison between cumulative sliding displacements calculated by FEM and predicted by LSSVM models

由圖3及表2看出，LSSVM3模型的預測性能最差，幾乎不能預測累積滑動位移。原因在于雖然各個地震的PGA均值相同，但是各自的卓越周期、有效峰值加速度等地震特征并不相同，造成的累積滑動位移有很大差別，而上述地震特征參數沒有作為輸入加以考慮。LSSVM2模型的平均相對誤差31.49%，最大相對誤差為257.86%，預測精度較低。LSSVM1模型預測值的平均相對誤差為4.95%，線性相關系數為0.9994，預測能力最高。因此本文以LSSVM1模型為基礎，采用MCS進行大壩動力穩定易損性分析，仿真次數為10萬次，計算結果見圖4和表3。

圖4 抗滑穩定易損性曲線Fig.4 Fragility curve of anti-sliding stability

表3 穩定易損性分析結果Tab.3 Results of fragility analysis of stability

可以看出，在設計地震加速度(PGA為0.1g)下，發生各種程度破壞的概率均為零，壩基不會產生影響排水孔幕的滑動，排水系統正常運行，揚壓力不會上升，可以保證地震時和地震后的整體穩定性;峰值加速度為0.3g時，整體穩定性發生輕微破壞的概率為29.12%，不會發生中等及嚴重破壞;峰值加速度為0.4g時，發生輕微破壞的概率迅速增長至73.63%，發生中等破壞的概率為11.82%，發生嚴重破壞的概率為2.86%;峰值加速度為0.7g時，發生輕微破壞的概率為100%，發生嚴重破壞的概率為53.81%;峰值加速度增加到1.0g時，發生中等破壞的概率為97.09%，發生嚴重破壞的概率為82.90%，當峰值加速度為1.4g時，整體穩定性發生輕微破壞、中等破壞和嚴重破壞的概率均為100%，排水系統無法有效運行，揚壓力必然上升，不利于震后穩定。根據易損性分析結果，該重力壩段的動力穩定性在設計地震作用下是能夠得到保證的，在0.7g峰值加速度下發生嚴重破壞的概率超過50%，在1.4g峰值加速度下發生嚴重破壞的概率達到100%。

4 敏感性分析

首先采用Spearman秩相關系數分析各隨機變量對累積滑動位移的影響程度，結果見表4。

表4 隨機變量與累積滑動位移的秩相關系數Tab.4 Rank correlation coefficients between random variables and cumulative sliding displacement

可見，地震荷載強度對累積滑動位移有決定性的影響。在壩體-壩基系統的參數中，接觸面摩擦系數的影響最大，與累積滑動位移呈負相關，這與文獻［17］的結論一致。地基彈性模量的影響次之，混凝土抗拉強度是影響最小的參數。對影響程度最大的接觸面摩擦系數進行敏感性分析，將原分布區間平均劃分為3部分，即第1組摩擦系數Fs1為0.78-0.94的均勻分布，第2組摩擦系數Fs2為0.94-1.11的均勻分布，第3組摩擦系數Fs3為1.11-1.28的均勻分布，其他參數保持不變，相應的易損性曲線及變化情況見圖5和表5。

表5 穩定易損性曲線變化情況Tab.5 The variations of fragility curves of stability

圖5 摩擦系數對的穩定易損性曲線影響Fig.5 Effects of friction coefficients on fragility curves of stability

由圖5可見，隨著摩擦系數的提高，穩定易損性曲線有整體向右移動的趨勢，相應破壞概率均有所下降，說明增加接觸面摩擦系數可以有效地提高壩體的動力抗滑穩定性。例如，摩擦系數為Fs3的易損性曲線在PGA為0.7g時嚴重破損的超越概率與原易損性曲線相比下降了近30%，PGA為0.8g時的嚴重破壞超越概率下降了近40%。表5列出了不同摩擦系數分布下的易損性變化情況，正值表示與原易損性曲線相比，超越概率增加，負值表示相應超越概率減少。由表5可以看出，摩擦系數在較低的區間分布時(Fs1、Fs2)，各穩定性破壞程度的超越概率均有所增加，摩擦系數在較高的區間分布時(Fs3)，相應的超越概率基本上均有所下降。累積滑動位移在PGA為0.1 g和0.2 g的地震荷載作用下沒有隨摩擦系數的改變發生顯著變化，表明大壩在設計地震加速度條件下有較大的動力抗滑穩定性安全裕度。

5 結論

基于MCS有限元法的易損性分析相比經驗公式法具有更高的精度，但是計算耗時過長。本文利用LSSVM的函數逼近能力，提出了一種基于LSSVM的易損性分析方法，極大地減少了有限元計算次數，在保證計算精度的同時，提高了易損性分析的效率。同時考慮地震動及壩體-地基系統參數的不確定性，采用本文方法進行了某重力壩擋水壩段的地震穩定易損性分析，考察了隨機變量對累積滑動位移的影響程度，并對影響程度最大的交界面摩擦系數進行了敏感性分析。結果表明:

(1)大壩在設計地震加速度作用下不會產生影響排水系統的滑動，能夠保證動力抗滑穩定性。隨著地震強度的增加，大壩-地基交界面將可能產生不同程度的破壞;

(2)穩定易損性曲線受到交界面摩擦系數的顯著影響，提高摩擦系數能夠有效降低各級破壞的超越概率，提高壩體的動力穩定性。設計地震加速度下的超越概率未受到摩擦系數下降的影響，說明壩體有較大的抗滑安全裕度。需要指出的是，重力壩地震失效模式較多，例如沿地基的淺層滑動、壩體混凝土開裂、壩頂產生過大位移造成閘門啟閉設備失效和壩趾處地基屈服等。本文為驗證所提出方法的有效性，只是以沿建基面滑動這一種失效模式為例進行了易損性分析，采用該方法的重力壩多種失效模式的易損性分析有待于進一步的詳細研究。

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