在實踐中思考 在活動中創造——“觀察、探索、猜想”教學實錄與評析

安徽省馬鞍山市外國語學校 司擎天 執 教 （郵編：243000）

安徽省馬鞍山市教育科學研究院 劉義杰 評 析 （郵編：243000）

活動目標 （1）通過分析數據、尋找規律，發現并驗證課例中f、m、n三者關系.

（2）讓學生在“做”中學，通過實際操作獲得親身體驗，積累數學活動經驗.強化學生在數學學習過程中的主體地位，發揮學生的積極性、主動性和創造性，自主地投入活動.

（3）通過動手操作、觀察類比、分析歸納、合作交流等一系列探究活動，了解解決問題的過程和方法；經歷從特殊到一般的過程，體驗觀察、探索、猜想、驗證的數學思維方式.

活動重點 經歷實踐活動的過程，學會尋找思考問題的著眼點，掌握研究問題的方法，領悟數學思想.

活動難點f、m、n三者之間關系的探究.

活動過程 本活動分為兩個階段.

第一階段：課內活動

1 提出問題

師：出示PPT1.這是2002年8月在北京舉行的第24屆國際數學家大會期間，國際數學大師陳省身先生給少年兒童的題詞“數學好玩”.今天我們就以2012年我省的一道中考題為背景，一起再感受一下“數學好玩”.

PPT2.問題 在由m×n（m×n＞1）個小正方形組成的矩形網格中，研究它的一條對角線所穿過的小正方形個數f與m、n之間的關系.

評析 從“數學好玩”的角度提出問題，激發了學生的探究欲望.

2 明確問題

觀察圖形，明確m、n、f的含義.請學生說出圖中m、n、f的數值.

3 探究問題

師：現在請大家任取m、n的值，在方格紙（課前已發給學生）上畫矩形網格，探究f與m、n之間的關系.

學生畫圖，教師巡視.

從巡視中發現，每個學生都畫了許多不同的矩形網格，有的還將m、n、f的值以表格形式呈現出來.

評析 教師要求學生任取m、n的值，在方格紙上畫矩形網格，探究f與m、n之間的關系.拓展了問題的思維空間，體現了“做”中學，凸顯了學生的主體地位，激發了學生學習的積極性、主動性和創造性.

師：請說出選取的m、n的值和由此得到的f的值.

生1：（板書）

猜想：f＝m＋n－1.

師：大家同意嗎？

生2：不同意！比如：（板書）

f≠m＋n－1，此時f＝m＝n.

師：還有別的發現嗎？

生3：我的結論和他們不太一樣.（板書）

f≠m＋n－1，此時f＝n＝2m.

生4：我的發現是：（板書）

f≠m＋n－1，此時f＝m＋n－2.

評析 把問題拋給學生，給足探究時間，學生在肯定與否定的思維碰撞中，不斷審視發現的問題，不斷修正提出的問題.結論的多樣性，激發了學生的探究熱情，為進一步深入研究做好了心理準備.

師：同學們討論得很熱烈，得到了f與m、n之間的一些關系，但這些關系隨著m、n的取值不同而不同，不具有普遍性.如果我們仍這樣探究下去，一定還會得到一些特殊關系，由于m、n的取值有無數組，這樣的探究沒有盡頭.如何優化探究方法，縮短我們的探究歷程？

評析 以學生為主體，不等于完全放手.教師的主導作用如何發揮？發揮到什么程度？是值得我們思考的問題.學生在得出f與m、n之間的各種不同關系后，如果老師仍放手讓學生繼續畫圖探究，那么其結果只能是盲無目標的簡單重復.教師提出“由于m、n的取值有無數組，這樣的探究沒有盡頭.如何優化探究方法，縮短我們的探究歷程？”這正是引在關鍵處，導在轉折點，可謂點睛之筆.

生5：m、n的取值雖有無數組，但我們可以對它進行分類.

師：怎么分類？

生5：可以分成三類：m、n同偶；m、n同奇；m、n一偶一奇.

生6：可以分成兩類：m、n互質；m、n不互質.研究兩類比研究三類更簡便.

師：說得好！

生7：當m、n互質時，就是生1一開始舉的幾個例子，此時f＝m＋n－1.

師：大家同意他的觀點嗎？能不能舉一個反例？

生8：我找 到 一 個 反 例：m＝5，n＝ 7，f＝10.

眾生：f＝11！

生8（不好意思）：我數錯了.

評析 分類使探究呈現“柳暗花明”新境界，閃耀著學生智慧的火花.

師：剛才你們是從“數”的角度得到這個猜想，還能從“形”的角度說明猜想的正確性嗎？

生9：我畫圖發現當m＝5，n＝7時，橫線有6條，豎線有8條，對角線與每條橫線和豎線都相交，這樣共有6＋8＝14個交點，而對角線的兩個端點又重復計算了一次，所以共有12個交點，這12個交點將對角線連續分成11段，每段對應一個小正方形，因此f＝11.

（掌聲！）

評析 由“數”到“形”，拓寬了探究方法，豐富了學生數學活動經驗.

師：我們已研究了m、n互質的情況，下面應該研究……

眾生：不互質.

師：當m、n不互質時，f與m、n之間有何關系？

（學生分組討論.）

生10：從前面的例子中，發現關系不唯一.

師：能否將這些不唯一的關系統一起來？

生11：我從生2、生3給的例子中發現當n是m的倍數時，f＝n；從生4給的例子中發現當n不是m的倍數時，f＝m＋n－2.

師：有不同意見嗎？

生12：當n不是m的倍數時，不一定有f＝m＋n－2.

師：請舉例說明.

生12：m＝6，n＝9，f＝12≠6＋9－2；m＝8，n＝12，f＝16≠8＋12－2.

師：當n不是m的倍數時，不一定有f＝m＋n－2原因出在哪里？

（學生分組討論.）

生13：是因為m、n的取值有變化.

師：觀察生4給出的例子

m、n的取值變了，為什么關系式f＝m＋n－2不變？

（學生沉思.）

生14：m、n中可能有不變的“東西”.

師：看來抓住m、n中的不變因素是關鍵！

生15：m、n都是偶數沒變.

生16：不對！剛才的m＝8，n＝12雖都是偶數，f≠m＋n－2.

生15（恍然大悟！）啊！是最大公約數沒變！

師：最大公約數是多少？

生15：是2.

師：那就是說在什么情況下f＝m＋n－2？

生15：m、n的最大公約數為2的情況下，f＝m＋n－2.

師：大家同意嗎？再舉幾個最大公約數為2的m、n試試.

（學生快速進入驗證之中.）

師：有不同意見嗎？

眾生：沒有！

師：若m、n的最大公約數為3，請猜想f與m、n之間有何關系？

眾生：f＝m＋n－3！

師：請在方格紙上畫圖驗證.

生16：m＝6，n＝9，f＝6＋9－3＝12；m＝3，n＝6，f＝3＋6－3＝6.

師：若m、n的最大公約數為d，請猜想f與m、n之間有何關系？

眾生：f＝m＋n－d！

師：你們還能從“形”的角度來說明嗎？

生17：我想這和上面不互質研究的方法一樣，可以從對角線與網格線的交點個數來考慮.

師：說得好！這個問題留給你們課下研究.

師：m、n互質與不互質時，我們得到了兩種關系，這兩種關系有聯系嗎？

生18：如果用d表示它們的最大公約數，都有f＝m＋n－d.（PPT3）

師：好！這體現了數學知識之間的和諧美.

評析 觀察是發現問題的源泉.在m、n不互質的情況下，教師以“能否將這些不唯一的關系統一起來？”為“誘餌”，引導學生抓住不變，從變中找不變.經歷了發現問題、提出問題的過程，學生在這一過程中進一步積累了數學活動經驗，加深了對問題本質的理解.

4 拓展問題

（PPT4）若將原題中的“小正方形”改為“小矩形”，上述結論還成立嗎？若“小正方形”改為“小平行四邊形”，結論又如何？提出你的猜想并驗證.

生19：我認為結論應該一樣.

師：說說理由.

生19：我是憑感覺猜的.

師：好！到底結論是否相同？我們先小組討論.

（各小組迅速進入討論中，教師不時也加入討論行列.）

生20：結論一樣.

師：你是怎么發現的？

生20：我是畫圖發現的.

師：把你畫的圖展示給大家看一下.

（通過實物投影儀將生20畫的圖展示在屏幕上.）

師：生20通過畫圖驗證了結論仍然成立.很好！還有沒有別的方法？

生21：借鑒前面的探究經驗，我們還可以根據對角線與網格線的交點個數來確定f與m、n的關系.我發現當m、n互質時，對角線不經過網格內部交點即格點.

師：能否舉一個具體例子？

生21：比如m＝2，n＝3.

師：好，你在黑板上畫一下.同學們再取一對互質的m、n，在方格紙上畫圖驗證.

師：當m、n互質時，對角線真的不經過網格內部格點嗎？

眾生：不經過！

師：誰能說出其中道理？

（學生猶豫.）

師：大家再討論.

生22：老師！我可以到黑板前講嗎？（眾生笑）

師：可以！

生22：在生21畫的圖中，如果對角線還經過網格內部格點，我們假設格點為P，則點P到大矩形相鄰兩邊的距離為小矩形邊長的整數倍，不妨設為m′、n′，根據相似三角形的性質，則有＝，由于點P是網格內部的點，所以m′＜2，n′＜3，這與2、3互質是矛盾的，所以對角線不經過網格內部格點.

（掌聲一片！）

師：生22說得太精彩了！你能繼續說說為什么結論仍然成立？

生22：在m×n個小矩形組成的矩形網格中，橫線有（m＋1）條；豎線有（n＋1）條，對角線與每條橫線和豎線都相交，這樣共有（m＋1）＋（n＋1）個交點，而對角線的兩個端點又重復計算了一次，所以共有（m＋n）個交點，這（m＋n）個交點將對角線連續分成（m＋n－1）段，每段對應一個小正方形，因此f＝m＋n－1.

（掌聲更熱烈！）

師：當m、n不互質時，又如何說明結論仍然成立？

（學生陷入思考.）

生23：我發現當m、n不互質時，對角線經過網格內部的格點.

師：請你也在黑板上畫圖說明，其他同學任取一對不互質的m、n，在方格紙上畫圖驗證.

生23：取m＝3，n＝6，對角線經過網格內部2個格點，加上兩個端點，這樣對角線與網格線的交點中，有4點重復計算了1次，所以交點總數為（3＋1）＋（6＋1）－4＝7，這7個交點將對角線連續分成6段，每段對應一個小矩形，所以對角線穿過6個矩形，符合f＝m＋n－d＝3＋6－3.

生24：我取m＝2，n＝4，對角線經過網格內部1個格點，結論也是成立的.

師：看來確定對角線經過網格內部的格點數是關鍵.請各小組交流：對角線經過網格內部格點數與什么有關？

生25：我們發現：

對角線經過網格內部格點數＝m、n的最大公約數－1.

師：很好！如果m、n的最大公約數為d，對角線與網格線共有多少個交點？

生25：因為對角線經過格點時，交點重復計算了1次，所以對角線與網格線共有（m＋1）＋（n＋1）－（d－1）－2＝m＋n－d＋1個交點.這（m＋n－d＋1）個交點將對角線連續分成（m＋n－d）段，每段對應一個小正方形，因此f＝m＋n－d.

師：太棒了！

生26：假設圖是畫在可以拉伸的橡皮膜上，我們可以想象不論小正方形變為小矩形還是小平行四邊形，結論顯然是成立的.

（掌聲雷動！）

評析 在實踐中思考，在活動中創造，是綜合實踐活動課程的重要價值取向之一，綜合實踐課程的重要功能就是要培養學生創新精神.通過問題拓展，激活了學生的創新思維，在經歷問題解決的過程中，學生體驗了建立模型、數形結合、化歸求解等數學思想方法，在反復嘗試中，不斷提高學生發現問題、提出問題的能力.

5 活動小結

（PPT5）通過本節課的學習，你有哪些收獲？

第二階段：課外活動

數學綜合實踐活動評價報告

評析 反思參與活動的全過程，將研究的過程和結果形成報告或小論文，有利于相互交流，共享成果.通過小組和老師評價，總結參與數學活動的收獲和克服困難的過程，有利于進一步積累數學活動經驗.

教學反思

（1）拓展探究空間，增加問題開放度

義務教育數學課程標準（2011年版）以下簡稱“課標2011版”指出：要使學生能充分、自主地參與“綜合與實踐”活動，選擇恰當的問題是關鍵.這些問題既可來自教材，也可以由教師、學生開發.提倡教師研制、開發、生成出更多適合本地學生特點的、有利于實現“綜合與實踐”課程目標的好問題.基于這一理念，本課例以2012安徽省一道中考題為背景，原題中分m、n互質與不互質兩種情況并且給出了5個基本圖形和表格，問題指向明確，坡度小.為了使問題變得自然、開放.這里我舍棄了m、n互質與不互質兩種情況以及基本圖形和表格，把問題拋給學生：為了探究f與m、n之間的關系，你準備怎么做？學生畫圖、列表、交流，得到若干組不同的m、n值以及相應的f值.

“綜合與實踐”活動課難上，難就難在課堂是開放的，正如葉瀾教授所說：“課堂是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的風景，而不是一切都必須遵循固定路線，而沒有激情的行程.”教師如何發揮好組織者、引導者、合作者？如何創設有助于學生創新的問題情境？如何駕馭更加開放的課堂？等等，已向我們提出了新的挑戰.

（2）突出活動過程，積累活動經驗

課標2011版強調：“綜合與實踐”的實施是以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動.它有別于學習具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授.它是教師通過問題引領、學生全程參與、實踐過程相對完整的學習活動.“綜合與實踐”是積累數學活動經驗的重要載體.在經歷具體問題的過程中，引導學生體驗如何發現問題，如何選擇適合自己完成的問題，如何把實際問題變為數學問題，如何設計解決問題的方案，如何選擇合作的伙伴，如何有效地呈現實踐的成果，讓別人體會自己成果的價值.通過這樣的教學活動，逐步讓學生積累運用數學解決問題的經驗.

在我的幾次教學過程中，為了探索f、m、n三者之間關系，多數學生都采用了列表探究，還有學生提出了如下處理方法.生1：利用函數探究（模型思想出現）.我問：函數是研究兩個變量之間的對應關系，而這里有三個變量，如何處理？生1：可以把m、n看成一個整體（整體思想出現）.我又問：m、n如何組合成一個整體？生1：我發現f的值不小于m、n的值，我猜想f一般不會是m、n相減；f是正整數，我猜想f一般不會是m、n的商；從表中看某些m、n的積要比f的值大得許多，所以我猜想f應與m＋n之間存在某種函數關系.生2：既然有三個變量，我們可以限制一個變量.如m都取1然后觀察f與n的關系（轉化思想出現）.生3：可以用比較法，把有相同規律的放在一起研究（分類思想出現）.生4：當m是n的倍數時，f＝m.生5：當m＝n時，f＝m＝n等等.學生在觀察、探究中迸發出來的這些思維火花，真是令人興奮不已！這些寶貴的活動經驗推動著課堂向縱深發展，使課堂精彩紛呈.

（3）增強問題意識，培養創新能力

“綜合與實踐”是培養學生應用意識和創新能力的有效載體，而學生發現問題和提出問題又是創新的基礎.因此增強學生的問題意識在教學過程中顯得尤為重要.如何培養學生發現問題和提出問題能力？這又將成為我們研究的課題.“拓展問題”的設計給出了提出問題的一種方法，但不足的是這里的問題是由教師提出的，若能改為學生提出將會更好.

美國著名學者布魯巴克指出：“最精湛的教學藝術，遵循的最高準則就是讓學生自己提問題.”有專家在中西方教育的比較研究中曾說：“中國衡量教育成功的標準是：將有問題的學生教育成沒問題，全懂了，所以中國學生年齡越大，年級越高，問題越少；而美國衡量教育成功的標準是：將沒問題的學生教育得有問題，如果學生提出的問題教師都回答不了，那算是非常成功.所以美國學生年級越高，越有創意、越會突發奇想.”這確實值得我們深思.

（4）課內課外結合，升華活動成果

整個活動分兩部分：課內和課外.“綜合與實踐”活動實際上是一種“小課題長作業”.目前，在課程改革背景下，我國學生小課題的探究也受到極大的重視，正逐漸成為改善學生學習方式的一個重要方法.“小課題長作業”的基本過程是：提出問題——動手實驗——觀察記錄——解釋討論——得出結論——表達陳述.設計第二階段：課外活動《數學綜合實踐活動評價報告》，目的是想在這些方面作些嘗試，引導學生在“綜合與實踐”活動中，積累活動經驗、展現思考過程、交流收獲體會、激發創造潛能.

初中數學“綜合與實踐”是一種激發學生主動探求知識、重視問題解決、促進學生形成終身學習習慣的課程.它體現了創新教育改革的方向，其內容的豐富性和實施模式的多樣性，值得我們深入研究和廣泛實踐.

1 中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012

2 汪宗興，劉義杰.穿越彰精彩化歸顯本質［J］.中學數學教學參考（中旬），2012（9）