類比推理一例

江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué) 陸建根 （郵編：212017）

推理與證明是新課程標(biāo)準(zhǔn)中新增的內(nèi)容.在本章中，要求學(xué)生結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，對(duì)合情推理、演繹推理以及數(shù)學(xué)證明的方法進(jìn)行概括與總結(jié)，體會(huì)合情推理、演繹推理以及數(shù)學(xué)證明在數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)現(xiàn)、證明與數(shù)學(xué)體系建構(gòu)中的作用.這樣處理是為學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)推理與證明的理解，掌握推理與證明的基本方法，提高數(shù)學(xué)思維的能力，形成對(duì)數(shù)學(xué)較為完整的認(rèn)識(shí).而要真正加深學(xué)生對(duì)這些內(nèi)容的理解，關(guān)鍵在于教師在平時(shí)的教學(xué)中能抓住典型的例題進(jìn)行深刻的剖析，引導(dǎo)學(xué)生去探究，去經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，從而掌握數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本方法，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力.

現(xiàn)以蘇教版必修4《平面向量》2.2.3“向量的數(shù)乘”例4為例，運(yùn)用類比推理作適當(dāng)?shù)耐茝V，供參考.

特別地，當(dāng)O與C重合時(shí)，記為點(diǎn)P，如圖2，

而上式顯然成立，所以結(jié)論成立.

證明 延長(zhǎng)AO交平面BCD于P，連結(jié)PA、PB、PC，設(shè)PA與平面BCD所成的角為θ，則由推廣2知

④式兩邊同乘以

上式顯然成立，所以結(jié)論成立.

上述類比推理把線性的性質(zhì)推廣到平面、空間，這是結(jié)論的類比，而且證明方法也是層層推進(jìn)，一脈相承，所以也是方法的類比.

由推廣1可以得到的以下性質(zhì)：

設(shè)a、b、c是ΔABC的 ∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊，若點(diǎn)P是ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，ΔBPC、ΔAPC、ΔAPB的面積分別記為Sa、Sb、Sc則：

類比上述結(jié)論，我們可以得到推廣2的若干性質(zhì)：

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的不僅僅是記住幾個(gè)公式，會(huì)做幾道題目，而是要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.教材的很多內(nèi)容是教師培養(yǎng)學(xué)生推理能力的很好的素材，關(guān)鍵在于我們老師如何去發(fā)掘.教師不要跟學(xué)生一起在茫茫題海中去撈題，而是要在學(xué)生匆匆做題時(shí)帶著學(xué)生停下來(lái)，去想一想，悟一悟，一起做些探究.若能有所發(fā)現(xiàn)，則學(xué)生對(duì)原有知識(shí)的理解會(huì)上一個(gè)臺(tái)階，哪怕沒(méi)有新的發(fā)現(xiàn)，對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)也是一個(gè)鍛煉.

1 單墫.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2－2［M］.江蘇：江蘇教育出版社，2010

2 高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)數(shù)學(xué)選修2－2［M］.江蘇：江蘇教育出版社，2010

3 林國(guó)夫.三角形“四心”的向量特征及應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2010