基于提高運算求解能力的例題選取

安徽省懷遠縣包集中學 宋在馥 （郵編：233442）

培養能力，已成為數學教育者的共識和自覺追求.數學能力包括空間想像能力、運算求解能力等六種.而達成這些能力的基礎無疑是提高學生的運算求解能力.“運算求解能力是要求會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理……是思維能力和運算技能的結合……運算能力包括分析運算條件，探究運算方向，選擇運算公式，確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力.”

培養數學能力的主戰場是課堂，而例題是達成教學目標的主要載體，因此例題的選取對實施培養運算求解能力這一目標，顯得尤為重要，下面談談筆者在教學中為提高運算求解能力，在例題選取方面的思考與嘗試：

1 通過例題，引發對基礎的重視

例1 己知f（x）＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin（＋φ）（0＜φ＜π），圖象過點（）.（1）求φ的值；（2）將函數y＝f（x）圖象上的各點橫坐標縮為原來的，縱坐標不變，得函數y＝g（x）的圖象，求函數y＝g（x）在［0］的最大值與最小值.

做法與想法 這是道常規題，沒有吸引學生眼球的地方，僅要求對公式、法則等基礎知識與方法熟練.若僅僅講解一遍毫無價值.筆者先讓學生自己做，然后小組互查，并就每步的錯誤做出統計，公布結果.哪知聽罷結果令學生目瞪口呆：完全做對的僅有15%，而出現的錯誤卻五花八門.在cos2x降冪、sin＋φ）化簡、兩角和公式、特殊值求特殊角、橫坐標變化與ω的關系、換元法、作圖、最值的確定等方面均出現了錯誤，當告訴學生這是一道12分的高考題，學生變得神情莊重起來，意識到基礎知識和基本方法的缺漏和掌握的重要性.以后的課堂采取記公式、特殊值競賽，疑難問題辯論，建立糾錯本等方式以引發興趣，強化基礎.

2 通過例題，強調通性通法

做法與想法 通過學生的嘗試得出四種解法：

法四 仿法二構造三角形，用平面幾何方式求解.

本題的選擇，不僅是看重它的一題多解，更看重的是這些解法都是解決向量問題的通性通法，毫無“魔術師”的突然與神奇.但現在的教輔資料里、教師的課堂上卻充斥著這樣的“突然與神奇”，誘使學生偏離了重視通性通法的軌道，使學生拿到題目便去構想奇思妙解.通過本題的研討，讓學生明白：基礎強化了，通法熟練了，攻堅克難便成為了可能.

3 通過例題，學會“翻譯”條件

做法與想法 先讓學生思考，幾乎無人能動筆，原因是視條件為“天書”，這時可引導學生分析運算條件，理解其本質.便設計了以下問題，有了以下問答：

師：f（x1）會在什么范圍內？生：在f（x）的值域內（記值域為F）.

師：g（x2）會在什么范圍內？生：在g（x）的值域內（記值域為G）.

師：集合F與G有什么關系？

生：（經充分討論后）得出F?G.

師：此題如何解決？

生：分別求出f（x）與g（x）的值域，由F?G可求出a.

師：請同學們仿上述條件，給題目重新設置條件，并進行“翻譯”.經同學們的反復討論，教師點撥，得出以下結論：

對于f（x1）＝g（x2）：若?x1∈［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則F＝G；

若 ?x1∈ ［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則F?G；

若 ?x1∈ ［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則G?F；

若 ?x1∈ ［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則F∩G≠ ?.

對于f（x1）≤g（x2）：若?x1∈［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則f（x）max≤g（x）min.

若 ?x1∈ ［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則f（x）max≤g（x）max.

若 ?x1∈ ［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則f（x）min≤g（x）min.

若 ?x1∈ ［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則f（x）min≤g（x）max.

這些條件的成功“翻譯”，使學生信心大增，以后又陸續地給出一些“天書”類的條件，讓學生“翻譯”，使學生分析條件的能力逐步得以提高.

4 通過例題，學會探究解題的方向

例4 線段AB長為8，點C在線段AB上，且AC＝2，P為線段CB上的一動點，讓線段AC、BC分別繞點C旋轉，A、C重合于D，設CP＝x，記ΔCPD面積為f（x）.

（1）求f（x）的定義域；（2）求f′（x）的零點.

做法與想法 先讓學生試作，幾分鐘后依然一片寂靜，察看結果，僅有幾人求出定義域.問其故，有的在求f（x）的解析式上受阻，有的在求導上受阻.復雜的運算、復雜的式子，讓學生一片茫然.教師感到已達“憤悱”之境，適時提醒：我們往往忙于出發，常常忘了為什么出發.現在再看看應達到的目的：求定義域與求f′（x）的零點.與學生共同回顧，求定義域的兩種情況：給出解析式求定義域與實際問題背景下求定義域，前者只須保證f（x）有意義，后者要滿足實際情況.由構成三角形的條件可求出x∈ （2，4）.再問f′（x）零點的幾何意義，問題轉化為求f（x）的極值點，而CD無限接近于CA和CB時，ΔCPD面積都接近于0，因此在D從A運動到CB上的過程中必有一處使ΔCPD面積達到最大.問題再次轉化為求ΔCPD面積最大時的x，因CP＋PD＝6，P點在以D、C為焦點，以6為長軸的橢圓上（為什么想到橢圓，正應了前面講的“基礎熟練，方法自生”）當PD＝PC＝3，x＝3即為f′（x）的零點.解罷此題，同學們深深體會到解題受挫時，常常回顧一下所求結果是什么，往往會啟發我們調整解題方向，從而打開解題思路.

培養運算求解能力，應該貫穿整個教學的始終.以上僅是平時教學中嘗試的幾例，在新課程標準下的教學，既要“仰望星空”（對新課程標準的價值追求），又要“腳踏實地”（從每節課做起，從每道題做起，從每個學生做起，強化基礎知識與基本技能），腳步堅實了，我們才能走得更好，走得更遠.

1 劉瑞霞.2012年高考數學試題及解法賞析［J］.中學數學教學參考（上旬），2012（7）

2 姜靈靈.抓住本質 回歸基礎 探究徹底［J］.中學數學（高中版），2012（9）