高中向量教學的誤區及其思考

江蘇省豐縣中學 曹 軍 （郵編：221700）

向量進入高中數學教材已經好幾年了.關于向量法，近幾年數學期刊上的文章很多，但仔細品味所見諸例的解法，卻不免困惑：解題過于注重代數形式，忽視幾何性質，以致運用向量法解題時包含了大量的運算，自然較為繁瑣.向量具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”是將向量引入中學教材的一個重要原因.既然教材引入了向量法，所謂用人用其長處，那我們就要把向量的特點充分發揮出來，而不是穿新鞋走老路.筆者借此機會提供高三復習過程中處理的兩個教學片斷，供同行借鑒乃至有所啟迪.

片斷1 文［1］在第77頁有：如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，E是DC的中點，AE交BD于M，試用向量的方法證明：M是BD的一個三等分點.

教參和很多輔導書都給出了上述解法或者類似的解題思路.筆者的教學設計也是采用了上述解法.意料之外的是，看似簡單常規的向量題目，卻在教學過程中發生了不小的意外.

師：很好，簡潔明快，但請你注意本題的要求是用向量法證明.

事實上，生1提供的方法比向量法更簡潔、更容易理解.初中生很容易解決的題目，到了高中反而越來越復雜了.此刻，如何向學生解釋向量法的先進性就顯得尤為重要.否則，會給學生帶來向量法不如綜合幾何法的數學印象，也極有可能扼殺學生探索向量的欲望.

師：能否利用向量法非常簡單地證明此題呢？

學生都陷入深深的思考中.

師：我們知道，平面向量基本定理的重要前提是兩向量e1、e2不共線，而結論有兩點：一是存在一對實數λ1和λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2；二是這對實數是惟一的.這惟一性是說：a＝λ1e1＋λ2e2＝k1e1＋k2e2，則必有λ1＝k1，λ2＝k2.在解題中常常用到這個惟一性，看似新事物，但仔細一琢磨不過是向量共線概念的直接推論.事實上，因為（λ1－k1）e1＝（λ2－k2）e2，而e1和e2不共線，兩端必然都是零向量，從而兩端的系數都是0，必有λ1＝k1，λ2＝k2.如果簡明一點可以這樣說，若向量a和b共線且c和d共線，但a和c不共線，則從a＋c＝b＋d可推出a＝b和c＝d.這種由一個等式獲取兩個等式的法則，在解題中帶來的好處是不言而喻的（如果是空間向量，則可以從一個等式獲取三個等式）.聯系這個結論你能解決此題嗎？

要讓學生掌握和熟練運用某個知識，教師就要有意識地給學生提供該知識應用的不同背景，學生只有在不同的背景中，形成了自覺運用該知識的“思維定勢”時，才可以說是真正掌握了知識.為此，筆者又提供了一個問題，供學生思考.

如圖2所示，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求證：AE＝CF.

筆者認為引入向量法，首先要讓中學老師能夠感受到向量法的優勢，而不是可有可無，更不是增加負擔.單墫教授認為，同一個數學問題的不同解法，可以有美丑之分.簡潔明快是一種數學美.在數學解題教學中，當然引導學生尋求更美的解題方法.解題及其教學應該從學生已有的知識基礎和經驗出發，跟著學生的感覺走，努力尋求自然的解法，這才是最真實和最寶貴的.因此，我們要尋找向量法解題的自然解法：用向量法處理涉及交點問題，其訣竅在于從一個涉及解題目標的向量等式出發，利用題設條件和向量等式代換，盡量把等式中的向量都轉化到相交直線上，從而應用平面向量基本定理獲取關鍵信息.心中只要有這個主見，絕大多數問題都能迎刃而解.所以，教學過程中，要讓學生領略解題的核心方法，領略對數學的本質認識，領略對數學規律的理性認識.這些認識在活動中被反復利用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想.

以下方法在教學中比教普遍（此處省略教學的探索過程）：

事實上，構造數量積、建立坐標系是向量問題代數化的常用方法，這種思維方式學生已經掌握.思路2對已知等式兩邊平方，實際上是兩個向量自身作了一次“點乘”.此題如果固步于以上解題思維，未在此基礎上再引導學生“探一探”，就會錯失向量所具有的幾何形式.

師：還有別的解題思路嗎？

學生陷入了沉思.

在筆者的啟發下，同學們躍躍欲試.

生5：老師，我從上述解答中似乎看到了一個定值，但還不確定.

師：你說說看（此時，筆者的心還是比較忐忑的，按照教學設計該問題已經結束，筆者無法預測接下來會出現什么狀況.）.

師：此結論說明：當F在直線DE上的任意位置時，λ＋μ為定值t.你能聯系這一結論解決此題嗎？

至此，學生們都對生5的獨到見解給予肯定并給出熱烈的掌聲.

為使這種數形結合思想的應用更加深入人心，對它的應用規律的理性認識更加豐富深刻，筆者又創設了如下的問題情境，供學生思考：

從上面的兩個教學片斷來看，向量解題方法朝著更高的目標提升，還有很大的空間.同時，從這里也可看出，不是向量法本身有問題，而是沒有正確使用向量法來解題.因此，在使用向量法解決問題的時候，無需死守套路，完全可以根據幾何意義列出等式，計算與圖形融為一體.關鍵在于領會向量幾何，其運算不僅僅是數的運算，還包括圖形的運算，這是向量法解題的特點.

基于以上兩個教學片斷，筆者認為有以下幾點感悟：

第二，教師要注重閱讀.葉瀾教授說過：“課堂教學是一個動態生成的過程，再好的預設，也無法預知課堂教學中的全部細節.”課堂的立足點是學生，教學的思路應依照學生的思維和理解做出微調，只有這樣，在課堂上才會“撞出”智慧的火花.扎實、深厚的專業知識是進行課堂微調的重要前提之一，而教師的專業知識的提高和閱讀是分不開的.通過閱讀，教師一方面可以接觸數學的新思想、新思維、汲取先進的教育理念為我所用；另一方面可以提高自身的解題能力.如果筆者沒有閱讀過文［2］、文［3］的話，在面對片斷1中生1的解答就不會“撞出”如此精彩的火花，而是平平淡淡的結束該問題的解答，與此同時也會挫傷學生學習數學的興趣.因此，閱讀對于教師而言至關重要.

第三，重視數學思想和方法的培養，給學生提供高質量的題目.中國有句古話說：“授人以魚，不如授之以漁”，課堂上幫助學生掌握有效的學習方法和思維方法非常重要，教師要積極引導學生學會學習.若教師總想按照自己的思路走，生怕學生不符合標準答案，而常常越俎代庖，學生只能被牽著鼻子走，學生根本也沒有從內心真正接受這些知識，想要再讓他們能活用這些知識，就只能是一種奢望了.而數學思想和方法的培養少不了高質量的例題，按照波利亞的思想，要做一些“通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域”的題目.要集中力量于某幾個真正有意義的問題，通過發掘問題的各個方面，從容不迫且徹底地討論它們.

1 單墫等.普通高中數學課程標準實驗教科書（必修）數學4［M］.南京：江蘇教育出版社，2012

2 張景中，彭翕成.向量教學存在的問題及對策［J］.數學通報，2009（8）

3 張景中，彭翕成.繞來繞去的向量法［M］.北京：科學出版社，2010