2013年高考數學三角函數問題賞析及啟示

安徽省六安市第二中學 吳 斌 楊興軍 （郵編：237005）

三角函數是中學數學的主體內容，是高考的重點.近幾年高考已摒棄了對復雜三角變換和特殊技巧的考查，將重心轉移到三角函數的圖象與性質的考查，對基礎知識和基本技能、基本思想的考查上，分析2013年高考題中的三角函數試題，可歸納為以下幾種類型.

1 純三角問題

1.1 考查三角函數的圖象與性質

例1 （2013年高考大綱卷理12）已知函數f（x）＝cosxsin2x，下列結論中錯誤的是（ ）

A.y＝f（x）的圖象關于點（π，0）中心對稱

B.y＝f（x）的圖象關于直線x＝對稱

C.f（x）的最大值為

D.f（x）既是奇函數，又是周期函數

解析1 （排除法）

因為f（π＋x）＋f（π－x）＝0，所以f（x）關于點（π，0）中心對稱，排除選項A；

因為f（＋x）＝f（－x）＝sinxsin2x，所以f（x）關于直線x＝對稱，排除選項B；

由正、余弦函數性質可知，f（x）既是奇函數，又是周期函數，排除選項D.

解析2 （直接法）

評注 此函數不是標準型三角函數y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ）），一般不能用它們的相應結論，可用下式檢驗其性質：

f（a＋x）＋f（a－x）＝0?f（x）關于點（a，0）對稱；

f（a＋x）－f（a－x）＝0?f（x）關于直線x＝a對稱；

至于周期性、奇偶性可用定義判斷.

1.2 考查三角函數的圖象與解析式

例2 （2013年高考四川卷，理5）函數f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，－＜φ＜）的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是（ ）

評注 利用圖象求y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的解析式主要從以下三個方面考慮：（1）根據最大值或最小值求出A的值；（2）根據周期求出ω的值；（3）根據函數圖象上某一特殊點（若是最值點或與y軸交點就用代入法，若是與x軸交點，可用五點法）求出φ的值.

1.3 考查三角恒等變換

解析1 （直接法）兩邊平方，再同時除以cos2α，解得tanα＝3或－，由倍角公式得tan2α＝－.

例5 （2013年高考重慶卷，理9）4cos 50°－tan 40°＝ （ ）

評注 三角恒等變換的通性通法是：從函數的名、角、次三方面進行差異分析，再利用三角變換使異名化同名、異角化同角、高次化低次等，化角時“換元法”、“拼湊法”需強化.如考題：

2 與其他知識的綜合

2.1 與數列、方程、導數的綜合

例5 （2013年高考福建卷，理20）已知函數f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（，0），將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數g（x）的圖象.

（Ⅰ）求函數f（x）與g（x）的解析式；

（Ⅲ）求實數a與正整數n，使得F（x）＝f（x）＋ag（x）在（0，nπ）內恰有2013個零點.

解 析 1 （Ⅰ）f（x） ＝ cos2x，g（x） ＝sinx（過程略）；

解析2 僅分析（Ⅲ），依題意，F（x）＝asinx＋cos2x＝－2sin2x＋asinx＋1.

設t＝sinx，F（x）＝p（t）＝－2t2＋at＋1（－1≤t≤1），借助圖象利用x、t、F（x）之間對應關系可知a≠±1時，函數F（x）在（0，nπ）總有偶數個零點（不合題意）；而a＝±1時，情況同解析1.

說明 本題考查的知識、方法、思想都很豐富，綜合性強，考生答題效果較差，但知識交匯方式比較新穎，值得關注.

2.2 與函數的綜合

A.［1，e］ B.［e－1－1，1］

C.［1，e＋1］ D.［e－1－1，e＋1］

解析 因為y0＝sinx0∈［－1，1］，而f（x）≥0，f（f（y0））＝y0，所以y0∈ ［0，1］.

所以問題化為①有解，即ex＋x－x2＝a在x∈［0，1］上有解，令g（x）＝ex＋x－x2，由導數知識（二次求導）可知g（x）在［0，1］上單調遞增，所以g（0）≤a≤g（1），故選A.

說明 學生解決本題時，主要障礙是不能正確獲得y0的范圍以及將原問題化為①有解.

2.3 與常用邏輯用語的綜合

例7 （2013年高考北京卷，理3）“φ＝π”是“曲線y＝sin（2x＋φ）過坐標原點”的（ ）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分又不必要條件

解析 由sinφ＝0可得φ＝kπ（k∈Z），此為曲線y＝sin（2x＋φ）過坐標原點的充要條件，故選A.

2.4 與平面向量的綜合

例8 （2013年高考遼寧卷，理17）設向量a＝ （sinx，sinx），b＝ （cosx，sinx），x∈.（Ⅰ）若，求x的值；（Ⅱ）設函數f（x）＝a·b，求f（x）的最大值.

2.5 與解三角形、不等式的綜合

例9 （2013年高考全國卷 Ⅱ，理17）ΔABC的內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知a＝bcosC＋csinB.

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b＝2，求ΔABC面積的最大值.

解析 （Ⅰ）由已知及正弦定理得

由 ①② 和C∈ （0，π）得sinB＝cosB.

又B∈ （0，π），所以B＝.

說明 三角題一般用平面向量進行“包裝”，講究知識的交匯性，或將三角函數與解三角形“縱聯橫拓”，講究知識的系統性，是高考題中必考內容，大部分以解答題的形式出現.

3 兩點啟示

3.1 “堅持以本為本”.

這不應是一句空話，2010年四川省考余弦差角公式，50萬考生完全做對的不到500人，2011年陜西省考余弦定理證明，結果也很不理想，只有0.45的得分率（均分5.43分，其中的4分還是要求學生敘述定理的得分）.“堅持以本為本”就是要堅持“三基”的教學，要狠抓基本知識，基本方法，基本思想的教學；就是要堅持“過程的教學”，注意知識發生發展的過程，充分挖掘課本中每一個概念的內涵及與它相關聯的知識之間的聯系，形成知識網絡；就是要堅持“數學本質的教學”，近幾年各地高考命題作了些有益的嘗試，如試題中出現了不少考查數學概念的本質，學生若能抓住數學概念的本質，把題看“化”，也就能很快看出思路、方法、結果，從而提高解題速度、效率，高考對中學教學具有反撥作用，希望老師們能關注.

3.2 堅持培養學生的審讀能力.

筆者個人認為：

（1）教學中，教師決不能代替學生的讀題、審題；

（2）教學中，教師必須為學生的讀題、審題提供較為充分的時間與空間；

（3）教學中，要逐步強化學生的審讀能力的訓練，逐步縮短學生審讀試題所花費的時間，逐步做到對試題審讀1－2遍，就能正確提取、篩選相關信息，確定好解題方案.