一個(gè)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用、變式與拓展

江蘇省大豐市第七中學(xué) 朱松林 （郵編：224115）

筆者利用假期時(shí)間閱讀了鹽城市2010年～2013年鹽城市高中階段教育招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn)，一個(gè)數(shù)學(xué)基本模型猶如一棵常青樹，在試卷中連續(xù)堅(jiān)守了四年.命題者為何如此青睞它呢？究竟是什么模型呢？我們先從“三直角型”說起.

1 溯本求源 模型構(gòu)造

題目 （蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊第101頁例5）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AB、BC上，AB＝4，AM＝1，BN＝0.75.

（1）△ADM與 △BMN相似嗎？為什么？

（2）求 ∠DMN的度數(shù).

分析 （1）由“AB＝4，AM＝1，BN＝0.75”可以得到AD∶AM＝BM∶BN，又因?yàn)椤螦＝ ∠B，從而 △ADM與 △BMN相似；

（2）由（1）可求得 ∠DMN＝90°.

觀察圖1，了解題意，不難發(fā)現(xiàn)，如果把問題（2）的結(jié)論作為條件，并不需要“AB＝4，AM＝1，BN＝0.75”這一條件，也能得到 △ADM∽△BMN.

為了研究方便，我們把這一基本圖形抽象出來，如圖2，點(diǎn)A、M、B在同一直線上，當(dāng) ∠A＝∠B＝∠DMN＝90°時(shí)，則△ADM∽△BMN.由于有三個(gè)直角，所以我們把它稱為“三直角型”相似，特別地，當(dāng)這兩個(gè)三角形中有一組對(duì)應(yīng)邊相等時(shí)，兩個(gè)三角形全等，我們稱它為“三直角型”全等.

其實(shí)，將圖2通過平移、旋轉(zhuǎn)等方式變換，可得到圖3中的一些圖形，不難發(fā)現(xiàn)，△ADM與△BAN關(guān)系并不發(fā)生變化.

2 模型應(yīng)用 品悟考法

題2 （2010年鹽城卷第28題）已知函數(shù)y＝ax2＋x＋1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式；

（2）如圖4（1）所示，設(shè)y＝ax2＋x＋1圖象的頂點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為A，P為圖象上的一點(diǎn)，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)B，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）在（2）中，若圓與x軸另一交點(diǎn)關(guān)于直線PB的對(duì)稱點(diǎn)為M，試探索點(diǎn)M是否在拋物線y＝ax2＋x＋1上，若在拋物線上，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不在，請(qǐng)說明理由.

思路簡析 （1）根據(jù)函數(shù)y＝ax2＋x＋1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).可求出函數(shù)的解析式為y＝x＋1或y＝x2＋x＋1；

企業(yè)實(shí)施人力資源管理信息系統(tǒng)，對(duì)人力資源管理從業(yè)人員計(jì)算機(jī)應(yīng)用、軟件編程等方面技能水平提出了更高的要求，企業(yè)人力資源管理者不僅要具有人力資源方面的專業(yè)知識(shí)和技能，同時(shí)要具有一定的信息技術(shù)應(yīng)用能力。這樣才能在應(yīng)用人力資源管理信息系統(tǒng)的過程中，根據(jù)管理要求隨時(shí)更新相關(guān)內(nèi)容，使整個(gè)系統(tǒng)始終可以滿足公司管理的需要。

（2）按照題意構(gòu)造出圖形，如圖4（2），過點(diǎn)B作PB⊥AB，交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)P，設(shè)以PB為直徑的圓交x軸于點(diǎn)C.連接PC，則PC⊥x軸，圖中出現(xiàn)“三直角型”相似，即△PCB∽△BOA，從而可以求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（－10，16）；

品悟考法 本題設(shè)計(jì)注重?cái)?shù)形結(jié)合思想，學(xué)生在其指引下，畫出圖形，構(gòu)造出“三直角型”及其變式圖形，再運(yùn)用模型求解.本題主要以能力立意，考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、構(gòu)造幾何模型解決問題的能力.有較好的區(qū)分度，體現(xiàn)了選拔功能.

題3 （2011年鹽城卷第27題）

情境觀察 將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開，得到 △ABC和 △A′C′D，如圖5（1）所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖5（2）所示.觀察圖5（2）可知：與BC相等的線段是________，∠CAC′＝________°.

問題探究 如下左圖6，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向 △ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

拓展延伸 如上右圖7，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB＝kAE，AC＝kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

思路簡析 （1）先設(shè)置“矩形的剪拼”這一情境，學(xué)生通過觀察，容易得到∠CAC′＝90°.這樣很自然地引出“三直角型”全等.即△A′C′D≌△CAB.為后面的解題做好鋪墊.

（2）巧妙的情境觀察為問題（2）指明了方向，很容易聯(lián)想到基本圖形——“三直角型”全等，可將圖6分成兩個(gè)的基本圖形（如圖8），分別得到EP＝AG，QF＝AG，從而問題獲得解決.

品悟考法 本題設(shè)計(jì)情境觀察、問題探究、拓展延伸三個(gè)環(huán)節(jié)，由淺入深，層層推進(jìn)，每個(gè)問題既有關(guān)聯(lián)，又保持適度的空間，讓學(xué)生不能輕而易舉解決，又不覺得無計(jì)可施.試題重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用模型解決問題的能力及方法的遷移能力，問題的設(shè)計(jì)總是落在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，這正是本題成功之處.

題4 （2012年鹽城卷第25題）如圖10（1）所示，已知A、B為直線l上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線l上方一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，分別以AC、BC為邊向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，過點(diǎn)D作DD1⊥l于點(diǎn)D1，過點(diǎn)E作EE1⊥l于點(diǎn)E1.

（1）如圖10（2），當(dāng)點(diǎn)E恰好在直線l上時(shí)（此時(shí)E1與E重合），試說明DD1＝AB；

（2）在圖10（1）中，當(dāng)D、E兩點(diǎn)都在直線l的上方時(shí)，試探求三條線段DD1、EE1、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖10（3），當(dāng)點(diǎn)E在直線l的下方時(shí)，請(qǐng)直接寫出三條線段DD1、EE1、AB之間的數(shù)量關(guān)系.（不需要證明）

思路簡析 本題以C的運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)整個(gè)圖形的變化，在給出“一般性問題”第（2）問和第（3）問之前，先給出一個(gè)可以借鑒的“特殊問題”第（1）問，使得學(xué)生對(duì)整個(gè)問題形成“思維鏈”，獲得解題經(jīng)驗(yàn)，從而使問題得以解決.（1）借助正方形CADF的邊長相等，得到“三直角型”全等；（2）在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，過C點(diǎn)作直線l的垂線，構(gòu)造出兩組“三直角型”全等，得到DD1＋EE1＝AB；（3）運(yùn)用同樣的思路，構(gòu)造一組“三直角型”全等和一組公共角型全等，得到DD1＝EE1＋AB.

品悟考法 第（1）小題突出基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，體現(xiàn)了“過程性目標(biāo)”中“形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性”的要求，能讓大多數(shù)學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，獲得一定的解題經(jīng)驗(yàn)；在解決第（2）（3）問的過程中，既讓同學(xué)們用數(shù)學(xué)的眼光對(duì)動(dòng)態(tài)幾何中的現(xiàn)象進(jìn)行觀察、分析、比較、猜想、概括，形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)，又為同學(xué)們提供了一個(gè)自主探索問題的空間，讓同學(xué)們體驗(yàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.本題既考查了學(xué)生的理解創(chuàng)新能力，又考查了學(xué)生探究學(xué)習(xí)的過程，充分滲透了化歸思想、變式思想和運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn).

3 模型拓展 考法評(píng)價(jià)

在圖11中，引用上面的結(jié)論，當(dāng) ∠A＝∠DMN＝∠B＝90°，兩三角形才會(huì)相似，那么這個(gè)條件是不是必須呢？事實(shí)上，經(jīng)過觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，只要滿足∠A＝∠DMN＝∠B＝x（0°＜x＜180°），則△ADM∽△BMN.并不一定要是直角三角形.我們不妨把它稱為“三角相等型”相似.當(dāng)有一組對(duì)應(yīng)邊相等時(shí)，兩三角形就全等了.綜上所述，我們可以把這種模型拓展為“三角相等型”.

已知 如圖11，點(diǎn)A、M、B在同一直線上，且∠A＝∠DMN＝∠B.

求證△ADM∽△BMN.

（1）求b、c的值；

（2）證明：點(diǎn)C在所求的二次函數(shù)的圖象上；

（3）如圖12（2），過點(diǎn)B作DB⊥x軸交正比例函數(shù)y＝x的圖象于點(diǎn)D，連結(jié)AC，交正比例函數(shù)y＝x的圖象于點(diǎn)E，連結(jié)AD、CD.如果動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AD方向以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D沿線段DC方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ、QE、PE.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在某一時(shí)刻，使PE平分∠APQ，同時(shí)QE平分 ∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

思路簡析 （1）略；（2）略；

（3）如圖3，由題意易得∠DAC＝∠DCA＝90°－∠ADC，假設(shè)PE平分 ∠APQ，同時(shí)QE平分∠PQC，可得∠PEQ＝90°－∠ADC，這樣便可得到∠DAC＝∠DCA＝∠PEQ，從而構(gòu)造出“三角相等型”相似，即△APE∽△CEQ.便可得到t的方程，從而使問題獲得解決.

考法評(píng)價(jià) 本題將二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、對(duì)稱、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地結(jié)合起來.試題的難點(diǎn)在于第（3）問，圖形中線段較多，關(guān)系復(fù)雜，從圖形中找出“三角相等型”相似，從而構(gòu)造出相等關(guān)系是解題關(guān)鍵.主要考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)造幾何模型解決問題的能力.充分滲透了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn).有較好的區(qū)分度，體現(xiàn)了選拔功能.

4 縱向比較 感受變化

同樣的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，四年的考法各不相同，呈現(xiàn)出不同的特點(diǎn).2010年是一道壓軸題，試題注重“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法的滲透，強(qiáng)調(diào)建模能力和綜合能力的考查，得分率較低，有較好的區(qū)分度，充分體現(xiàn)了試題的選拔功能；2011年試題的難度有所降低，問題設(shè)計(jì)層層深入，過渡自然，由“三角相等型”全等逐步演變?yōu)椤叭窍嗟刃汀毕嗨?，主要滲透了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生的得分率有所提高；2012年的試題設(shè)計(jì)以圖形的演變?yōu)橹骶€，體現(xiàn)探究學(xué)習(xí)的全過程，主要滲透了“借助特殊解決一般”的思維策略，與2011年的試題有相似之處，都注重對(duì)學(xué)生“經(jīng)驗(yàn)的獲得”和“已有經(jīng)驗(yàn)”的應(yīng)用和遷移能力的考查；2013年的試題設(shè)計(jì)與前面的三年有所不同，不是將模型滲透于解題的全過程，而是應(yīng)用模型解決某一個(gè)小問題.有效地防止老師猜題、壓題，試題將“數(shù)形結(jié)合思想”、“轉(zhuǎn)化思想”、“運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)”等有機(jī)地結(jié)合在一起，學(xué)生很難從復(fù)雜的圖形中提取出模型，很多學(xué)生覺得難以下手，得分率很低，有較好的區(qū)分度，體現(xiàn)了選拔功能.

上述試題精彩分呈，美不勝收，但它們的源頭都是一個(gè)數(shù)學(xué)模型.由此模型衍生出的題目中，蘊(yùn)含了新課標(biāo)中許多重要知識(shí)和思想方法，同時(shí)要求學(xué)生具有多方面的綜合素養(yǎng)，由此也給學(xué)習(xí)者、命題者展現(xiàn)了一個(gè)深遠(yuǎn)的空間，更給教學(xué)者引發(fā)諸多思考.我們的教學(xué)應(yīng)以“引導(dǎo)學(xué)生如何學(xué)會(huì)解決問題”為導(dǎo)向，平時(shí)的課堂教學(xué)應(yīng)在富有啟發(fā)性的情境中開始，讓學(xué)生在富有探究性的過程中思考，在探究過程中學(xué)會(huì)主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，在模型應(yīng)用中獲得經(jīng)驗(yàn)，在拓展中得以提升，那么我們的學(xué)生才會(huì)在快樂中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中獲得成功的喜悅.