四邊形面積公式的向量表示及應(yīng)用

安徽省靈璧縣第一中學(xué) 朱 勇 （郵編：234200）

高中數(shù)學(xué)必修5（北師大版）第48頁的例3告訴我們：在ΔABC中，其面積有向量表示式：

那么，對于任意四邊形的面積可否用向量表示呢？

如圖，在四邊形ABCD中，連AC、BD交于點(diǎn)O，設(shè)OA＝a、OB＝b、OC＝c、OD＝d，AC與BD夾角為α，則四邊形ABCD的面積為

即任意四邊形的面積等于兩條對角線的長及夾角正弦之積的一半，這表明當(dāng)四邊形的兩條對角線的長及夾角一定時(shí)，雖然相應(yīng)四邊形的形狀是不確定的，但其面積卻是定值，于是我們有如下結(jié)論：

在四邊形ABCD中，

證明 在四邊形ABCD中，構(gòu)造向量、，設(shè)向量與的夾角為θ，則四邊形ABCD的面積為：

例1 （2013福建卷，理7）在四邊形ABCD中＝（1，2）＝（－4，2），則該四邊形的面積為（ ）

解 由上面的四邊形面積公式即得四邊形ABCD的面積為5，故選C.

文［2］借助兩個(gè)引理并通過伸縮變換求得結(jié)果，而利用上述四邊形面積公式則思路清晰，較易獲解.

解 如圖所示，由橢圓的幾何性質(zhì)知，其內(nèi)接平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)必為原點(diǎn)，且總有一組對邊所在直線的斜率是存在的（不妨設(shè)為AB邊）.

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），邊AB所在直線的方程為：y＝kx＋t則C（－x1，－y1），D（－x2，－y2），所以＝ （2x1，2y1）＝ （2x2，2y2）

（a2k2＋b2）x2＋2a2ktx2＋a2t2－a2b2＝0，

由根與系數(shù)的關(guān)系知：

于是由四邊形面積公式得平行四邊形ABCD的面積為：

當(dāng)且僅當(dāng)m＝即，亦即a2k2＋b2＝2t2時(shí)取等號(hào).

故橢圓內(nèi)接平行四邊形的最大面積為2ab.

1 編寫組數(shù)學(xué)5（必修）［M］.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書（北師大版）（48）

2 楊先義.數(shù)學(xué)問題解答［J］數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，2，64