對一道高考填空題的探究

安徽省樅陽縣會宮中學 王懷明 （郵編：246740）

題 （2013年課標Ⅰ理數，16）若函數f（x）＝ （1－x2）（x2＋ax＋b）的圖象關于直線x＝－2對稱，則f（x）的最大值為________.

解法1 易知點（1，0），（－1，0）在f（x）的圖象上，因為f（x）的圖象關于直線x＝－2對稱，

解得a＝8，b＝15.

1 解法探究

令f′（x）＝0，得x＝－2或x＝－2－或x＝－2 ＋；

令f′（x）＞0得x＜－2 －或－2＜x＜－2 ＋，令f′（x）＜0得－2 －＜x＜－2或x＞－2 ＋.所以當x＝ －2 －時，f（x）的極大值為16，當x＝－2＋時，f（x）的極大值為16.結合f（x）的圖象可得f（x）的最大值為16.

還可以如下求f（x）的最大值：

另解f（x）＝ （1－x2）（x2＋8x＋15）＝－（x2＋4x＋3）（x2＋4x－5）.令t＝x2＋4x，則t＝ （x＋2）2－4≥－4，f（x）＝－（t＋3）（t－5）＝16－（t－1）2，當t＝1時f（x）取最大值為16.

解法2 易知函數f（x）＝（1－x2）（x2＋ax＋b）兩個零點為－1、1，因f（x）的圖象關于直線x＝－2對稱，所以－5，－3是函數f（x）兩個零點.即方程x2＋ax＋b＝0的兩根為－5，－3.由根與系數關系得a＝8，b＝15.下同解法1，略.

解得a＝8，b＝15得f（x）＝ （1－x2）（x2＋8x＋15），下同解法1，略.

解法4 由f（x）的圖象關于x＝－2對稱，得

又由x＝－2是f（x）的極值點，得

由①②解得a＝8，b＝15.

下同解法1，略.

下同解法1，略.

解法6 由f（x）的圖象關于直線x＝－2對稱，則f（x）＝f（－4－x），

又f（x）＝ （1－x2）（x2＋ax＋b），

下同解法1，略.

2 一般性探究

這道高考題涉及一元四次函數圖象關于直線對稱的問題，對于一般的四次函數f（x）＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e（a≠0），是否都是軸對稱圖形？下面進行一般性討論.

設f（x）的圖象關于直線x＝m對稱，則f（x）＝f（2m－x），

由上面探究過程可知，并非所有的一元四次函數圖象都是軸對稱圖形，必須滿足一定條件，由此，我們得到如下定理：

下面利用該定理解這道高考題.