“立體幾何”專題復習的五個切入點

安徽省太湖中學 李昭平 （郵編：246400）

縱觀近幾年的高考題，無論是全國卷還是省市自主命題卷，立體幾何主要考查空間想象能力、思維能力和推理運算能力，考查重點仍然是空間的平行關系、垂直關系、三視圖、空間角、距離的計算以及簡單幾何體的體積與表面積，題型涵蓋選擇、填空和解答題，一般穩定在一選一填一解答，分值大約占總分的14%左右.選擇題、填空題以基礎題和中檔題為主.隨著空間向量的引入，開辟了解證立體幾何問題的新途徑，進而大大降低了立體幾何解答題的證明、作圖與運算的難度.專題復習應關注以下五個切入點，能有效掌握立體幾何的核心知識與方法，并與相關知識融會貫通，提高解決立體幾何問題的能力.

切入點1 以三視圖與簡單組合體為載體的問題

三視圖與簡單組合體是新課標實驗教材的新增內容，對空間想象能力要求較高，從這一點看，新教材與老教材對學習立體幾何的主要目標是不變的.不過新教材的編排順序與老教材正好相反，它是先安排柱體、錐體、臺體、球體等內容，然后再學習空間中的線面位置關系.

例1 如右圖是不銹鋼保溫飯盒的三視圖，根據圖中數據（單位：cm），求得該飯盒的表面積為（ ）

A.1100πcm2

B.900πcm2

C.800πcm2

D.600πcm2

思路 由三視圖想象出簡單組合體的直觀圖，再用相關公式求飯盒的表面積.

解析 由三視圖可知，該飯盒是一個圓柱和半球的組合體，圓柱的底面半徑為10cm米，高為30cm米，半球的半徑為10cm，則S圓柱＝2πrh＋πr2＝700π.

S半球＝2πr2＝200π，所以這個飯盒的表面積為900πcm2，故選B.

例2 如右圖，某個柱體的正（主）視圖、側（左）視圖都是面積為1的正方形，且其體積為，那么這個柱體的表面積可以（ ）

思路 判斷猜想俯視圖的形狀，驗證幾何體的體積.

點評 從例1的解法中我們可以深刻地感受到：一旦將一個復雜的、抽象的問題落實到具體的、熟悉的圖形中，將會變得非常簡單.由三視圖想象出簡單組合體的直觀圖，是學習三視圖的基本要求.對于根據三視圖計算幾何體的表面積問題，審題要嚴密.本題在解答時易出現的錯誤是把飯盒的表面積誤認為是圓柱的表面積與半球的表面積之和，從而導致錯誤答案.例2打破由三視圖計算幾何體表面積或體積的傳統題型，而已知體積反過來確定幾何體的形狀和表面積，這種逆向設置問題具有發散性和開放性，能有效考查學生的想象力和思維力，要引起重視.

切入點2 以球體與特殊多面體的切接為載體的問題

特殊多面體中既包含了空間中許多平行關系、垂直關系，又與球體有緊密的聯系，因此往往受到高考命題者的青睞.近幾年的高考中常常出現球體與特殊多面體的切接問題.解答此類問題的關鍵是找到球心，以及球的直徑、半徑與多面體棱長之間的關系.

例 3 如圖，△ABC中，∠ABC＝ 90°，PA⊥平面ABC，且PC＝a.求三棱錐P—ABC外接球的表面積.

思路 尋找三棱錐P—ABC外接球的球心.

解析 因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，PA⊥AC.

而∠ABC＝90°，AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.

取PC的中點O，則OA＝PC＝OB＝OP＝OC.故外接球的球心是O，半徑是OA＝PC＝.于是三棱錐P—ABC外接球的表面積S＝4π·OA2＝πa2.

例4 甲烷分子（CH4）由一個碳原子和四個氫原子組成，其空間圖形為一個各條棱都相等的四面體，其中四個氫原子分別位于該四面體的四個頂點上，碳原子位于該四面體的中心，它與每個氫原子的距離都相等.若視氫原子、碳原子為一個點，四面體的棱長為a，則碳原子到各個氫原子的距離是____________.

思路 利用球體與正四面體、正方體的關系求解.

解析 四面體的四個頂點在以中心（碳原子）為球心，中心到各頂點（氫原子）的距離為半徑的球面上.

如圖，將此四面體ABCD補成正方體BD′，其中A′、B′、D′也在球面上.設碳原子到每個氫原子的距離為x，則2x＝BD′，BD′、AB、AA′之間的關系是a＝AB＝AA′，2x＝BD′＝AA′，因此，2x＝·，得x＝a.

點評 例3由于是非特殊的多面體，所以關鍵要尋找球心，有一定的難度.注意正方體、正四面體、長方體、三條側棱兩兩垂直的三棱錐、正八面體的外接球的半徑與這些特殊多面體的棱的聯系，大家可以探討一下.這類問題在高考中多以選擇題、填空題的形式出現，具有一定的創新性，補形法、構造法常常幫助我們速戰速決.

切入點3 以線線、線面、面面關系為載體的問題

空間中線線、線面、面面關系是立體幾何的核心內容，其中又以線面的平行與面面的垂直問題為重點.熟練掌握線面平行、面面垂直的判定和性質是迅速解決問題的關鍵.

例5 如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2a的正方形，平面ADEF垂直于平面ABCD，且FA⊥AD，EF∥AD，EF＝AF＝a.

（1）若P、Q分別為棱BF和DE的中點，

求證：PQ∥平面ABCD；

（2）求多面體ABCDEF的體積；

（3）求二面角A－BD－E的余弦值.

思路 尋求關系，體積轉化，建系用向量法求解.

解析 （1）取AB的中點S，連結PS.作EM⊥AD于M，取MD的中點T，連結QT.

于 是PS∥AF，PS＝AF，QT∥EM，QT＝EM.因為FA⊥AD，EF∥AD，EF＝AF＝a，所以AMEF是正方形，所以AFEM.故PSQT，四邊形PSTQ是平行四邊形，所以PQ∥ST.

而ST?平面ABCD，PQ?平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.

（2）因為平面ADEF垂直于平面ABCD，且FA⊥AD，所以FA⊥平面ABCD.

又CD⊥AD，所以CD⊥平面DEF.

（3）以點A為原點，射線AB，AD，AF分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O－xyz.

設a＝1，則F（0，0，1），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，1，1），＝ （－2，1，1），＝ （－2，2，0）.

設n＝ （x，y，z）是面EBD的法向量，則n·＝n·＝0，即

例6 如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為2，點E、F分別是棱CC1、BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC＝2FB＝2.

（1）當點M在何位置時，MB／／平面AEF？

（2）當MB／／平面AEF時，求直線MB到平面AEF的距離.

思路 根據正三棱柱中的垂直關系建立空間直角坐標系（要注意 ∠ACB＝60°，慎求B、F的坐標），再將向量關系代數化，通過向量的坐標運算和點面距離公式就能很快確定點M的位置和直線MB到平面AEF的距離.

解析 （1）如圖，建立空間直角坐標系B—xyz，則C（0，0，0），E（0，0，2），A（2，0，0），F（1，，1），B（1，0）.

切入點4 以平面向空間類比為載體的問題

將“平面圖形的性質類比到空間，探求相應的空間圖形是否也有此類似的性質”，稱之為“類比推廣”型立幾開放題.這種開放題往往以平面圖形的性質及其證法為基礎，融探索、猜想、證明于一體，能有效考查學生的空間想象能力、類比聯想能力、合情推理能力以及創新能力，在近幾年的高考中是高頻考點，要引起關注.

思路 將三角形的邊類比到空間四面體的面，面積之比類比到空間上的體積之比，“面積法”類比到“體積法”.

事實上，如圖，設O為四面體ABCD內任意一點，連結AO、BO、CO、DO并延長，分別交 對 面 于A′、B′、C′、D′四點，則

例8 我們知道：在平面幾何中，△ABC的三條中線相交于一點，這個點叫三角形的重心.重心分中線之比為2∶1（從頂點到中點）.據此，我們拓展到空間：把空間四面體的頂點與對面三角形的重心的連線叫空間四面體的中軸線，則四條中軸線相交于一點，這點叫此四面體的重心.類比上述命題，寫出四面體重心的性質，并證明.

思路 將三角形重心性質的證明方法類比到空間四面體中，利用相似三角形對應邊成比例.

解析 事實上，如下圖，AE、BP為四面體的中軸線，P、E分別為ΔACD、ΔBCD的重心.

連結PE.因為AP∶PF＝2∶1，BE∶EF＝2∶1，所以AP∶PF＝BE∶EF，PE∥AB.

因此AG∶GE＝BG∶GP＝PE∶AB＝3∶1.

所以，空間四面體的重心分頂點與對面三角形的重心的連線之比為3∶1（從頂點到對面三角形的重心）.

點評 一般地，平面上的“點、線、面”類比到空間上的“線、面、體”（元素類比）；平面上的數量結構形式類比到空間上的數量結構形式（結構類比）；平面上“面積法”類比到空間上的“體積法”，平面上“相似法”類比到空間上的“相似法”（方法類比）.

切入點5 以平面圖形折成立體圖形為載體的問題

“平面折疊型”問題是近幾年高考考查立體幾何的熱點，即將平面圖形通過折疊變成立體圖形，讓靜止問題動態化，使得對立體幾何的考查顯得更加豐富多彩.解決此類問題的關鍵是，要對折疊前后兩個圖形進行觀察，弄清折疊前后，哪些位置關系與度量關系沒有變化，哪些位置關系與度量關系有變化.復習中要注重從多角度、多層次、多側面思考與探究，溝通相關知識與方法之間的內在聯系，訓練發散思維，更好把握這類問題.

例9 正三角形ABC的邊長為a，將它沿平行于BC的線段PQ折起（其中P在AB邊上，Q在AC邊上），使平面APQ⊥平面BPQC.若折疊后，A、B兩點間的距離為d，求d的最小值.

思路 畫出折疊前后的平面圖形和空間圖形，觀察折疊前后位置關系與度量關系的變化情況.

解析 作AD⊥PQ于D，則D為PQ的中點.因為平面APQ⊥平面BPQC，所以AD⊥平面PBCQ.連結BD，則d2＝AD2＋BD2.

設AD＝x，DE＝a－x（E為BC的中點），于是BD2＝DE2＋BE2＝，

例10 平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，4AB2＋2BD2＝1，沿BD將四邊形折成直二面角，求三棱錐A—BCD外接球的體積.

思路 觀察折疊前后位置關系與度量關系的變化情況，尋找三棱錐A—BCD外接球的球心.

解析 如圖，因為平面BDC⊥平面ABD（折成直二面角），

而AB⊥平面BDC，CD⊥平面ABD，所以

AB⊥BC，CD⊥AD.取AC的中點O，則OA＝OB＝OC＝OD.于是外接球的球心是O，OA＝AC，OA2＝AC2.

而AC2＝AB2＋BC2＝2AB2＋BD2＝（4AB2＋2BD2）＝.

半徑是OA＝AC＝.于是外接球的體積V＝·OA2＝.

點評 例9將正三角形折成了一個直二面角，折疊后的ΔAPQ、梯形BPQC與折疊前的不變，只是位置發生了改變（垂直）.A、B兩點間的距離發生了變化，且隨平行線PQ位置的變化而變化.因此要建立d關于x的目標函數，利用函數求d的最小值.例10的平行四邊形一條對角線與一邊垂直，先注意正確畫圖，再利用折疊前后垂直不變性和度量不變性求解.

以上介紹的五個切入點，很好地體現了立幾中的核心知識和重要思想方法（轉化、化歸、類比、構造、折疊、建系等）.需要注意的是，由于新課標教材體系、結構、內容的變化和高考能力立意思想的加強，立體幾何問題的題型、內容、背景、設置方式以及解題方法都有較大的變化，與相關知識交匯的力度也在不斷加大，而且選擇題或填空題的位置逐漸后移，并常常作為選擇題或填空題的壓軸題、以創新題的面貌出現在試卷之中.因此，我們在切實掌握基礎知識、基本技能和基本方法的基礎上，還要重視動手操作能力的訓練和對新題型的探究，在高考中以不變應萬變.