外接球問題“心”在哪里

浙江省臨海市回浦中學(xué) 李昌湛 （郵編：317000）

在組合體中，有一類是幾何體的外接球問題，解決這類問題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置.本文介紹幾種找?guī)缀误w外接球球心的方法，僅供參考.

1 利用直角三角形斜邊的中點(diǎn)找球心

例1 （2009湖南卷）在半徑為13的球面上有A，B，C三點(diǎn)，AB＝6，BC＝8，CA＝10，則球心到平面ABC的距離為＿＿＿＿.

解 ∵AB＝6，BC＝8，CA＝10，

∴∠ABC＝，

故球心到平面ABC的距離為12.

例2 如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，AB⊥BD，BC⊥CD，將 △ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，則該幾何體的外接球的表面積等于（ ）

解 如圖2，在四面體A－BCD中，

∵平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，

∴AB⊥平面BCD，又CD⊥BC，

由三垂線定理知CD⊥AC，即AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共斜邊，取斜邊AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OB，OC，則OA＝OB＝OC＝OD，∴四面體A－BCD的外接球球心即為O，∴外接球的半徑R＝OA＝AD＝，∴S球＝4πR2＝＝3π，故選A.

例3 一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為（ ）

解 由三視圖作出原幾何體是三棱錐ABCD，如圖4所示.

平面ABD⊥平面BCD，取BD的 中 點(diǎn)O1，連結(jié)AO1，CO1，

因△ABD是邊長為2的正三角形，△BCD是等腰直角三角形，且BC＝CD＝，∠BCD＝90°，有AO1⊥平面BCD，則球心O在線段AO1上，連結(jié)BO，設(shè)外接球的半徑為R，在Rt△BOO1中，因BO2＝BO12＋，即R2＝12＋－R）2，解得R＝，∴S球＝4πR2＝，故選B.

評注 因?yàn)橹苯侨切涡边叺闹芯€長等于斜邊的一半，所以斜邊的中點(diǎn)到該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，利用這一性質(zhì)可找出過直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的幾何體的外接球球心.

2 利用斜三角形的外心找球心

例4 （2010寧夏、海南卷）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）

例5 （2009全國卷I）直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，則此球的表面積等于__________.

解 如圖6，設(shè)三角形ABC和A1B1C1的外心分別為O1和O2，連結(jié)O1O2，OA，O1A，取O1O2的中點(diǎn)O，則O到直三棱柱ABC－A1B1C1各頂點(diǎn)的距離都相等，即球心即為O，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝12，

即BC＝ 2，設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，則由正弦定理，得

∴S球＝4πR2＝4π×（）2＝20π.

評注 因?yàn)槿切蔚耐庑牡饺切稳齻€(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以過三角形的外心且垂直于此三角形所在平面的垂線上的任意一點(diǎn)到此三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離也相等，所以過該三角形三個(gè)頂點(diǎn)的球的球心必在垂線上.

3 利用正方體或長方體的中心找球心

例6 （2012遼寧卷）已知正三棱錐PABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為__________.

解 把正三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖7，則球心O就是正方體的中心，

∴正方體的體對角線l等于球的直徑，∴l(xiāng)＝，又∵面ABC把正方體的體對角線三等分，設(shè)球的半徑為R，則球心O到截面ABC的距離d＝R－l＝

例7已知S，A，B，C是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝ 1，BC＝，則球O的表面積等于（ ）

A.4π B.3π C.2π D.π

解 把四面體SABC補(bǔ)成長方體，如圖8，則球心O是長方體的中心，∵長方體的體對角線長等于球的直徑，設(shè)球的半徑為R，

∴ （2R）2＝12＋12＋）2，∴R＝1，

∴S球＝4πR2＝4π.

例8 在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝a，AC＝BD＝b，AD＝BC＝c，則該三棱錐的外接球的表面積為 .

評注 因?yàn)檎襟w或長方體的中心到各頂點(diǎn)的距離相等，所以過正方體或長方體若干個(gè)頂點(diǎn)的球的球心就是正方體或長方體的中心，此類問題找球心往往需要對幾何體進(jìn)行補(bǔ)形.