一個猜想不等式及其部分解決

上海市寶山區寶林路寶林六村42號101室 姜坤崇 （郵編：201999）

本文給出關于三元a、b、c的一個猜想不等式及其部分解決.

1 當m＝n＝1時猜想不等式的證明

結論1 設a、b、c是正實數，則

證明 由二元均值不等式得

2 當m＝k，n＝2k（k是正整數）時猜想不等式的證明

結論2 設a、b、c是正實數，k是正整數，則

證明 由三元均值不等式得

由結論2可得下面的一些不等式（其中a、b、c是正實數）：

3 當m＝k＋1，n＝2k（k是正整數）時猜想不等式的證明

結論3 設a、b、c是正實數，k是正整數，則

由結論3可得下面的一些不等式（其中a、b、c是正實數）：

4 當m＝k，n＝2k＋1（k是正整數）時猜想不等式的證明

結論4 設a、b、c是正實數，k是正整數，則

由結論4可得下面的一些不等式（其中a、b、c是正實數）：

5 當m＝1，n＝4；m＝2，n＝3時猜想不等式的證明

證明 由于所證不等式是關于a、b、c的5次齊次不等式，故可設a＋b＋c＝1，即證

當x∈ （0，1）時，因為

設h（x）＝27x3－90x2－99x－32，則h′（x）＝9（9x2－20x－11），由h′（x）在（0，1）上是減函數且h′（0）＝－99＜0知h′（x）＜0（其中x∈（0，1）），故h（x）在（0，1）上為減函數.

又h（0）＝－32＜0，所以h（x）＜0（其中x∈ （0，1）），所以 ④ 式成立，從而 ③ 式成立，于是

即②式成立，從而原不等式得證.

結論6設a、b、c＞0，則a2（b＋c）3＋b2（c＋a）3＋c2（a＋b）3≤（a＋b＋c）5.

證明 由于所證不等式是關于a、b、c的5次齊次不等式，故可設a＋b＋c＝1，即證

當x∈ （0，1）時，因為

即⑤式成立，從而原不等式得證.

對于所有的正整數m、n（m≤n），猜想不等式是否完全成立？若成立，有無統一的證明？這些問題有待進一步探究解決.