三角形一個優美結論的空間拓廣

福建省大田市第一中學 田富德 （郵編：366100）

2011日本數學奧林匹克有如下一道題：

設H是銳角ΔABC的垂心，M是邊BC的中點，過點H作AM的垂線，垂足為P.證明：AM·PM＝BM2.

圖1

證法1 如圖1，設BH與AC交于點X，AH的中點為N.

因為 ∠AXH＝ ∠APH＝90°，所以，點P、X在以AH為直徑的圓上（若AB＝AC，則P、H重合，X也在以AH為直徑的圓上）.于是，∠AXN＝∠XAN.

又因為∠BXC＝90°，所以，點X在以BC為直徑的圓上.

易知，∠CXM＝ ∠XCM，且XM＝BM.

由∠NXM＝180°－（∠AXN＋∠CXM）＝180°－（∠XAN＋∠XCM）＝90°，

則MX與以AH為直徑的圓切于點X.

于是，AM·PM＝MX2＝BM2.

圖2

文［1］提供了以上證法1，純幾何證法巧妙，作輔助線是關鍵.由于試題需要證明的是線段的數量關系，故筆者借助于向量給出了證法2.向量方法避免了作輔助線的困難，也易于推廣，從證法2的證明過程中，知試題條件中的“銳角三角形”可以改為“任意三角形”.

眾所周知，四面體四條高并不一定交于一點，也就是說不一定有通常意義下的垂心.經過筆者探究，倘若四面體四條高交于一點，則保留了試題的優美性質，向量方法在幾何證明中的體現了強大功能.現以定理形式，敘述如下：

定理 設四面體ABCD四條高交于一點H，M是面BCD的重心，過點H作AM的垂線，且垂線與直線AM相交于點P，則有

故有18AM·PM＝BC2＋CD2＋DB2.

1 中等數學編輯部.2010－2011國內外數學競賽題及精解［J］.中等數學，2012增刊（2）