基于偽壽命分布的電主軸極小子樣可靠性研究

蔣 喜，劉宏昭，劉麗蘭，訾佼佼

(西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，西安 710048)

隨著科學技術的不斷發展，整個社會對于機械產品的可靠性要求越來越高。電主軸作為當今世界高速加工技術領域較為典型的裝備之一，對其可靠性問題進行研究必不可少。由于電主軸屬于高精度、長壽命、高可靠性產品，在短時間內對其進行可靠性實驗難以獲得失效壽命數據。雖然傳統的有故障情形下的可靠性數據處理已有一套比較成熟的方法，但這種方法只適合于樣本數較多，且有部分失效壽命數據的場合。因此，針對本課題涉及到的這類無故障情形下的電主軸可靠性評估的問題，可采用基于性能退化數據的可靠性分析方法進行研究。

Lu等［1］基于疲勞裂紋增長數據提出了一種混合效果模型和兩階段非線性參數分析方法;Zehua等［2］通過估計產品的退化軌跡外推產品的失效壽命，從而為可靠性評估提供數據基礎;Crk［3］提出了基于性能退化數據的多重多變量回歸模型;陳振珩等［4］研究和論述了線性模型、指數模型和冪律模型等三種基于性能退化數據的常用模型。此外，文獻［5－8］等也對產品的性能退化數據進行了深入的研究?；谛阅芡嘶瘮祿目煽啃苑治龇椒ㄊ侵苯影旬a品的可靠性和物理特性參數聯系在一起，記錄了未失效產品在不同時刻的性能特征，包括監測時間、退化過程和最后一次測量值與特定失效閾值之間的差距，分析時采用這些信息來估計可靠性［9］。因此，該方法比基于失效壽命數據的可靠性評估方法更為精確。此外，由于該方法在受試樣本發生失效之前就對其可靠性及壽命等方面進行評估，因此極大程度地縮短了可靠性實驗時間。

目前，性能退化數據的統計分析方法一般分為基于偽壽命分布、基于性能退化量分布和基于隨機系數分布三種。本文采用基于偽壽命分布的可靠性分析方法對電主軸可靠性實驗所獲得的性能退化數據進行統計分析，以獲得各個樣本的偽壽命數據。同時，由于電主軸造價較高，使得實驗成本較高，因此本課題涉及到的電主軸樣本只有兩根。針對這類極小子樣的可靠性研究，為了使電主軸可靠性評估結果的準確度更高，本文同時采用虛擬增廣樣本法將實驗樣本的偽壽命數據進行虛擬擴展。在此基礎上，對偽壽命虛擬增廣樣本進行統計分析，以獲得電主軸的一系列可靠性指標。

1 電主軸性能退化機理及退化參數的選取

1.1 電主軸性能退化機理

電主軸的性能退化失效機理是錯綜復雜的，其可靠性與主軸材料、支承軸承的類型及安裝方式等多種因素相關。對于實際工況下電主軸的性能退化失效，可針對其主要的性能退化機理進行具體分析，從而合理施加適當的應力。

本課題的研究對象是磨削電主軸，其在實際工況下承受的作用力主要包括軸端徑向力、扭矩和軸向力，其中最主要的是研究磨削電主軸在軸端徑向載荷作用下的可靠性問題，該載荷引起電主軸的主要性能退化機理為:在軸端徑向載荷的持續作用下，電主軸連續長期的高速運轉一方面會導致前后支承軸承組的磨損、疲勞破壞等一系列缺陷，另一方面會導致轉軸疲勞、斷裂以及其與轉子之間過盈配合的松動等不良狀況，這些缺陷將引起電主軸的軸端徑向跳動加大、振動加劇以及噪聲的增大等現象。隨著電主軸運轉時間的不斷延長，這些因素最終將導致其軸端徑向跳動量(回轉誤差)和振動量等物理量超出各自允許值，即超出所謂的退化失效閾值，此時則認為電主軸發生性能退化失效。此外，潤滑系統的失效將引起軸承溫升急劇上升，加速軸承的磨損;冷卻系統的失效將引起系統溫升急劇上升，使得電主軸系統工作異常，甚至導致電機燒毀等。

1.2 電主軸性能退化特征量的選取

為了在進行電主軸可靠性實驗的過程中及時掌握其退化失效狀況，則需要選取適當的性能指標作為性能退化特征量，當其中某一個或者若干個性能退化特征量超過性能退化失效閾值時，即認為電主軸出現性能退化失效，其可靠性實驗也隨之截止。因此，電主軸性能退化特征量的選取必須滿足如下所述的兩個條件［10］:

(1)從電主軸投入實驗開始到實驗終止時刻，其性能退化特征量能夠呈現出一定的變化規律，能比較客觀地反映出其工作狀態和退化過程;

(2)電主軸的各個性能退化特征量都應該有明確的定義且能夠實時測量。

在明確了電主軸性能退化機理的基礎上，結合本課題所研究設計的電主軸可靠性實驗平臺所具備的功能，可獲知能夠進行實時測量的電主軸性能指標包括前后軸承組的溫升值、振動量以及軸端徑向跳動量，且這些指標均符合上述兩個條件。本課題所研究的是磨削電主軸，其在磨削加工過程中需要保持一定的加工精度，因此其最為重要的性能指標是軸端徑向跳動量，該指標同時也是最為直接地反映電主軸回轉精度的特征量，因此本文選取電主軸的軸端徑向跳動量作為電主軸性能退化特征量。

2 極小子樣可靠性評估的基本原理及流程

2.1 偽壽命分布法的基本原理

基于偽壽命分布的退化數據可靠性評估方法是將產品性能退化量或與之相關的參數作為時間的函數(即所謂的退化模型或者退化軌跡)，利用退化方程描述偽壽命值與應力水平的關系［9］。該評估方法的基本原理和步驟如下:

(1)對所有實驗樣品持續進行性能退化實驗，記錄性能退化數據，并根據使用方的需求及國家相關標準確定性能退化失效閾值D。

(2)運用非線性最小二乘法將步驟(1)所獲得的性能退化數據與常用的退化軌跡模型進行擬合，從中選擇最優的退化軌跡模型，并估計模型中的未知參數。

(3)運用步驟(2)中選取的退化軌跡模型，結合步驟(1)中確定的性能退化失效閾值D，外推獲得各樣品的偽失效壽命。

2.2 虛擬增廣樣本法的基本原理

虛擬增廣樣本法的立論依據為:虛擬增廣后的虛擬樣本的均值應與原始實驗樣本的均值相等，而且其標準差應與類似件的樣本標準差相等［11－12］。

因此，根據上節步驟(3)中獲得的產品偽失效壽命原始實驗數據的均值及其以往類似件實驗估計所得到的分布形式和標準差，即可應用虛擬增廣樣本法對其進行虛擬擴展，從而得到偽失效壽命的虛擬增廣樣本數據。

2.3 極小子樣可靠性評估流程

在上節分析的基礎上，利用以往類似件實驗估計所得到的分布函數及幾種常見的失效壽命分布函數對偽失效壽命虛擬增廣樣本數據進行分布假設檢驗，從中選取最為合適的失效壽命分布函數，并確定該分布函數中的未知參數。最終獲得產品的一系列常用可靠性指標。

3 電主軸極小子樣可靠性評估

3.1 電主軸性能退化實驗方案

3.1.1 實驗設備及原理

本課題所進行的電主軸可靠性實驗采用的主要實驗設備如圖1所示。

圖1 電主軸實驗設備Fig.1 The electric spindle test equipment

該實驗平臺的主要工作原理是:在接通所有設備電源之后，先啟動水冷機給電主軸通循環冷卻水，再通過調節變頻器控制電主軸的轉速達到8 000 r/min，接著啟動恒流源給電磁加載裝置供電，以實現對電主軸軸端加載盤施加電磁力，并根據磨削電主軸的載荷譜控制電磁加載力的大小，由此模擬電主軸在實際磨削加工過程中的磨削力。然后，在電主軸運行穩定后，每隔一段時間通過激光位移傳感器和振動速度傳感器分別測量電主軸軸端徑向跳動量和振動速度值，從而獲得一系列電主軸性能退化實驗數據。

3.1.2 實驗終止條件

按照國家軍用標準GJB 899A－2009關于可靠性鑒定和驗收實驗的規定，對于定時截尾實驗截尾時間的確定方法如下:

先確定平均故障間隔時間(MTBF)最低可接收值θ1和規定值θ0，它們分別指的是裝備在設計定型時所規定的必須達到的使用指標和期望達到的使用指標。由θ0和 θ1可得到鑒別比 d，根據鑒別比即可從 GJB 899A－2009中選取合適的定時實驗統計方案，方案確定后即可獲得所有n件受試產品總的實驗時間T。此外，GJB 899A－2009規定每臺產品的實驗時間至少應為所有受試產品平均實驗時間的1/2，由此可知每臺產品的實驗時間t≥T/2n。因此，定時截尾實驗截尾時間應不小于T/2n。

按逐次定時截尾實驗原則，結合使用方的需求、國家相關標準以及電主軸實驗規范，在利用上述方法規定的截尾時間內，如果在連續若干個測量時刻點所測得的實驗數據均出現以下某個或某幾個現象則立即終止實驗:

(1)前后軸承組溫升幅度超過恒定工作溫度的30%，或者前后軸承組溫度超過60℃;

(2)電主軸振動速度值超過1.5 mm/s;

(3)電主軸軸端徑向跳動量超過其初始值的1.6倍。

若到達規定的截尾時間時仍未出現上述現象，則按照定時截尾可靠性實驗原則，即刻終止實驗。

3.2 基于偽壽命分布的電主軸可靠性評估

按照上述電主軸性能退化實驗方案對兩根磨削電主軸分別進行為期近兩個月的性能退化實驗，獲得一系列相關的性能退化數據，其中部分退化實驗數據如表1所示。

表1 磨削電主軸部分退化實驗數據Tab.1 Partial degradation test data of grinding electric spindle

3.2.1 偽壽命分布法確定偽失效壽命

應用非線性最小二乘法將2個樣本的性能退化數據分別與線性函數(y=α·t+β)、指數函數(y=β·eα·t)、冪函數(y= β·tα)、對數函數(y= α·ln(t)+β)、Lloyd－Lipow(y=α－β/t)五種常見退化軌跡模型進行擬合，擬合結果的圖像分別如圖2、圖3所示。同時返回2個樣本數據與各模型擬合的誤差平方和及相應模型中的未知參數，如表2所示。

圖2 樣本1的性能退化數據擬合圖Fig.2 Fitting chart of the first sample’s performance degradation data

圖3 樣本2的性能退化數據擬合圖Fig.3 Fitting chart of the second sample’s performance degradation data

本文選用誤差平方和的值作為評價各退化軌跡模型擬合優度的指標，該值越接近零說明擬合的效果越好。因此通過比較表2中各個實驗樣本的退化數據與各個退化模型擬合后返回的誤差平方和的大小，即可確定兩個實驗樣本的最優退化軌跡模型均為冪函數，表達式分別為:

本文選取相對失效閾值作為電主軸軸端徑向跳動量的退化失效閾值，根據使用方的需求、國家相關標準以及電主軸實驗規范取該值為1.6，則令各個實驗樣本的最優退化軌跡模型中的y值(即式(1)和式(2)中的y值)為初始值的1.6倍，即可推導出各樣本的退化失效壽命(偽失效壽命)分別為2 211 h、2 863 h。

表2 樣本數據與各模型擬合的誤差平方和及相應模型中的未知參數表Tab.2 Sum of error squares of sample data fitting with each model and unknown parameters of corresponding model

3.2.2 偽壽命虛擬增廣樣本的確定

由于電主軸的支承軸承的磨損及疲勞剝落等形式的失效對于電主軸的綜合性能影響較大，也較為直接，因此選用軸承作為電主軸的類似件，則確定軸承的失效分布函數——威布爾分布函數，作為電主軸的失效分布函數。

接下來將偽壽命數據進行虛擬擴展，由相關文獻可知:為了更好地獲得可靠性實驗評估結果，虛擬增廣樣本數應不小于10。因此，本文選取虛擬增廣樣本數為13，即將原始的2個擴展為13個。

由兩個偽失效壽命原始實驗數據可得其均值T0和標準差σ，根據威布爾分布的密度函數形式，易知威布爾分布的密度函數是偏態的［14］，因此在進行虛擬擴展時，考慮在其均值T0的左邊取8個虛擬擴展值，右邊取4個虛擬擴展值，加上T0共13個虛擬擴展值，分別記為T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T8、T9、T10、T11、T12、T13，其中T9=T0。則由虛擬增廣樣本法的立論依據可得如下方程組:

由于式(3)中只有均值T0和標準差σ是已知的，因此其關于T1～T8、T10～T13的解有無窮多組，根據威布爾分布密度函數的偏態性，可分別取 T1=0.1T0、T2=0.3T0、T3=0.4T0、T4=0.5T0、T5=0.6T0、T6=0.7T0、T7=0.8T0、T8=0.9T0、T10=1.2T0、T11=1.4T0、T12=1.6T0、

3.2.3 電主軸可靠性評估

將所獲得的偽失效壽命虛擬增廣樣本分別用威布爾分布、正態分布和對數正態分布進行Kolmogorov－Smirnov檢驗，以檢驗上述三種分布函數的擬合優度，獲得相關參數如表3所示。

表3 分布假設檢驗結果Tab.3 Results of the distribution hypothesis test

表中，h=0表示接受假設，h=1表示拒絕假設;p為服從假設的分布函數的概率;k為 Kolmogorov－Smirnov檢驗的統計量;c為決定k是否顯著的臨界值，當統計量k值不超過c值時，即表示接受假設;否則就表示拒絕假設。

由檢驗結果可知:偽失效壽命虛擬增廣樣本均接受威布爾分布、正態分布和對數正態分布的假設檢驗，但服從威布爾分布的概率最高，因此確定偽失效壽命虛擬增廣樣本的最優分布函數為威布爾分布，同時獲得分布函數中的形狀參數m和真尺度參數η分別為1.745 8、2 493.855 6，則得磨削電主軸失效分布函數F(t)和失效分布密度函數f(t)分別為:

由式(6)可得磨削電主軸的失效分布密度函數曲線，如圖4所示。

圖4 磨削電主軸分布密度函數曲線Fig.4 Distribution density function curve of grinding electric spindle

在上述分析的基礎上，可分別獲得該型號電主軸常用的可靠性評估指標如下:

① 電主軸可靠度函數為:該可靠度函數的曲線如圖5所示。

圖5 磨削電主軸可靠度函數曲線Fig.5 Reliability function curve of grinding electric spindle

由所獲得的磨削電主軸可靠度函數曲線可知:隨著使用時間的延長，磨削電主軸的可靠度也隨之不斷降低。

② 威布爾分布的失效率函數，即磨削電主軸的失效率函數為:

由此可得失效率函數曲線如圖6所示。

圖6 磨削電主軸失效率函數曲線圖Fig.6 Failure rate function curve of grinding electric spindle

由圖6可知:磨削電主軸的失效率函數為遞增型，在運行約8 000 h的時候，其失效率達到1.7×10－3(個)/h，該值表示每10 000根電主軸工作8 000小時后只有約17根電主軸失效。而在此時間點之前，各個時刻電主軸的失效率均低于1.7×10－3(個)/h。由此可見，該電主軸的可靠性較高。

③ 平均壽命E(t)對于不可修復產品而言，即為平均故障前時間;而對于可修復產品而言，即為平均故障間隔時間。而電主軸屬于可修復產品，因此其平均壽命(平均故障間隔時間)E(t)為:

式中:Γ(1+1/m)為Γ函數，該值可由文獻［9］中的表2－3中查得。

結合式(6)可求得電主軸工作到平均壽命時的可靠度 R 為0.441 8。

④ 威布爾分布的可靠壽命，即電主軸的可靠壽命表達式為:

式中，R為可靠度。

當電主軸所要求的可靠度為R時，則可通過式(9)計算獲得其可靠壽命tR。其表示該型號電主軸在文中所處的實際工況下連續運轉時間tR之后，無論其有無發生失效都應更換新的或者進行修復。

因此，電主軸的平均壽命也是當其所要求的可靠度為0.441 8時的可靠壽命。同時，由式(10)可計算獲得中位壽命 t0.5和特征壽命 t0.368分別為:即由中位壽命t0.5可知該電主軸產品中約有一半產品的壽命低于2 022 h。

4 結論

針對采用傳統可靠性分析方法對電主軸極小子樣的可靠性進行評估較為困難的問題，提出了基于偽壽命分布的可靠性分析方法，本文主要工作如下:

(1)分析和研究了電主軸性能退化失效機理，選取了合適的性能退化特征量，在此條件下設計電主軸可靠性實驗方案并進行可靠性實驗。

(2)研究了基于偽壽命分布的退化數據可靠性評估方法的基本原理，結合電主軸實驗樣本的實驗數據，綜合虛擬增廣樣本法對電主軸進行可靠性評估。

(3)獲得失效分布函數、分布密度函數及其曲線，以及一系列可靠性指標，包括可靠度函數及其曲線、失效率函數及其曲線、平均壽命及部分可靠壽命等。

評估結果表明，該電主軸的可靠度隨時間的變化趨勢基本符合機械產品的性能退化規律，同時其平均失效壽命基本符合正常工況下的一般范圍。

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