基于自適應多尺度形態梯度與非負矩陣分解的軸承故障診斷

劉東升，李 元，楊博文，張 帥，李 兵

(1.軍械工程學院四系，石家莊 050003;2.武漢軍械士官學校彈藥導彈系，武漢 430075)

作為機械設備中應用最為廣泛的部件之一，滾動軸承的狀態監測及故障診斷一直受到廣大科技工作者的重視。在眾多的軸承故障診斷技術中，振動信號分析方法是目前應用最為廣泛和有效的方法之一［1－3］。

滾動軸承的故障診斷過程實質上就是一個模式識別的過程，而振動信號處理與特征參數提取是實現軸承故障診斷的關鍵與核心。信號處理的目的是降低原始振動信號中噪聲及其他無關分量的干擾，以增強信號中能夠反映軸承狀態的信號分量的檢測能力;特征提取的目的是將高維空間的數據映射到低維特征空間，且低維空間中的數據最大可能地保存被壓縮數據的信息。

近年來，傳統的傅里葉頻譜分析、包絡解調分析、小波分析、經驗模態分解和統計特征參數、分形維數、時間序列建模等信號處理與特征提取方法已經在軸承故障診斷中得到了廣泛的應用［4－9］，取得了較好的效果。

筆者在前期工作中研究了自適應多尺度形態梯度(AMMG)方法在軸承輪信號處理中的應用［10］，結果表明，自適應多尺度形態梯度變換在抑制噪聲的同時，較好的保持了信號細節，且計算簡單、快速，是軸承故障信號處理的一種十分有效的方法。但經處理后的信號空間維數仍然非常高，不能直接用來進行分類。為節省存儲空間，降低計算復雜度，避免“維數災難”，必須對信號進行進一步的特征提取。

因此，本文提出在采用AMMG對軸承振動信號處理基礎之上，進一步采用非負矩陣分解技術(NMF)對處理后的信號進行壓縮，計算用于軸承故障診斷的特征參數。采用實測的軸承在七種狀態下的振動信號對本文提出的信號處理與特征參數計算方法進行了驗證，并與傳統的方法進行了對比。

1 自適應多尺度形態梯度變換

有關數學形態學、形態梯度和多尺度結構元素的詳細描述可參見文獻［10］，這里就不再贅述。

自適應多尺度形態梯度變換的主要思想是利用大小不同的結構元素提取信號沖擊特征，小尺寸的結構元素去噪聲能力弱，但能保留到好的信號細節，大尺寸的結構元素去除噪聲能力強，但會模糊信號邊界，因此將各種不同尺度下的信號結合起來可提取出較理想的沖擊特征。

首先采用多尺度結構元素分別對信號進行形態梯度變換，得到s個尺度下系列處理信號:

然后運用多尺度合成算法得到最終的梯度信號:

其中:ws為各尺度信號的權重，其計算過程如下，首先計算各尺度下的形態梯度信號fgs，計算fgs與原信號之間的差值:

則ws可由下式所得:

由式(3)、式(4)可以看出，小尺度下信號的權重較小，大尺度信號權重稍大，由此即可保持細節又可有效的抑制噪聲。

2 非負矩陣分解

雖然自適應多尺度形態梯度能夠有效的提取出原始信號中包含的故障信息，但處理后的空間維數仍然非常高，不能直接用來進行分類。為節省存儲空間，降低計算復雜度，避免“維數災難”，必須對信號進行進一步的特征提取。

非負矩陣分解(NMF)算法是由Lee等［11］在Nature上提出的一種新的特征提取方法。非負矩陣分解的心理學和生理學構造依據是:對整體的感知是由對組成整體的部分的感知構成的(純加性的)，這也符合直觀的理解:整體是由部分組成的，因此它在某種意義上抓住了智能數據描述的本質。此外，這種非負性的限制導致了相應描述在一定程度上的稀疏性，稀疏性的表述已被證明是介于完全分布式的描述和單一活躍分量的描述之間的一種有效數據描述形式。非負矩陣分解算法實現簡便，分解的結果中不出現負值，具有可解釋性和明確的物理意義，以及占用存儲空間少等優點，已經引起許多科學家和研究人員的廣泛重視。

2.1 非負矩陣分解主要思想

非負矩陣分解的主要思想為:已知非負矩陣V，尋找適當的非負矩陣因子W和H，使得:

即給定數據向量集合Vn×m，其中n為數據樣本的維數，m為集合中數據樣本的個數，這個矩陣可以近似的分解為矩陣Wn×r和矩陣Hr×m的乘積。一般情況下，r的選擇要滿足(n+m)r＜nm，從而W和H的維數都會小于原始矩陣V，由此可得實現對原始數據維數壓縮。

2.2 非負矩陣分解的算法實現

Lee等［12］提出了簡化的計算非負矩陣分解的兩種算法。一種算法以最小化剩余的Frobenius-Norm為目標函數，另一種算法則是以最小化修正的Kullback-Laebler散度為目標函數。

本文采用最小化修正的Kullback-Laebler散度為目標函數，給定非負矩陣 Vn×m，尋找矩陣 Wn×r和矩陣Hr×m，使得矩陣 V和矩陣 WH 的Kullback－Laebler散度最小，因此非負矩陣分解算法可轉化為如下的帶約束的優化問題:

Lee等提出了采用乘性迭代規則對上述優化問題進行求解，為了消除尺度對于基矩陣的影響，對基矩陣W限制其L－1范數為1。

對應于式(6)的乘性迭代規則為迭代公式如下所示:

由式(7)－式(8)可以看出，在上述算法的每一步迭代過程中，W和H的新值可以通過其當前值與一些因子的乘積來獲得，式(9)保證了基矩陣的范數為1。Lee和Seung對算法的迭代規則的收斂性進行了證明，從理論上保證了算法的收斂性。

3 軸承故障信號分析

為驗證提出的信號處理和特征提取算法的有效性，本文采用實測的軸承故障信號進行分析。試驗數據來自于美國Case Western Reserve University(CWRU)所建立的軸承數據中心網站。

圖1 軸承在七種狀態下的振動信號時域波形Fig.1 Vibration signals from bearing under seven states

本文將軸承狀態分為七類，分別為正常、滾動體輕微損傷、滾動體嚴重損傷、內圈輕微損傷、內圈嚴重損傷、外圈輕微損傷和外圈嚴重損傷，局部損傷故障采用電火花機分別在滾動體、內圈和外圈表面加工制作，輕微損傷故障地損傷直徑為0.007 in(0.178 mm)，嚴重損傷故障損傷直徑為0.021 in(0.533 mm)，試驗中載荷為0 hp，轉速為1 797 r/min，采樣頻率為12 000，采樣點數為6 000。試驗中在每種軸承運行狀態下采集20個樣本，共140個軸承振動信號樣本。

圖1為軸承在七種狀態下的時域波形。

3.1 軸承故障信號的自適應多尺度形態梯度處理

圖2為采用尺度為1∶11共11個尺度下的結構元素對軸承振動信號進行AMMG分析的結果。圖3給出了對應的頻譜。

圖2 軸承在七種狀態下的振動信號AMMG處理結果Fig.2 Vibration signals from bearing under seven states processed by AMMG

圖3 軸承在七種狀態下的振動信號AMMG處理后對應頻譜Fig.3 Frequency spectrums of vibration signals from bearing under seven states processed by AMMG

由圖2可以看出，AMMG能夠非常有效地提取出軸承故障信號中的周期性脈沖信號，極大的降低了噪聲的干擾，其對應的頻譜圖3中能夠非常明顯的看出不同的故障部位所對應的特征頻率，比如內、外圈故障的特征頻率162 Hz和108 Hz非常明顯，但滾動體故障信號的特征頻率不是很明顯。

從圖3中還可以發現，當軸承發生嚴重損傷時，會引起轉頻對特征頻率的調制，而且轉頻30 Hz本身也非常明顯，這是嚴重故障與輕微故障最明顯的區別。

3.2 基于非負矩陣分解的特征參數提取

由于軸承故障信號在頻域內更加具有可區分性，因此在采用AMMG對原始軸承故障信號進行處理后，進一步采用快速傅里葉變換技術將信號變換至頻域;在頻域選取0～750 Hz范圍作為分析范圍，這樣就得到一個375×140的樣本集。

每類狀態下選擇5個樣本作為訓練樣本，這樣可得到訓練矩陣X375×35，圖4給出了軸承故障信號經AMMG處理后的訓練樣本向量集，圖中每行對應軸承的一種狀態。

首先采用PCA對X進行分解以初始化基向量矩陣和編碼矩陣，基向量秩根據PCA分解定，由于前30個特征值的累積貢獻率超過了99%，因此本文選擇r=30，由此可得到基向量矩陣 W375×30和編碼矩陣 H30×35。圖5為非負矩陣分解后得到的基向量集，對應于基向量矩陣W375×30;圖6為編碼向量集，對應于編碼矩陣H30×35，圖6中各子圖與圖 4中各子圖為一一對應關系。

圖4 非負矩陣分解的訓練集(每行代表一種軸承狀態)Fig.4 Training samples for NMF(Every row represents one state)

對于訓練樣本來說，可用編碼矩陣對其進行描述，對于剩余的測試樣本Xtest，可用下式得到編碼矩陣:

即樣本向基向量矩陣的投影系數作為編碼矩陣。

圖5 非負矩陣分解得到的基向量Fig.5 Basis vectors obtained by NMF

圖6 非負矩陣分解得到的編碼系數(每行代表一種狀態)Fig.6 Coding coefficients obtained by NMF(Every row represents one state)

由此可得到基于AMMG和NMF的描述軸承故障信號的特征參數集，記為FAMMG_NMF。

為證明提出的特征提取方法的有效性和優越性，本文還采用廣泛應用的小波分析和統計特征來提取信號的特征，本文采用的統計特征參數包括四個有量綱統計特征參數(均值、標準差、均方根和峰－峰值)和六個無量綱特征參數(偏度、峭度、峰值指標、脈沖指標、波形指標和裕度指標)。首先采用常用的’db5’小波對信號進行三層分解，然后計算各層分解系數的統計特征參數，共40個特征參量，將其記為FWAV_STAT。

3.3 軸承故障診斷

為驗證結果的通用性，我們采用三種常見的分類器，即最近鄰分類器(KNNC)、樸素貝葉斯分類器(NBC)和支持向量機分類器(SVM)和前述的兩個特征集對七類軸承狀態進行分類，這三種分類算法均采用Matlab 工具箱 PRTools 4.1［13］實現，在試驗中各種分類器均采用工具箱默認的參數。

在分類試驗中，每類狀態下隨機選擇10個樣本作為訓練樣本，剩余的10個樣本作為測試樣本。為保證結果的有效性，將此隨機選擇過程重復20次，并將20次運算結果的平均值作為評價標準。

表1給出了各特征子集的分類精度。

表1 各特征子集的軸承故障診斷精度Tab.1 The accuracy of bearing fault diagnosis by different feature subsets

由表1可以看出，在軸承故障診斷中，本文所提出的基于多尺度形態梯度和非負矩陣分解的特征子集取得了比傳統的統計特征參數更高的分類精度。

此外，形態學計算只涉及簡單的加減運算，非負矩陣分解技術采用乘性迭代規則也能夠快速收斂，因此本文提出的信號處理與特征提取方法的計算代價可滿足實際的工程需要。

4 結論

(1)自適應多尺度形態梯度綜合利用小尺度下能保留信號細節和大尺度下抑制噪聲能力強的優點，能夠最有效的保留信號中的沖擊特征信息同時抑制噪聲;在軸承故障信號中的應用表明自適應多尺度形態梯度能夠在強噪聲背景下有效地提取振動信號中能夠反映軸承故障狀態的沖擊特征;

(2)在自適應多尺度形態梯度對軸承振動信號處理的基礎上，采用非負矩陣分解技術對信號進行特征參數提取，實際的故障診斷結果表明，與傳統的信號處理與特征提取技術相比，本文提出的基于自適應多尺度形態梯度與非負矩陣分解的特征參數具有更高的分類精度。

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