顧及大地高誤差的空間三維坐標系統轉換*

陶葉青 張 生 楊 娟

1)宿州學院煤礦勘探工程技術研究中心，宿州 234000

2)中國礦業大學環境與測繪學院，徐州 221008

顧及大地高誤差的空間三維坐標系統轉換*

陶葉青1，2)張 生1)楊 娟1)

1)宿州學院煤礦勘探工程技術研究中心，宿州 234000

2)中國礦業大學環境與測繪學院，徐州 221008

在參心坐標系向地心坐標系轉換的過程中，由于控制點在參心坐標系中缺乏高精度的大地高，使得控制點在參心坐標系中的空間三維直角坐標存在誤差，對轉換結果有一定的影響，而應用最小二乘準則建立的空間轉換模型沒有顧及這一影響。對應用總體最小二乘建立空間轉換模型實現坐標系統轉換的方法進行了探討，并用已知數據分別對總體最小二乘(TLS)與最小二乘(LS)算法實現坐標系統轉換做出比較，結果顯示，前者計算精度高、求解更合理。

大地高;總體最小二乘;最小二乘;坐標系統轉換;高斯-馬爾科夫模型

1 引言

目前，我國使用的坐標系有參心坐標系(北京54、西安80)與地心坐標系(CGCS2000)，坐標系統轉換主要面對的是應用傳統光學觀測方法建立的二維參心坐標系向用GNSS方法建立的三維地心坐標系間的轉換。為實現坐標系統之間的轉換，通常借助平面轉換模型［1］或三維空間轉換模型［2］。轉換模型參數通過控制點在兩套坐標系統中的坐標值進行求解，當控制點數目大于必要觀測數時，則應用最小二乘方法(LS)建立高斯-馬爾科夫模型(G-M，Gauss-Markov)求解模型參數。

G-M模型求解轉換參數的前提是控制點在原坐標系統中的坐標沒有觀測誤差，將控制點在目標坐標系統中的坐標作為觀測量，求解模型參數。應用空間三維轉換模型時，由于控制點在參心坐標系中的大地高數值精度不高，導致控制點的空間三維直角坐標無法精確獲得［3］，控制點在原坐標系統中不可避免地含有誤差。根據最小二乘準則建立G-M模型無法顧及已知數據中含有的大地高誤差，獲得的模型參數精度不高。

總體最小二乘(TLS)能夠顧及變量中含有誤差(EIV，Error-In-Variables)的模型估計問題［4－7］，應用TLS準則實現坐標系的轉換，能夠同時對控制點在原坐標系統中大地高含有的誤差以及目標坐標系中的觀測誤差進行最小化的約束。與假設控制點在原坐標系坐標沒有誤差的最小二乘相比，根據總體最小二乘建立的模型能夠顧及控制點在目標坐標系與原坐標系中均含有的誤差對轉換結果的影響。

2 坐標轉換數學模型與方法

2.1 坐標轉換模型

空間三維坐標轉換常用七參數轉換模型［2］:

式中(X1，Y1，Z1)T與(X2，Y2，Z2)T分別為控制點在原坐標系與目標坐標系中的空間三維直角坐標，(X0，Y0，Z0)T為三個平移參數，(εX，εY，εZ)為三個旋轉參數，δμ為尺度參數。應用GNSS技術進行坐標系統的轉換，通常是在目標坐標系中的控制點上進行控制測量，獲得控制點在目標坐標系中的空間三維直角坐標(X2，Y2，Z2)T。

當控制點數目多于兩個時，將式(1)模型可表示為線性模型:

式(2)左邊為控制點在目標坐標系統中的坐標向量l，右邊第一項是以控制點在原坐標系中坐標做為參數的系數矩陣A，第二項為待求轉換參數變量矩陣x。

2.2 最小二乘(LS)求解模型參數

當觀測數目大于必要觀測數時，最小二乘求解轉換參數的前提是假設系數矩陣A沒有觀測誤差，即控制點在原坐標系統中的坐標沒有誤差。觀測向量l中含有偶然誤差V，V服從正態分布。利用最小二乘法，建立G-M模型求解轉換參數［8］:

式中σ20為變量的方差，P為觀測向量的權陣。以最小二乘準則

求得轉換參數，即變量矩陣x的解為:

進一步可獲得單位權方差與參數的協方差矩陣為:

式(6)中的r為多余觀測量。應用G-M模型求解轉換參數的前提是模型中的系數矩陣A沒有誤差。

2.3 總體最小二乘(TLS)求解模型參數

總體最小二乘能夠顧及式(3)中系數矩陣A含有的觀測誤差，求解待估參數。設系數矩陣A含有的誤差矩陣為b，建立模型:

式中vecb代表將系數矩陣的觀測A誤差矩陣b按列向量化，等權總體最小二乘的估計準則為:

應用TLS求解轉換參數時，通常采用奇異值分解(SVD，Singular Value Decomposition)的方法求解［9］。對增廣矩陣［A，l］進行奇異值分解:

式中 U=［u1，u2，…，un］∈Rn×n是n×n階正交矩陣，由［A，l］×［A，l］T的特征向量組成;V=［v1，v2，…，vn］∈R(m+1)×(m+1)是(m+1)× (m+1)階正交矩陣，由［A，l］T×［A，l］的特征向量組成;∑ =diag［σ1，σ2，…，σm+1］為n× (m+1)階的對角矩陣，對角線上的元素為奇異值，非對角線上的元素為0［10］。

為了應用TLS求得的轉換參數x使目標函數式(9)最小，將式(8)改寫成:

3 轉換步驟與算例

3.1 轉換步驟

應用GNSS技術改造、建設國家或地方參心坐標系控制網時，將參心坐標系的控制點坐標轉換為地心坐標系的三維空間直角坐標，應用總體最小二乘(TLS)，結合轉換模型式(1)進行坐標系的轉換。轉換步驟如下:

1)首先將參心坐標系的二維坐標(平面坐標或大地坐標)轉換為空間三維直角坐標［11］;

2)應用GNSS技術進行控制測量，獲得控制點在地心坐標系中的空間三維直角坐標或者控制點間的基線向量;

3)結合式(2)、(8)建立誤差方程，根據式(10)～(12)求得轉換參數的TLS解，實現坐標系轉換;

4)根據式(14)與式(15)對轉換結果進行精度評定。

3.2 算例

利用已知數據分別在最小二乘與總體最小二乘準則下建立G-M模型，已知點在WGS-84坐標系下的空間三維直角坐標與北京54坐標系下的大地坐標見表1［11］，LS與TLS求解模型轉換參數的結果與精度見表2。

由表2可得，用最小二乘與總體最小二乘求解模型參數的數值相差不大，TLS計算得到的單位權中誤差數值較小。這說明與無法顧及控制點在原坐標系統中的坐標誤差的最小二乘算法建立的G-M模型相比，根據TLS建立的模型求解轉換參數更加科學、合理。

表1 控制點在不同坐標系下的坐標Tab.1 Coordinates of control points in different coordinate systems

表2 LS與TLS求解轉換參數與精度評定Tab.2 Solving parameters and the accuracy estimation of LS and TLS

4 結論

1)結合LS、TLS，給出適合我國參心坐標系與地心坐標系間轉換的空間三維直角坐標轉換方法。

2)應用TLS建立的模型由于顧及了控制點在參心坐標系中的大地高誤差，求解轉換模型的參數以及中誤差比應用LS方法計算結果精度高，求解更合理。

3)在求解模型參數時，將控制點在原坐標系統與目標坐標系統中的坐標當作等精度處理，沒有顧及控制點間的坐標精度也是不等的現實，這需要在以后的研究工作中解決。

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2 劉大杰、施一民、過靜珺.全球定位系統的原理與數據處理［M］.上海:同濟大學出版社，1996.(Liu Dajie，Shi Yiming and Guo Jingjun.Principle and data processing of GPS［M］.Shanghai:Tongji University Press，1996)

3 施一民.現代大地控制測量［M］.北京:測繪出版社，2003.(Shi Yiming.Geodesy and control survey［M］.Beijing:Surveying and Mapping Press，2003)

4 Felus Y A and Schaffrin B.Performinng similarity transformations using the error-in-variables model［R］.ASPRS 2005 Annual Conference Baltimore，Maryland，2005.

5 De Groen P.An introduction to total least squares［M］.Niew Archiefvoor Wiskunde，Vierde serie deel，14，1996.

6 Van Huffel S and V andeualle J.The total least squares problem［J］.Computational Aspects and Analysis，Frontiers in Applied，Mathematics，SIAM，Philadelphia，1991，9:34 －35.

7 Schaffrin B.A note on constrained total least-squares estimation［J］.Linear A lgebra and Its Applications，2006，65(3):141－168.

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11 謝鳴宇、姚宜斌.三維空間與二維空間七參數轉換參數求解新方法［J］.大地測量與地球動力學，2008，(2):104－109.(Xie Mingyu and Yao Yibin.A new method for solution of seven-parameter transformation between 3D and 2D spaces［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2008，(2):104－109)

3D SPACE COORDINATE SYSTEM TRANSFORMATION CONSIDERING GEODETIC ELEVATION ERROR

Tao Yeqing1，2)，Zhang Sheng1)and Yang Juan1)
1)Engineering Research Center of Coal Mining Exploration，Suzhou University，Suzhou230000
2)School of Environment Science and Spatial Informatics，China University of Mining
and Technology，Xuzhou221008

In the transformation from national reference-ellipsoid-centric coordinate to national geocentric coordinate，the lack of precise geodetic elevation of control points in reference-ellipsoid-centric coordinate makes the rectangular space coordinates of control points contain error.And this factor has an impact on final conversion accuracy.Up to late the 3D space coordinate model based on least squares has not taken into account the influence.In this paper，we discuss the method of 3D space coordinate transformation based on total least squares，besides，compare the methods of coordinate transformation based on total least squares and least squares used known data.The result shows that the accuracy of the former is better than the later.

geodetic elevation;total least squares(TLS);least squares(LS);coordinate system transformation;Gauss-Markov model

P221

A

1671-5942(2013)04-0096-04

2012-11-18

國家自然科學基金(41074010);安徽省煤礦勘探工程技術研究中心開題課題(2012YKF11;2013YKF03)

陶葉青，男，1984年生，助教，博士研究生，主要研究方向:GNSS導航與測量數據處理.E－mail:yenneytao@163.com