基于動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)脑诰€LS-SVM逆控制

頡 炯

（天水電氣傳動(dòng)研究所有限責(zé)任公司，甘肅天水 741020）

1 引言

由于實(shí)際系統(tǒng)中總是存在參數(shù)的變化和外界干擾，這些不確定項(xiàng)的存在會(huì)對(duì)實(shí)際的控制系統(tǒng)產(chǎn)生影響，有時(shí)甚至?xí)箍刂葡到y(tǒng)發(fā)散，因此設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)要考慮其魯棒性［1］。

直接逆模型控制［2-3］是一種簡(jiǎn)單有效的控制器設(shè)計(jì)方法，使用被控對(duì)象傳遞函數(shù)的逆模型作為串行控制器來(lái)開環(huán)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。文獻(xiàn)［2］采用最小二乘支持向量機(jī)(Least Square Support Vector Machine,LS-SVM)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行逆建模，將逆模型作為串行控制器對(duì)被控系統(tǒng)進(jìn)行開環(huán)控制，并對(duì)幾種典型信號(hào)進(jìn)行了跟蹤仿真，但文中未考慮系統(tǒng)的參數(shù)變化和外界干擾。文獻(xiàn)［3］針對(duì)開環(huán)逆控制，在核函數(shù)為L(zhǎng)ipschitz的條件下，證明了LS-SVM逆控制器是有限增益穩(wěn)定的，但文中也未涉及到系統(tǒng)發(fā)生參數(shù)變化和存在外界干擾時(shí)的穩(wěn)定性問題。因此當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化和存在外界干擾時(shí)如何提高直接逆控制器的魯棒性以及如何盡可能準(zhǔn)確地構(gòu)造被控對(duì)象的逆模型成為直接逆控制需要解決的關(guān)鍵問題。支持向量機(jī)是一種基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，可以逼近任意一類非線性函數(shù)。而最小二乘支持向量機(jī)是采用二次規(guī)劃方法解決函數(shù)估計(jì)問題的方法。該方法計(jì)算簡(jiǎn)單，收斂速度快，精度高，在函數(shù)估計(jì)和控制中得到廣泛應(yīng)用［4-8］，為逆系統(tǒng)控制方法中構(gòu)造逆系統(tǒng)模型提供了理論依據(jù)。

基于此本文引入LS-SVM離線建立被控系統(tǒng)的逆建模，并借助無(wú)模型自適應(yīng)控制思想［9-10］，設(shè)計(jì)一個(gè)補(bǔ)償控制器，作為系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)的逆模型控制的補(bǔ)償控制，同時(shí)引入系統(tǒng)控制誤差ε不敏感函數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)控制誤差超出不敏感區(qū)域時(shí)，利用增量算法對(duì)逆模型進(jìn)行在線修正，提高控制精度。仿真結(jié)果表明文中所提方法能有效地增強(qiáng)控制器的魯棒性和控制精度。

2 最小二乘支持向量機(jī)

2.1 批量LS-SVM函數(shù)估計(jì)算法

其中：w為權(quán)向量，β為偏移量。

在LS-SVM中，目標(biāo)函數(shù)描述為：

式中：J為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；γ為正則化參數(shù)；ek為誤差變量。

約束條件yk＝wT·φ（xk）+β+ek（k＝1，2…N），定義拉格朗日函數(shù)為：

式中：αk為拉格朗日乘子，根據(jù)Karush-Kuhn-Tucker（KKT）最優(yōu)條件［7］：

從而求解的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組問題

式中：α＝［α1，…，αN］T，1＝［1，…，1］T，y＝［y1，… yN］T，I為N×N辨識(shí)矩陣，Ω為核矩陣，Ωij＝K（xi，yj），K為定義的核函數(shù)。

將式（4）簡(jiǎn)化為：

選擇滿足Mercer條件的核函數(shù)

本文中核函數(shù)選取徑向基函數(shù)

式中：σ為一正的實(shí)常數(shù),表示核寬度。

非線性回歸函數(shù)就可以表示為：

2.2 LS-SVM增量算法

令（xN+1，yN+1）為一組新的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，由式（5）得原模型與新模型的增量關(guān)系為：

式中：

其中：c＝γ-1+φN+1φN+1a ＝［1 φ1φN+1φ2φN+1… φNφN+1］

由矩陣逆定理可得：

式（8）可減少求解大規(guī)模逆矩陣的時(shí)間。

3 基于動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)脑诰€LS-SVM逆控制

3.1 LS-SVM逆控制

考慮SISO非線性離散系統(tǒng)

y（k+1）＝f［y（k），…，y（k-n），u（k），…，u（k-m）］（9）式中：u（k）、y（k）分別為輸入、輸出量，則 u（k）的顯示表達(dá)式為：

令參考輸入φ（k）＝y(tǒng)（k+1），則式（10）可以表示為：

由于式（10）在工程實(shí)際中常常難以確切描述,本文擬采用LS-SVM逼近系統(tǒng)（9）的逆模型，即式（11）的逼近式。可以表示為：

其中 u-＝［u（k-1），u（k-2），…，u（k-m）］

y-＝［y（k-1），y（k-2），…，y（k-n）］

y+＝［y（k+1），y（k）］

通過LS-SVM學(xué)習(xí)，利用已知數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)的逆模型，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 基于LS-SVM的逆模型

3.2 無(wú)模型自適應(yīng)控制方法

無(wú)模型自適應(yīng)控制方法（MFAC）中控制器的設(shè)計(jì)不需要受控過程的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)及辯識(shí)過程，不需要針對(duì)某個(gè)特定的受控對(duì)象進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，也無(wú)需對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行復(fù)雜的人工整定，并且有一定的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析來(lái)保證系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定。

本文將MFAC用于在線LS-SVM逆控制的補(bǔ)償控制，用以克服實(shí)際系統(tǒng)中時(shí)變參數(shù)攝動(dòng)或不確定。

以下給出非線性系統(tǒng)（9）基于緊格式線性化的MFAC控制方案［9］：

其中pk、ηk為步長(zhǎng)序列，且pk，ηk∈（0，2）。（k）為基于緊格式線性化的偽偏導(dǎo)數(shù)μ為關(guān)于參數(shù)估計(jì)變化量的懲罰因子；λ為權(quán)重因子，作用是限制Δu（k）；ε為一個(gè)充分小的正數(shù)的初值；r（k）為參考軌跡。

從上述控制方案可以看出MFAC方法不包含系統(tǒng)辯識(shí)這個(gè)環(huán)節(jié)，僅用受控系統(tǒng)的I/O數(shù)據(jù)，與受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和階數(shù)無(wú)關(guān)，而且MFAC算法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小。

3.3 基于動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)脑诰€LS-SVM逆控制

由于參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾的存在，可能會(huì)導(dǎo)致控制系統(tǒng)性能下降，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此設(shè)計(jì)一個(gè)補(bǔ)償控制器uc（k）來(lái)改善控制系統(tǒng)的性能，修正的控制器為：

其中：um（k）為基于標(biāo)稱系統(tǒng)所設(shè)計(jì)的控制器。

在線LS-SVM逆控制即在標(biāo)稱系統(tǒng)下所設(shè)計(jì)的，式（12）是在標(biāo)稱情況下通過訓(xùn)練得出的，也可表示為：

因?yàn)镸FAC方法不包含系統(tǒng)辯識(shí)部分，僅用受控系統(tǒng)的I/O數(shù)據(jù)，而且MFAC算法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，所以本文中的補(bǔ)償控制器uc（k）借助MFAC算法來(lái)實(shí)現(xiàn)。將MFAC改進(jìn)用于動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)乃惴ㄈ缦拢?/p>

考慮到系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)變攝動(dòng)，將系統(tǒng)實(shí)際輸出與參考輸入的誤差作為控制性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，引入控制誤差ε不敏感函數(shù)，利用增量算法對(duì)逆模型進(jìn)行在線學(xué)習(xí)，減小計(jì)算的復(fù)雜度，提高實(shí)時(shí)控制性能和精度，同時(shí)提高控制器的魯棒性。基于動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)脑诰€LS-SVM逆控制框圖如圖2所示。

圖2 基于動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)脑诰€LS-SVM逆控制框圖

根據(jù)離線逆控制器的設(shè)計(jì)，基于系統(tǒng)控制誤差的ε不敏感函數(shù)的增量算法，實(shí)現(xiàn)在線訓(xùn)練步驟如下。

步驟1初始化在線模型，即利用已知數(shù)據(jù)訓(xùn)練得到被控系統(tǒng)的離線逆模型。

步驟2設(shè)r（k+1）為下一時(shí)刻的參考輸入，由式（15）可得被控對(duì)象的控制量u（k）。由被控對(duì)象實(shí)際輸出y（k+1）和參考輸入r（k+1）得系統(tǒng)控制誤差：

步驟3根據(jù)不敏感函數(shù)確定系統(tǒng)控制誤差

步驟5 由式（6）和式（7）可得到在線模型參數(shù)αN+1更新逆模型，并作為下一時(shí)刻的初始化模型。返回步驟2。

4 仿真研究

考慮如下非線性離散系統(tǒng)

其中：a、b、c均為0.3；d（k）為外界干擾。假設(shè)系統(tǒng)的參考軌跡為：

4.1 逆系統(tǒng)模型的建立

采用LS-SVM逆系統(tǒng)建模方法對(duì)系統(tǒng)（19）離線建立其對(duì)應(yīng)的逆模型作為直接逆控制器，如圖3所示為L(zhǎng)S-SVM逆模型辨識(shí)仿真曲線。從圖3可知，LS-SVM能很好地逼近逆系統(tǒng)。

圖3 LS-SVM逆模型辨識(shí)

4.2 在線LS-SVM逆控制器和補(bǔ)償控制器的設(shè)計(jì)

為充分激勵(lì)被控系統(tǒng)，控制量u取幅值為2.0的正弦信號(hào)，采集300組數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)逆模型的建立，用交叉驗(yàn)證方法選取模型參數(shù)。將離線建好的逆模型作為逆控制器（式16）串聯(lián)在被控系統(tǒng)的前面，將系統(tǒng)實(shí)際輸出與參考輸入的誤差作為控制性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，引入控制誤差ε不敏感函數(shù)，即當(dāng)系統(tǒng)誤差超出不敏感區(qū)域時(shí)，利用LSSVM增量算法對(duì)逆模型進(jìn)行在線修正，保證系統(tǒng)的控制精度。

補(bǔ)償控制器中參數(shù)的設(shè)計(jì)如下，設(shè)置步長(zhǎng)序列pk＝1.9，ηk＝1.9，參數(shù)估計(jì)變化量的懲罰因子μ＝1，權(quán)重因子λ＝2。

（1）當(dāng)采用文獻(xiàn)［2］中的控制方法時(shí)，在系統(tǒng)沒有受到參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾時(shí)，對(duì)設(shè)定曲線有很好的跟蹤效果，而在t＞5.0s時(shí)，參數(shù)a由0.3變到0.6，輸出響應(yīng)已經(jīng)不能跟蹤設(shè)定曲線，仿真圖如圖4所示。

圖4 LS-SVM直接逆控制效果

圖5 動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)腖S-SVM逆控制效果

圖6 動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)脑诰€LS-SVM逆控制效果

（2）當(dāng)采用動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)腖S-SVM逆控制方法時(shí)，在 t＞5.0s時(shí)，數(shù)a由0.3變到0.6，系統(tǒng)響應(yīng)曲線只出現(xiàn)微小的抖動(dòng)；在t＞10.0s時(shí)，受到外界強(qiáng)干擾d＝0.2時(shí)，系統(tǒng)仍能保持很好的跟蹤效果；在t＞15.0s時(shí)，發(fā)生a＝0.3cos（0.5πt）的時(shí)變攝動(dòng)時(shí)，仍具有較好的跟蹤效果，仿真圖如圖5所示。

（3）本文采用基于動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)脑诰€LS-SVM逆控制方法，當(dāng)出現(xiàn)（2）中同樣情形時(shí)，控制效果更優(yōu)于（2）中的控制效果，其仿真圖如圖6所示。

由仿真圖4-6可以看出，本文所提出的方法在參數(shù)發(fā)生快時(shí)變攝動(dòng)和受到時(shí)變強(qiáng)干擾時(shí)對(duì)設(shè)定曲線仍然有理想的跟蹤效果，提高了控制器的魯棒性和系統(tǒng)跟蹤精度。

［1］楊志峰，雷虎民，董飛垚.基于LS-SVM的導(dǎo)彈在線誤差補(bǔ)償逆控制［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010，6（32）：1314-1317.

［2］胡良謀，曹克強(qiáng)，李小剛.基于LS-SVM的非線性系統(tǒng)直接逆模型控制［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2010，13（13）：1553-1556.

［3］劉陸洲，肖 建.基于支持向量機(jī)的逆控制及穩(wěn)定性分析［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2008，11（28）：2978-2980.

［4］劉 涵，劉 丁.基于支持向量機(jī)的一類混沌系統(tǒng)自適應(yīng)逆控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2007，5（24）：761-765.

［5］楊 濱，楊曉偉，黃 嵐.自適應(yīng)迭代最小二乘支持向量機(jī)回歸算法［J］.電子學(xué)報(bào)，2007，22（10）：1170-1176.

［6］宋夫華，李 平.基于支持向量機(jī)α.階逆系統(tǒng)方法的非線性內(nèi)模控制［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2007，33（7）：778-781.

［7］Suykens J A K，Vandewalle J.Least Squares Support Vector MachineClassifiers［J］.Neural Processing letters，1999，9（3）：293-300.

［8］LI Li-Juan，SU Hong-Ye，CHU Jian.Generalized Predictive Control with Online Least Squares Support Vector Machines［J］.ActaAutomaticSinica.，2007，11（33）：1182-1188.

［9］侯忠生.非參數(shù)模型及其自適應(yīng)控制理論［M］.北京：科學(xué)出版社，1999.

［10］侯忠生，許建新.數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制理論及方法的回顧和展望［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2009，35（6）：650-667.