打點計時器測加速度——你錯了嗎

◆簡增珂

打點計時器分為電磁打點計時器和電火花打點計時器，是學生進入高中學習階段在物理學科所接觸的第一個測量工具。用打點計時器測加速度是高中物理的一個重要實驗，對培養學生科學的認知態度、良好的動手實驗操作能力、嚴謹的數學運算能力以及合作學習等方面意義重大。無論是在歷年高考中，還是在各地市模擬或檢測中，它都占有重要的一席之地。然而，筆者綜觀當前的教學思路和題目設計的方法，卻發現一個問題，那就是錯誤地把“加速度的平均值”當作“加速度”，錯誤地把“一次測量”當作“多次測量”，從而錯誤地用“多次測量求平均值”的方法計算實驗小車的加速度。

以下是筆者對這個問題的分析。

1 傳統的實驗方法

1.1 實驗目的

1）練習使用打點計時器；2）測平均速度；3）測瞬時速度；4）測小車運動的加速度。

1.2 實驗原理

瞬時速度：對于勻變速直線運動，平均速度等于中間時刻的瞬時速度，。

加速度：在勻變速直線運動中，速度的變化量和所用時間的比值，（定義法）；(逐差法)。在v-t圖像中，圖線的斜率表示加速度。

1.3 實驗器材

打點計時器（電磁打點計時器或電火花打點計時器）、紙帶、實驗用小車、一端固定有定滑輪的長木板、鉤碼、細線、電源（學生電源或生活用電）、導線、刻度尺。

1.4 實驗步驟

在小車的后面固定一條紙帶，打點計時器固定在長木板沒有滑輪的一側，紙帶穿過打點計時器的限位孔，用鉤碼拉動小車在長木板上做加速運動，打點計時器就會在紙帶上打出一系列點，這些點就記錄了小車的運動情況。換上新紙帶，重復操作幾次。

1.5 數據處理

從多條紙帶當中選擇一條用來分析小車的運動，先判斷小車是否做勻變速直線運動，然后計算小車的加速度。

1）判斷小車是否做勻變速直線運動。如圖1所示，把紙帶按計數點分段做標記，可采用分段求加速度的方法進行比較。如果用加速度的定義式計算加速度，需要首先計算瞬時速度，這種方法不僅需要進行測量，還要進行多次運算，相對比較麻煩。另一種方法是采用逐項差值法。先測量各計數點之間的距離x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8，然后 算 出 差 值：Δx1=x2-x1，Δx2=x3-x2，Δx3=x4-x3，Δx4=x5-x4，Δx5=x6-x5，Δx6=x7-x6，Δx7=x8-x7。如果各差值在誤差允許的范圍內相等，就可以判斷小車做勻變速直線運動。

圖1

2）計算小車的加速度。針對所選出的一條紙帶，人們往往從減小誤差和充分利用測量數據的角度去計算加速度，因此，在差值判斷的基礎上大多采用逐差法或圖像法。

關于逐差法，各類期刊、報紙、教輔資料爭議頗多，由逐項逐差法又派生出多項間隔逐差法或者更復雜的逐差法。

為了減小偶然誤差，對所求出的多個加速度求平均值，則：

同樣，為了減小偶然誤差，對所求的多個加速度求平均值，則：。

③圖像法。首先把各時段求出的每一段的平均速度作為中間時刻的瞬時速度：。然后在v-t圖像中進行描點。最后用一條直線進行“擬合”，使各點均勻分布在直線上或者分布在直線的兩側，計算直線的斜率求加速度。

從理論上來看，筆者認為以上三種求加速度的方法都是錯誤的。

2 傳統實驗存在的錯誤

傳統實驗的方法錯在哪兒呢？這要從加速度的定義說起。加速度是描述物體速度變化快慢的物理量，是物體速度的變化量與所用時間的比值。也就是說，加速度是對應某一個特定時間段而言的，當時間趨于無窮小時就是瞬時加速度。一般情況下所說的加速度，是指平均加速度。在理想的勻變速運動中，瞬時加速度與整個運動過程的加速度是一致的。

圖2

在本實驗中，無論是用各段的差值求加速度，還是用各段初末瞬時速度作圖求加速度，由于偶然誤差的原因，各段所求的數值可能存在差異。這時，人們自然會想到用多次測量求平均值的方法來減小偶然誤差。問題就出現在這兒。

首先，從加速度的物理意義可以知道，“加速度的平均值”不等同于“平均加速度”。對于某一個運動過程，可以分不同的時間段求加速度a1、a2、a3…an，但是每一個加速度只對相應的時間段有物理意義。也就是說，加速度與時間段是一一對應的關系。對一個運動過程而言，不同時段“加速度的平均值”只是一個數學問題，只能表示不同幾次分別求密度就叫做多次測量；因為每一次的測量會存在誤差，所以通過多次測量求平均值可以減小偶然誤差，該平均值就是這根胡蘿卜實驗測量的密度。但是，如果把一根胡蘿卜等長度切成幾段，測每一段的質量和體積計算密度，就屬于不同的測量，每一段胡蘿卜密度的不同可以稱之為“差異”而不能稱之為“誤差”。

所謂“多次測量”，意味著針對同一個需要測量的物理量重復實驗操作。打點計時器是一種特殊的測量工具，能同時記錄運動物體的“時間—空間”信息，每打一條紙帶只對應一次實驗操作，是對物體運動的一次測量。一個過程中的不同時段會存在“差異”而不是存在“誤差”。

從另一方面，應該全面綜合考慮運動過程中出現的各種偶然因素，用發展的眼光看待這些偶然因素產生的影響，不能片面地認為這一段的誤差偏大而那一段的誤差偏小。

下面，筆者從整體的角度來分析小車的運動。

小車在整個運動過程中不可避免地會出現這樣或者那樣的偶然因素，而小車最終的運動狀態就是包含這些偶然因素的必然結果。從混沌學的角度來看，一個偶然因素產生的影響會持續到事件發展的結尾，也就是說，后面的偶然因素包含前面的偶然因素產生的影響，整個運動過程是“雞生蛋，蛋生雞……”的一個有機的整體。在小車的運動過程中，某一個偶然因素產生了影響，則小車的運動因此會發生一些變化，不管是經過多長時間，小車的運動都是在這個變化的前提下進行的；反之，這個偶然因素顯然也是因為之前的其他的偶然因素產生的變化所造成的。所以，小車時間段的加速度大小上存在差異，有的比平均值大，有的比平均值小。對整個運動過程而言，只有它的數學意義而沒有實際的物理意義。

圖3

為了方便理解，先以速度這個物理量舉例：一只小螞蟻從一根細竹竿一端爬到另一端，已知小螞蟻爬過每一節竹竿所用的時間，求小螞蟻爬行的速度。從速度的定義可知，用小螞蟻通過的總位移和所用總時間的比值就可以求出這個速度。那么，能不能先對小螞蟻爬過每一節竹竿求速度，再用取平均值的方法求小螞蟻的速度呢？當然不能。同理，用不同時段的幾個加速度求平均，顯然不能等效替代整個運動過程的加速度。

其次，這些加速度是“多次測量”的數據嗎？不是。這些加速度只是對小車加速度一次測量中的分時段求值而已，應該屬于不同的測量。再舉個簡單的例子：測一根胡蘿卜的密度，每測一組質量和體積就能計算一次密度，多測最終的運動狀態本身就是一個個誤差累積作用的結果，已經不能孤立地看待整個運動過程中某一段運動的誤差。既然整個過程中的各種誤差本身已經累積作用，再試圖通過分段取平均來減小誤差，顯然是毫無道理可言的。

“開弓沒有回頭箭”，可以分段分析“一支箭”在不同時段運動的差異，但絕不能用某一段的運動代替“一支箭”運動的“全部”。

3 正確的實驗思路

正確地用打點計時器測加速度的實驗操作步驟和傳統實驗是相同的，只是在計算加速度的數據處理上有所不同。

3.1 若只用一條紙帶測加速度

由前面的分析可知，如果只用一條紙帶，則只是對小車的加速度進行了一次測量，只能整體計算出一個加速度。可以選用紙帶兩個遠端各取兩個計數點求加速度，這個加速度就是小車實際物理意義上的加速度。

2）用間隔差值法求加速度：

由以上推導可知，間隔差值法實質上也是定義法。對比以上兩種方法可以看出，如果選用定義法，實驗中所直接測量的數據先參與商值運算求瞬時速度，再參與差值運算求速度的變化量，最后參與商值運算求加速度，由于保留位數和有效數字的原因，誤差會不斷增大。如果選用間隔差值法，所測數據先參與差值運算求位移差，再參與商值運算求加速度。因此，從減小計算所產生的誤差來說，推薦使用間隔差值法。

3.2 若用多條紙帶測加速度

如果用打點計時器進行多次實驗操作，選擇多條紙帶，則每條紙帶可以分別求一個加速度，最后求和取平均值：。

總之，應該全面地看待事物發展的規律，科學地認識加速度的物理實質，充分理解打點計時器這一測量工具的測量原理，只有這樣才能真正體現本實驗的意義和價值。