基于Hermite插值的高精度數值積分公式

龍愛芳，胡軍浩

（中南民族大學 數學與統計學學院，湖北 武漢430074）

隨著科學的進步，計算機技術的發展，很多領域涉及到定積分的計算，因此研究高精度的數值積分公式是有實際意義的.數值積分常見的有梯形公式和Simpson公式，它們的計算雖無需提供導數值，但代數精度不高.梯形公式有一次代數精度，Simpson公式有3次代數精度［1-6］.文獻［7-8］雖給出一個高精度的數值求積公式，但必須提供求積節點的一階導數值.文獻［9］給出了Newton-cotes求積公式的漸近性，雖可大大提高數值求積公式的代數精度，但同樣必須提供n+1階導數值，文獻［10］的求積公式沒有承襲性.本文從Hermite插值多項式出發，構造了具有誤差量級為O（h5），且不需要計算導數值，只需要提供求積節點函數值的高精度數值求積公式.

1 高精度數值求積公式

1.1 Hermite插值多項式的構造

構造滿足插值條件f（xk）＝p（xk），f（xk+1）＝p（xk+1），f′（xk）＝p′（xk），f′（xk+1）＝p′（xk+1）次數不超過3的Hermite插值多項式的p（x）.即

上式中：αk（x），αk+1（x），βk（x），βk+1（x）為插值基函數，它們分別滿足

αk（x），αk+1（x），βk（x），βk+1（x）的表達式分別為

其中：h＝xk+1-xk.

構造的插值多項式余項表達式為

式（1）中：ξ在xk與xk+1之間，并且與x有關.

1.2 數值求積公式的構造

對式（1）兩邊求積分，應用廣義積分中值定理，可得到積分中值定理.

定理1 設函數f（x）在區間［x，xk+1］有4階連續導函數，則

成立，η在xk與xk+1之間.

由式（2）得到帶有一階導數的數值求積分公式，即

由式（2）可知，數值求積公式（3）具有3次代數精度.在式（2）中，令xk＝a，xk+1＝x，則有

為了提高數值求積公式的代數精度，分析定理1中間點η的漸近性，則可得到定理2.

證明 令

應用3次洛必達法可得

應用式（4）可得

應用式（5），（6）可得

由式（7），可得到具有5次代數精度的第2個數值求積公式，記為

應用復化求積得

為了避免求導數，對上式的數值求積公式進行修正，應用公式

得到只需計算求積節點函數值，無須提供求積節點導數值的兩個數值求積公式，分別為

公式（9），（10）的誤差量級分別為O（h4），O（h5）.

2 數值試驗

應用梯形公式、求積公式（3），（8）計算，計算結果如表1所示.應用復化梯形公式、求積公式（9），（10）計算，計算結果如表2所示.

表1 梯形公式、求積公式（3），（8）的計算結果Tab.1 Numerical experiment of trapeziod formula and formula（3），（8）

表2 復化梯形公式，求積公式（9），（10）的計算結果Tab.2 Numerical experiment of compound trapeziod formula and formula（9），（10）

從計算結果看，公式（3）與公式（8）比梯形公式的精度高很多，但必須提供一階導數或四階導數；而公式（9）和公式（10），卻不用計算導數，計算的節點函數值的個數與復化梯形公式一樣.因此，計算量與復化梯形公式相當.復化梯形公式的誤差量級為O（h2），而公式（9）的誤差量級為O（h4），公式（10）的誤差量級為O（h5）.因此，公式（9）和公式（10）是非常有效的，無須計算導數的兩個數值積分公式.

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