一種改進的粒子濾波算法

倪春光

(91388部隊，廣東 湛江524022)

0 引言

對于非線性系統狀態估計問題，當噪聲是高斯時，傳統的解決方法是擴展卡爾曼濾波 (EKF)和無跡卡爾曼濾波 (UKF)。當噪聲是非高斯時，人們提出了粒子濾波 (PF)、無跡粒子濾波 (UPF)等。PF是一種基于蒙特卡羅方法的貝葉斯狀態估計算法，通過一組歸一化權值的粒子來近似表示后驗概率密度，其建議分布是先驗概率密度，具有計算簡潔的特點，但由于其建議分布沒有包含新的測量信息，其粒子的使用效率不高。而UPF采用UKF來計算建議分布，其中UKF對高斯隨機變量的均值和方差可以精確到三階，并結合新的測量信息，可以使建議分布更好地逼近后驗概率密度，但是運算量很大。

本文提出一種新的粒子濾波 (MUPF)，與傳統的UPF相比，它介紹了一種輔助模型并且利用輔助模型和UKF來產生粒子的建議分布，從而提高計算的精確度。

1 粒子濾波

1.1 貝葉斯估計原理

假定動態時變系統可描述為

系統方程:

量測方程:

若已知狀態的初始概率密度函數p(x0|y0)=p(x0)，則狀態預測方程和狀態更新方程分別為

其中 p(yk|y0:k－1)=∫p(yk|xk)p(xk|y0:k－1)dxk，由于其積分的復雜貝葉斯遞歸濾波很難實現，如果系統為高斯線性空間模型，可以通過卡爾曼濾波得到最優的狀態估計。對于非高斯非線性系統，如何快速計算積分是研究濾波算法的核心問題。

1.2 粒子濾波算法

當無法從后驗分布p(x0:k|y0:k)中直接采樣時，可以找一個容易采樣的密度分布函數q(x0:k|y0:k)(建議分布)中采樣。

令w(x0:k)為重要性權值:

對任何可積函數的期望可以近似為

PF的實現步驟如下:

1)初始化k=0

2)計算重要性權值

粒子權值更新方程:

3)歸一化重要性權值

4)重采樣

5)返回狀態估計值

隨著迭代次數的增加，重要性權值的分布變得越來越傾斜，有可能出現粒子匱乏現象，為了避免粒子匱乏，Goden等提出了重采樣方法，其主要思想就是去掉那些權值小的粒子，復制權值大的粒子。

2 UPF原理

3 一種新的UPF濾波算法

稱式(1)和式(2)為主模型，這里主要介紹一種輔助模型并使用UKF和它共同來產生建議分布。

3.1 輔助模型

定義輔助模型為

其中:mk為一個小方差高斯噪聲，觀測噪聲nk和式 (2)中的vk認為是一樣的。如果h(·)是線性的，nk是高斯噪聲，卡爾曼濾波就可以對rk進行最優估計。在實際環境中，h(·)往往是非線性的，可以使用UKF來對rk進行估計。

3.2 MUPF算法

MUPF的算法步驟如下:

1)初始化

2)重要性采樣

3)重要性權值

當i=2，…，N時，

歸一化權值

4)重采樣

4 仿真試驗

為了證明MUPF的性能，考慮一個非線性非高斯模型。

其中，w=4e-2，uk服從Gamma(3，2)分布，觀測噪聲vk服從高斯分布N(0，10-5)，目標的初始狀態x0=1，經過100次蒙特卡羅仿真，每次仿真時間是60 s，采樣間隔為1 s。1次獨立試驗的均方根誤差定義為

圖1表示MUPF使用20個粒子與其他濾波器對系統的狀態估計，圖2為采用EKF，UKF，PF，UPF及MUPF濾波算法對狀態估計的均方根誤差曲線圖。

表1給出了粒子數為20的時候，各個濾波器的RMSE。

表1 RMSE的均值和方差Tab.1 Mean value and variance of RMSE

5 結語

本文提出了一種新的粒子濾波算法 (MUPF)用來估計非線性非高斯系統的狀態。一般情況下，粒子濾波的主要問題是對建議分布的選擇，它很大程度上決定著濾波的性能。UPF通過UKF的一步預測來構建建議分布，由于UKF存在缺陷，使得建議分布不能與后驗概率密度得到很好的近似。MUPF通過使用輔助模型與UKF來構造建議分布，更好地逼近了后驗概率密度。仿真結果表明，新的粒子濾波算法使用很少的粒子就可以達到很高的精度。

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