數(shù)學(xué)艇型建模研究

劉明靜，李日杰，劉傳云

(中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北武漢430064)

0 引言

隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)在船舶設(shè)計(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用，用Bezier曲線、B樣條曲線來表達(dá)船體幾何外形的研究已取得很大進(jìn)展［2］。在Bezier曲線和B樣條曲線曲面的基礎(chǔ)上又開展了非均勻有理B樣條 (nonuniform rational B-spline，NURBS)表達(dá)物體幾何外形方法的研究［3］。1991年，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)組織 (ISO)還把NURBS作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何外形的唯一數(shù)學(xué)表達(dá)方法。于是，有人就把用Bezier曲線、B樣條及NURBS表達(dá)的船型稱為“數(shù)學(xué)船型［4］”。嚴(yán)格地說，這種需要用原始型值或中間控制點(diǎn)來進(jìn)行逼近，并應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行光順而得到的船型，并不能算作真正意義上的數(shù)學(xué)船型。

其原因在于以下3點(diǎn):一是基于原始型值或中間控制點(diǎn)用樣條函數(shù)進(jìn)行表達(dá)的船體外形設(shè)計(jì)，在原理上并沒有擺脫傳統(tǒng)的由人工干預(yù)型值或中間控制點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)本質(zhì)，設(shè)計(jì)出的船型性能好壞，在很大程度上仍依賴設(shè)計(jì)者掌握知識(shí)的多寡及設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)的豐富程度，很難得出優(yōu)良的船型;二是盡管可以用K×1次NURBS曲面函數(shù)來表達(dá)船體曲面［5］，但只是粗略地表達(dá)船 (艇)體幾何形狀的離散函數(shù)表達(dá)式，既不反映船 (艇)型參數(shù)，如主尺度、排水量、系數(shù)、浮心位置等對(duì)船體形狀的影響，也不便于自動(dòng)生成形狀各異的多方案船 (艇)型;三是僅是描述船體形狀的一個(gè)統(tǒng)一的離散表達(dá)式，要生成三維船型還需要借助計(jì)算機(jī)分別對(duì)各型線進(jìn)行擬和、光順，最終給出型線圖和型值表。由此可以看出，基于原始型值或中間控制點(diǎn)的船型并不是真正意義上的“數(shù)學(xué)船型”，只是一種采用逼近函數(shù)而得出的 “數(shù)值船型［6］”。

本文針對(duì)潛艇開展數(shù)學(xué)艇型研究，建立艇體三維曲面形狀函數(shù)［7］，并將SUBOFF的主要參數(shù)作為背景參數(shù)來擬合SUBOFF艇體曲線［8-9］，以驗(yàn)證本文所建立方法的有效性，從而為今后開展?jié)撏Э傮w方案自動(dòng)生成和優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。

1 數(shù)學(xué)潛艇線型表達(dá)推導(dǎo)

隨著潛艇的發(fā)展，現(xiàn)代潛艇的幾何外形多呈軸對(duì)稱的回轉(zhuǎn)體或非軸對(duì)稱的橢圓形柱體［10］。本文選擇軸對(duì)稱回轉(zhuǎn)體進(jìn)行推導(dǎo)。

1.1 具有平行中體的流線型回轉(zhuǎn)體的形狀特征

回轉(zhuǎn)體潛艇是軸對(duì)稱幾何體，其三維幾何形狀可用二維圖形來表達(dá)。二維圖形如圖1所示。由圖中可以看出其艇體的幾何形狀特征，具體如下:艇體分首進(jìn)流段、平行中體段和尾去流段3段，段長(zhǎng)分別用L1，L2，L3表示，總長(zhǎng)為L(zhǎng)=L1+L2+L3，直徑D=2R。各段的幾何形狀特征為:首端肥鈍，呈長(zhǎng)半軸為L(zhǎng)1的半個(gè)橢球體;平行中體段是半徑為R、長(zhǎng)度為L(zhǎng)2的圓柱體;尾去流段的長(zhǎng)度為L(zhǎng)3，尾部尖瘦，是剖面素線呈上拋的半拋物線。

圖1 帶平行中體的回轉(zhuǎn)體潛艇外形示意圖Fig.1 The revolution submarine with parallel

1.2 艇體形狀的數(shù)學(xué)描述

根據(jù)上述從尾到首由上拋物線、直線和半橢圓曲線構(gòu)成的二維平面曲線的幾何形狀特征，分段來構(gòu)造其數(shù)學(xué)表達(dá)式。圖1所示的二維平面曲線是1條半徑r(x)沿艇長(zhǎng)變化的平面曲線，應(yīng)用平面橢圓方程、上拋物線函數(shù)，這條半徑曲線R(x)應(yīng)滿足表1和表2的條件。

表1 半徑曲線的幾何性狀Tab.1 The geometrical properties of radius function r(x)

表2 半徑曲線的端邊條件Tab.2 Boundary condition of radius function r(x)

根據(jù)表1和表2，獲得的軸對(duì)稱回轉(zhuǎn)體半徑函數(shù)統(tǒng)一表示為:

其中:α1與α3為參變量，表征了首、尾段的豐滿程度，與艇體排水量▽及浮心縱向坐標(biāo)xc密切相關(guān)，也可以說參變量α1和α3與主尺度L，D，菱形系數(shù)Cp，中橫剖面系數(shù)CM以及浮心縱向坐標(biāo)位置xc密切相關(guān)。由于排水體積▽ =CpCMLBT(=CpCMLD2)(D=2R為艇的直徑)。不同的▽和xc將對(duì)應(yīng)不同的α1與α3;對(duì)給定的▽和xc來說，參變量α1和α3將是1對(duì)固定值。

系統(tǒng)進(jìn)行底層模塊的注冊(cè)時(shí)，智能節(jié)點(diǎn)首先廣播下發(fā)問詢數(shù)據(jù)包，各底層模塊接收后根據(jù)ID號(hào)延時(shí)反饋?zhàn)?cè)數(shù)據(jù)包，智能節(jié)點(diǎn)上發(fā)底層模塊注冊(cè)信息至監(jiān)控終端，等待用戶確認(rèn)底層模塊是否屬于該節(jié)點(diǎn)，用戶在監(jiān)控終端輸入底層模塊涂層的驗(yàn)證密碼進(jìn)行確認(rèn)。智能節(jié)點(diǎn)的Flash開辟了兩塊區(qū)域，對(duì)底層模塊的ID信息進(jìn)行存儲(chǔ)，用戶確認(rèn)的底層模塊屬于該智能節(jié)點(diǎn)，云服務(wù)器下發(fā)確認(rèn)信息至智能節(jié)點(diǎn)，底層模塊ID信息存入Flash第一區(qū)域，用戶未確認(rèn)的底層模塊不屬于該節(jié)點(diǎn)，云服務(wù)器下發(fā)未確認(rèn)信息，模塊ID信息存入Flash第二區(qū)域，智能節(jié)點(diǎn)接收到不屬于該節(jié)點(diǎn)的底層模塊反饋的數(shù)據(jù)時(shí)濾除不再上發(fā)至云服務(wù)器，無線自組織網(wǎng)絡(luò)建立完成。

1.3 形狀函數(shù)表達(dá)式

應(yīng)用圓方程，得到艇的形狀函數(shù)為:

1.4 形狀參數(shù)的確定

式(2)中有2個(gè)表達(dá)半徑曲線和艇體形狀變化的未知因子nf與nα需要確定。這需要補(bǔ)充艇的水下排水量D和水下縱傾均衡條件xG=xc這2個(gè)條件方程來確定。因只涉及到坐標(biāo)變量x=Lξ，故用式(2)來構(gòu)建條件方程。

排水量約束條件:

浮心縱坐標(biāo)約束條件:

上述2式為1個(gè)方程組，在所有的參數(shù)都給定的情況下，2個(gè)方程有2個(gè)未知數(shù)α1與α3，方程組有唯一解;當(dāng)解開1個(gè)約束參數(shù)，如xc，則方程組為不定方程，具有無數(shù)解，方程組解的含義為滿足排水量和3段長(zhǎng)度要求下的“小小系列”;當(dāng)解開2個(gè)約束條件，如xc與▽，則方程組所形成的循環(huán)稱為“小系列”;當(dāng)解開更多的約束條件，以此類推可形成“中系列”甚至“大系列”等。為便于闡述整個(gè)優(yōu)化原理，本文中后面的算例以變化xc為例，進(jìn)行闡述。

2 算例

為對(duì)回轉(zhuǎn)體“數(shù)學(xué)艇型”進(jìn)行實(shí)用性檢驗(yàn)，本文選取SUBOFF-8潛艇模型作為比較對(duì)象。SUBOFF艇型是美國(guó)經(jīng)過長(zhǎng)期試驗(yàn)研究而得出的優(yōu)良回轉(zhuǎn)體艇型系列，其試驗(yàn)結(jié)果被許多國(guó)家用來作為檢驗(yàn)現(xiàn)代潛艇線型優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。

為便于與SUBOFF艇型對(duì)比，本數(shù)學(xué)艇型計(jì)算實(shí)例選取與SUBOFF-8艇體模型相同的主尺度、排水量與浮心縱向坐標(biāo)位置。SUBOFF-8模型參數(shù)示于表3。

表3 SUBOFF-8主要參數(shù)表Tab.3 The main parameters of SUBOFF-8

實(shí)例演算過程如下:

1)應(yīng)用表3中的參數(shù)，代入排水量和浮心縱向坐標(biāo)位置約束條件方程組，解出未知參數(shù)α1與 α3。

2)將解出的α1與α3代入回轉(zhuǎn)艇體形狀函數(shù)式(2)，便得到滿足SUBOFF-8艇參數(shù)要求的函數(shù)表達(dá)式如下:

將表3中▽ =0.699，L=4.356，R=0.254，xc=0.078代入式(5)后，可解出2個(gè)未知參變量，得α1=0.439 5，α3=1.415 6。代入半徑函數(shù)公式，得SUBOFF的半徑函數(shù)為:

圖2 由數(shù)學(xué)潛艇模型得出的SUBOFF近似艇Fig.2 The Comparison of calculated and SUBOFF form

由于參考浮心縱向位置xc精度不高，式(6)計(jì)算結(jié)果所得的剖面形狀函數(shù)見圖2。圖中實(shí)線為根據(jù)本文方法計(jì)算的剖面線，虛線為根據(jù)文獻(xiàn)發(fā)布的SUBOFF型值而繪制的剖面線。從圖中可見，二者圖形大部分重合，計(jì)算誤差很小。在浮心縱向位置精度足夠的情況下，二者的線型可完全重合。這一結(jié)果表明本數(shù)學(xué)潛艇模型完全能夠準(zhǔn)確地描述SUBOFF潛艇的外形形狀。根據(jù)式(6)，求得的SUBOFF艇的形狀函數(shù)為:

3)系列艇型。解除浮心縱向位置坐標(biāo)的約束，則形成的艇型約束方程為

在其他參數(shù)都約束的情況下，式(8)為不定方程，具有無數(shù)解，即“小小系列”艇型。在α1取值范圍內(nèi)任取幾個(gè)值，則可得出相應(yīng)的艇型，如圖3所示。

上述各艇型對(duì)應(yīng)的三維圖形如圖4所示。從圖中可見，本文采用的方法可表示形狀各異的艇體外形。艇體首部為減函數(shù)，即α1越小，首部越豐滿。

3 結(jié)語

本文建立的數(shù)學(xué)艇型三維艇體函數(shù)，將設(shè)計(jì)參數(shù)和形狀參數(shù)聯(lián)系起來，構(gòu)建了滿足設(shè)計(jì)要求的艇體模型自動(dòng)生成體系。通過在體系中改變約束參數(shù)個(gè)數(shù) (本文中僅改變浮心縱向位置)，可以得到不同等級(jí)的系列艇型，如“小小系列”、 “小系列”等，從而為總體方案的自動(dòng)生成奠定基礎(chǔ)。該方法建立了艇型設(shè)計(jì)與總體方案設(shè)計(jì)的聯(lián)系［11］，大大減少了艇型設(shè)計(jì)中的循環(huán)次數(shù)，可獲得具有實(shí)用價(jià)值的艇型，對(duì)潛艇總體設(shè)計(jì)具有很大的指導(dǎo)作用。

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