有限群的Mp－嵌入子群

鮑宏偉，繆利云

（1.蚌埠學院 數理系，安徽 蚌埠233030；2.揚州大學 數學科學學院，江蘇 揚州225002）

對子群嵌入性質的探討是群論研究的熱點問題之一.利用嵌入性質研究有限群的結構，目前已取得許多成果.例如：Ballester－Bolinches等［1］引入了s－擬正規嵌入的概念：設H是群G的子群，如果對于H的任意Sylow子群P，在G中都有一個s－擬正規子群K，使得P也是K的Sylow子群，則稱子群H在G 中s－擬正規嵌入；Asaad等［2］利用s－擬正規嵌入得到了p－冪零的一些結論；李樣明等［3］將s－置換嵌入子群、c－正規子群及弱s－置換子群定義統一推廣為弱s－置換嵌入子群，并得到了超可解研究的一些重要成果；繆龍等［4］給出了M－可補子群的概念并獲得了一些關于包含超可解群系的飽和群系的一些新刻畫；特別地，Monakhov等［5］根據文獻［4］的M－可補概念又提出了Mπ－可補的概念，當π＝｛p｝時，稱Mπ－可補為Mp－可補；郭文彬等［6］利用Σ－嵌入子群的概念得到了關于可解群與p－冪零群的新結果.

本文利用子群的Mp－嵌入性質研究有限群的構造，得到了有限超可解群的若干充分條件.本文所有的群均為有限群，所用概念和符號參見文獻［7－8］.

1 預備知識

定義1［5］設π為素數集，對于群G的子群H，如果存在B≤G，使得G＝HB，并且對于H的任意極大子群H1，H1B＜G，其中H1滿足π（H∶H1）?π，則稱子群H 在G中Mπ－可補.當π＝｛p｝時，稱 Mπ－可補為Mp－可補.

定義2 設G是有限群，對于群G的子群H，如果存在群G的一個p－冪零子群B，使得Hp∈Sylp（B），且B在G中Mp－可補，則稱子群H 在G中Mp－嵌入.

群G的Mp－嵌入子群在G中并非都是Mp－可補的.例如：設群G是36階交換群，且G＝C2×C2×C9，C9是G的循環Sylow 3－子群，令H＝C2×C2×C3，則H 是G 的M3－嵌入子群，H 在G 中卻不是M3－可補的.

引理1 設G是有限群，則下述結論成立：

2）令π是一個素數集合，N是G的正規π′－子群，H 是G的π－子群，如果H 在G中Mp－嵌入，則HN／N 在G／N 中Mp－嵌入.

證明：1）由Mp－嵌入的定義易知結論正確.

2）因為H在G中Mp－嵌入，所以存在群G的一個p－冪零子群B，使得Hp∈Sylp（B），且B在G中Mp－可補.又由N是G的正規π′－子群，H 是G的π－子群及文獻［4］中引理2.1可知，BN／N在G／N中Mp－可補.此外，顯然

（HN／N）p∈Sylp（BN／N），故HN／N 在G／N中Mp－嵌入.

引理2［8］設N是群G的非平凡可解正規子群，如果N∩Φ（G）＝1，則N的Fitting子群F（N）是G的包含在N中的極小正規子群的直積.

引理3 設R是群G的可解極小正規子群.如果存在R的極大子群R1，使得R1在G中Mp－嵌入，則R是素數階循環群.

證明：因為R是群G的可解極小正規子群，所以R是初等交換p－群，其中p∈π（G）.由假設，R1在G中Mp－嵌入，則存在G的一個p－冪零子群B，使得R1∈Sylp（B），且B在G中Mp－可補.即存在G的一個子群K，使得

其中Bp′是B的正規p－補，并且對于R1的任意極大子群T，

因為R是G的極小正規子群，所以R＜TBp′K 或R∩TBp′K＝1.如果R＜TBp′K，則

引理4［9］設F是包含U的飽和群系，群G有可解正規子群H，使得G／H∈F.如果對于G的任意極大子群M，使得F（H）≤M或F（H）∩M是F（H）的極大子群，則G∈F.當F＝U時，逆命題也成立.

引理5［10］設N是群G的子群.如果群G的廣義Fitting子群F＊（G）是G的唯一極大正規擬冪零子群，則下述結論成立：

2）若G≠1，則F＊（G）≠1，事實上，

3）F＊（F＊（G））＝F＊（G）≥F（G）；若F＊（G）可解，則

4）CG（F＊（G））≤F＊（G）；

6）若K≤Z（G），則

2 主要結果

證明：假設結論不真且G為極小階反例.分兩種情形考慮.

情形1）N∩Φ（G）≠1.

由N∩Φ（G）≠1，存在G的一個極小正規子群R，使得R≤N∩Φ（G）.由N可解知R是一個初等交換p－群.顯然，

設P／R是F（N／R）的一個Sylowp－子群，則P是F（N）的一個Sylowp－子群.已知P在G中Mp－嵌入，根據引理1中結論1）可知P／R在G／R中Mp－嵌入.再設Q／R是F（N）／R的一個非循環Sylowq－子群，其中q≠p，則Q＝Q1R，Q1是F（N）的一個非循環Sylowq－子群.由假設，Q1在G中Mq－嵌入，根據引理1中結論2），Q／R＝Q1R／R在G／R中Mq－嵌入.由G的極小選擇表明G／R∈F，又由于F是飽和群系，因此G∈F，矛盾.

情形2）N∩Φ（G）＝1.

設P＝Op（N），則P是G一些極小正規子群的直積.設

其中Ri（i＝1，2，…，t）是G的極小正規子群.設是R1的極大子群，則P1＝×R2×…×Rt是P的極大子群.令M＝R2×…×Rt.因為P在G中Mp－嵌入，所以存在群G的一個p－冪零子群B，使得P∈Sylp（B），同時存在G的一個子群K，使得

定理2 設G是有限群，如果F＊（G）是可解的，并且F＊（G）的任意Sylow子群在G中Mp－嵌入，則G是超可解的.

證明：假設結論不真且G為極小階反例.

1）對于任意的p∈π（F＊（G）），Φ（Op（G））＝1且F＊（G）＝F（G）是可交換的.

若Φ（Op（G））≠1，則由引理5可得

顯然，G／Φ（Op（G））滿足定理的條件，由G 的極小選擇可知G／Φ（Op（G））超可解，所以G超可解，矛盾.此外，Op（G）是初等交換群，F＊（G）是可解群，易知F＊（G）＝F（G）是可交換的.

2）P∩Φ（G）≠1.

設P是F＊（G）的Sylow子群，則存在G包含在P∩Φ（G）中的極小正規子群L.由1）知LΦ（P）.因為P在G中Mp－嵌入，故存在G的一個p－冪零子群B，使得P∈Sylp（B），同時存在G的一個子群K，使得

矛盾.

3）P∩Φ（G）＝1.

由引理2，P是G包含在P中的一些極小正規子群的直積.由式（1）知RiΦ（P）且RiΦ（G）.因為P在G中Mp－嵌入，所以存在G的一個p－冪零子群B，使得P∈Sylp（B），同時存在G的一個子群K，使得G＝BK＝PBp′K，其中Bp′是B 的正規p－補，并且對于P 的任意極大子群P1，由于RiΦ（P），故存在P的極大子群T，使得P＝RiT.因此

由RiΦ（G）得從而P是G的一些p階極小正規子群的直積.因為F＊（G）是自身的Sylow子群的直積，所以可以假設F＊（G）也是G的一些素數階極小正規子群的直積.令

其中Hi（i＝1，2，…，n）是G的素數階極小正規子群.因此，F（G）≤Zu（G）.根據1），可得

易見

是可換的，因此，G／F（G）是超可解的.從而G是超可解的，矛盾.

感謝揚州大學數學科學學院繆龍教授的悉心指導和有益討論.

［1］Ballester－Bolinches A，Pedraza Aguilera M C.Sufficient Conditions for Supersolubility of Finite Groups ［J］.J Pure Appl Algebra，1998，127（2）：113－118.

［2］Asaad M，Heliel A A.On S－Quasinormally Embedded Subgroups of Finite Groups［J］.J Pure Appl Algebra，2001，165：129－135.

［3］LI Yang－ming，QIAO Shou－hong，WANG Yan－ming.On Weakly S－Permutably Embedded Subgroups of Finite Groups［J］.Comm Algebra，2009，37（3）：1086－1097.

［4］MIAO Long，Lempken W.On M－Supplemented Subgroups of Finite Groups［J］.J Group Theory，2009，12（2）：271－287.

［5］Monakhov V S，Shnyparkov A V.On the p－Supersolubility of a Finite Group with a M－Supplemented Sylow p－Subgroup［J］.Siberian Math J，2009，50（4）：681－686.

［6］GUO Wen－bin，Skiba A N.Finite Groups with Systems ofΣ－Embedded Subgroups［J］.Sci China Math，2011，54（9）：1909－1926.

［7］Doerk K，Hawkes T.Finite Soluble Groups［M］.Berlin：Springer，1992.

［8］GUO Wen－bin.The Theory of Classes of Groups［M］.Beijing：Science Press，2000.

［9］MIAO Long，Lempken W.On M－Permutable Maximal Subgroups of Sylow Subgroups of Finite Groups［J］.Comm Algebra，2010，38：3649－3659.

［10］MIAO Long.On p－Nilpotency of Finite Groups［J］.Bull Braz Math Soc，2007，38（4）：585－594.