無源媒質中電磁波的異常傳播

黃志洵

(中國傳媒大學 信息工程學院，北京100024)

無源媒質中電磁波的異常傳播

黃志洵

(中國傳媒大學 信息工程學院，北京100024)

Brillouin的信號速度定義存在問題，數學意義超越物理意義。我們的反駁是，最重要之點在于傳播中不失真的波群(波包)。由此出發的理論分析證明，眾多NGV研究者已觀察到的超光速傳播其實就是實現了超光速通信。……超光速群速傳播和負群速波傳播，這兩者各有其用途。科學家們把這與多個領域(如光通信、光場壓縮態、量子糾纏)相聯系，并得出結論說，高效、低耗的快光的潛在應用是廣闊的。

負群時延；負群速；無源媒質；快光

1 引言

如所周知，電磁波的相速指等相位面的傳播速度，用vp表示。單色光的情況單純，整個光波以同一速度傳播，即vp=ω/k(k為波矢的大小)，通常也寫作vp=ω/β(β為相位常數)。但是一個時間上從(-∞)延伸到(+∞)的理想單色波決無實現的可能，實際的波都是已調波，即一個較低頻率(Ω=2πF)對較高頻率(ω=2πf)的載波進行調制。Fourier分析表明可以把電磁脈沖(f從短波到光頻)展開為諸多不同頻率的單色波的疊加。在k(或β)與f有關的色散媒質中，各單色波有各不相同的相速，即vp(ω)；而整個已調波(電磁脈沖)的速度只能用群速(vg=dω/dk或dω/dβ)來表示。群速定義要求波群中的單色波處于一個窄頻帶中，亦即當一組ω、β相近的波運動時呈現出仿佛共同的速度，即群速。因此相速的意義非常有限，群速是研究工作中的必要工具和手段。已調波包絡也稱波包(wavepacket)，其傳播狀況由媒質的色散關系決定。

在20世紀末到21世紀初的期間，人類對光的認識水平和操控能力得到提高和加強。1999年《Nature》發表了在超冷原子氣體中把光速減慢到17m/s的研究成果，2001年《Phys.Rev.Lett.》刊發了光速為零(使光停下并儲存起來)的文章。與此同時，關于快光(fast light，超光速的光)的文章大量涌現，主要包括兩個方面：①對群速超光速(vg>c)的研究和實驗；②對真空中光速c本身的探討。此外有一個重要的動向，即通過實驗在各種不同條件下得到了負群速(negative group velocity，NGV)和負群時延(negative group delay，NGD)。我們知道，1914年誕生的Sommerfeld-Brillouin經典波速理論，最先指出當vg比無限大還大時，就進入負群速區域；但在當時提不出相關的實驗來說明。現在情況不同了，例如最近幾年就出現了以下工作：2006年G.M.Gehring等[1]用摻鉺光纖放大器技術在增益系統條件下用反常色散獲得vg=-c/4000；2007年Y.Xiang等[2]針對metamaterial的隧穿由計算得到負GHS和負隧穿時間；2009年G.Monti等[3]在微波用環腔耦合微帶線分析和實驗，得到負群速及負群時延；2010年H.Choi等[4]用負群時延改進電路總體性能；2011年張亮等[5]用10m長單模光纖做實驗得到vg=-0.151c；2012年H.Y.Yao等[6]在微波用3段矩形波導級聯得到vg=5.29c；2012年A.Carot等[7]在微波用矩形波導、圓波導級聯結構在實驗中獲得負群時延，τg=-2.2μs，負群速vg=-0.03c；2012年R.T.Glasser等[8]在光頻實驗，采用4波混頻技術獲得vg=-c/880；……以上搜集的情況肯定是不完全的，卻是較重要的進展。

所謂無源媒質(passive media)是相對于增益媒質(gain media)而言的，后者的典型例子是WKD實驗[9]中所用的方法——采用一個玻璃小室充入銫氣，由外加磁場和2個激光束使銫氣成為原子氣體、在2個增益線之間創造一個反常色散區。具體講，這兩個pump光束使原子氣體處于粒子數反轉狀態，當探測光束(第3個激光束)通過小室時，銫原子會從pump光束中吸收光子而激發，隨后又放出光子。這就使探測光束得到增強，就產生了增益效應(effect of gain)；WKD實驗也就成了創立增益媒質的實驗技術的典型事例。至于近年來采用光纖的NGV實驗，如使用了放大器也是增益媒質，否則仍是無源媒質。實際上與增益系統相比，無源、無增益系統較易實現，波形失真也可盡量減小，故越來越多被采用；具體形式如：同軸線、微帶線、波導、光纖、雙棱鏡、玻璃平板、光子晶體、等離子體等都可用。

筆者不久前曾發表論文“負波速研究進展”[10]，本文是該文的姊妹篇，進一步從理論和實驗方面討論了相關的發展和發現。兩文的內容稍有重復，但主要部分完全不同。

2 波傳播中負群時延的電路模擬

設有一理想的恒流源加到并聯諧振回路(電阻R0、電感L、電容C并聯)兩端，is瞬時值為

is=Iscosωt

則電回路電壓為

u=Ucos(ωt+Ф)

式中

(1)

圖1 并聯諧振回路的相角曲線

(2)

根據諧振回路的相頻特性可討論群時延，此時信號源可假定為調幅波：

is=Is(1+mcos Ωt)cosω0t

而諧振回路仍只對ω0諧振；可以證明，輸入信號經過回路的作用，輸出波形、諧振頻率ω0、調制頻率Ω均不變，但包絡cos Ωt的相位發生了滯后；表現在u～t波形圖上，對應的波峰右移時間間隔τ。采用群時延定義

(3)

根據Ф～ω公式，可得

(4)

由此知τ(ω0)=-2Q/ω0，它是相頻特性曲線在ω0點的斜率。進一步可證，調幅波通過諧振回路引起的包絡延遲時間近似等于諧振回路在ω0的群時延(τ)。另外，在實際工作中希望相頻特性是常數，即在一個窄頻帶內群時延為常數(τ=const.)，則不產生相位失真。

以上討論得出的τ為負值，這是由定義造成的，符合圖1中Ф～ω曲線的規律。但在實際上也可這樣定義群時延：

(5)

則不會產生概念上的矛盾——如果我們認定相移造成的時間滯后是正時延，在特殊情況下產生的時間超前為負時延，則如何定義τ(ω)將不成為問題。另外，在英文中，與group delay(群延遲)對應的詞是group advance(群超前)，后者正是對上述特殊情況的確切表達，并成為世紀之交時科學家們爭相研究的課題。

必須指出，雖然基本概念的討論是在簡諧信號(單色波ejωt或e-jωt)條件下進行的，其結果也適用于脈沖信號(它本為多個簡諧信號的Fourier合成)。在頻域的討論中，取輸入、輸出電壓為

頻域的網絡(無源電路或有源放大器)傳遞函數(transfer function)取為T(ω)時，就有以下線性方程成立。

U0(ω)=T(ω)Ui(ω)=A(ω)ejφ(ω)Ui(ω)

(6)

振幅A(ω)、相移φ(ω)均為實函數。例如，設計一個帶反饋回路的帶通放大器電路[11](bandpass amplifier with feedback loop)，如圖2；這個電路的功能轉為帶阻濾波(band stop filter)，并使圖1形狀的相移頻率曲線改變，成為圖3中的實線(圖中的虛線代表開環增益系數，即A)。由于曲線有極大點(a)和極小點(b)，顯然存在兩個零時延(τg=0，下標g代表group頻率，即ω1、ω2)；當ω=ω1～ω2，ω增大時Ф增加，dФ/dω>0，這時得到正群時延，是人們習慣的group delay；但當ω<ω1及ω>ω2，dФ/dω<0，得到負群時延，是group advance。因此只用一套簡單便宜的運算放大器(帶諧振回路及反饋)，就可模擬波傳播中的負群時延狀況。圖4是與圖3對應的τg～ω曲線形狀，橫坐標與圖3的橫坐標是完全對應的。在圖4中清楚地顯示，τg<0的頻域為(0～ω1)及(ω2～∞)。現在可寫出反映網絡的傳輸特性的方程：

u0(t)=A(ω0)ejφ(ω0)ui[t-τg(ω0)]

(7)

圖2 一種有源帶阻濾波電路

圖3 圖2電路的Ф～ω曲線

圖4 與圖3對應的τg～ω曲線

從以上討論可得到某些規律性的認識；首先，負群時延(為方便起見簡稱為群超前)是發生在不具有放大作用的阻帶(stop band)。其次，輸出波形顯露在輸入波形之前(the origin of output waveform before the input)。圖5是波形示例，虛線顯示輸出波形超前于輸入波形——這正是負時延、負群速的特征，亦即group advance的特征。也就是說，所設計的電路可使波形超前，從而在峰值和其他特性到達輸入端之前就出現在輸出端(amplifier can advance a waveform so that the peak and other features appear at the output before the corresponding features arrive at the input)；這是令人驚奇的現象。

圖5 圖2電路造成的輸出波形超前

3 用同軸線級聯電路模擬光子晶體

在固體物理學研究中人們常把電子和光子這兩種本質上很不相同的粒子作比較，發現它們之間有許多相似的行為。自由電子的波函數是平面波，自由光子的波函數也是平面波(E分量和H分量)。晶體中的電子和晶體中的光子，波函數都是Bloch波。由于人們希望能像控制電子那樣制光子，產生了光子晶體(photonic crystal，PC)的想法，在1987年提出了最初的設計。實際上，描寫光子在周期性介質結構中運動的方程(Maxwell波方程)與描寫電子在周期性勢場結構中運動的方程(Schr?dinger方程，SE)非常相似，因而在固體物理中適用的求解SE的方法都可用于PC的計算中。簡單說，PC是電介質材料周期性排列形成的人工結構，由于周期性，將產生光子能帶和光子帶隙(band gap)。理論和實驗都證明了光子禁帶(stop band)的存在，其中沒有電磁波傳播；這就影響了光與物質相互作用的方式。

然而后來出現了用電路結構以模擬PC的考慮，該結構必須有周期性，其結果是創造出通帶(pass band)和阻帶(stop band)。特別是，這種結構能提供“反常色散媒質”的特性。2002年，A.Hachè等[12]正是用他稱為coaxial photinic crystal(CPC)的結構，實現了較長距離上的群速超光速傳播。CPC被認為是光學PC的宏觀模型，它是一種有誘惑力的替代品，這是因為它的宏觀尺寸和附加的靈活性：電場的相位和幅度可以任意在整個系統的外部或是內部進行測量。盡管是一維的而且沒有偏振效應，但是其特性還是可以用Maxwell方程組來進行描述，而一些線性和非線性指標也與曾經有過相關報道的光學光子晶體有相似之處。同軸光子晶體最為顯著的一個特性就是其禁帶區向低頻方向的擴展。在光學光子晶體中，禁帶是由于折射率的突變而帶來的反射造成的；而在同軸線里，則是由于阻抗的不匹配造成的。當信號到達不同介質的分界處時，就會有一個相移和部分反射，二者的計算由以下兩個公式得到：

(8)

(9)

式中Zi、Zt分別為入射阻抗和傳輸阻抗。故媒質中阻抗的周期性變化就會對某一波長的信號產生作用。由此而產生的結果是，隨著頻率的變化通過晶體的相位累計也隨之快速地變化。這一點在禁帶附近尤其顯著，反常色散和超光速都會在這個區域產生。

實驗中所用的同軸晶體由幾單元組成，每單元都有兩個部分：特性阻抗為50Ω的RG58/U電纜和特性阻抗為75Ω的RG59/U電纜。每一部分都有相同的相速0.66c和長度5m。由于不匹配的緣故，在每個接頭處都有20%的損耗，將12個這樣的單元串接起來共120m。傳輸的頻譜，在9MHz和11MHz之間有一道很深的禁帶，在這里傳輸系數模|T|很小。使用等效折射率(effective index of refraction)概念，其實部為

(10)

式中L為PC的總長度，φ為總相移，并有

(11)

式中m=0，1……，由邊界條件決定。

現在，傳輸系數|T|、折射率n(即nr)、群速vg都是可計算的參量，它們與頻率的關系見圖6；小圓點線是|T|，f=(9～11)MHz是禁帶，|T|很小。用濾波器技術的語言，這是一種帶阻濾波器。長虛線是n，顯示出只在阻帶中才有反常色散特性。實線是vg/c，顯示出只在阻帶中才有群速超光速特性。

圖6 Hachè電路的特性

通過測量脈沖信號在同軸晶體中的傳輸時間就可以確定傳播速度。同一個可編程信號發生器發出Gauss脈沖包絡的正弦載波。載頻在5～15MHz范圍內變化，脈沖寬度為6～2μs，并調節帶寬在0.15～0.45MHz保證在一個包絡中有30個載波。實驗結果與理論計算相符合，在禁帶外vgc可理解為脈沖信號的不同成分之間互相干涉所造成。實驗以這樣高的vg傳送超過百米距離，可以說為一些有趣的可能性打開了實驗道路。

美國《Appl.Phys.Lett.》雜志在2002年1月發表Hachè文章后，9月又發表J.N.Munday等[13]文章，再次報道相關實驗。后者首先指出，不僅增益系統有負群速(NGV)現象，在無源系統中也有。過去的M.W.Mitchell[11]的工作，稱為“帶阻濾波器的禁帶”(forbiden region of a bandstop filter)，已由實驗清楚地呈現出負群時延。Munday實驗采用兩種同軸電纜：RG58(50Ω，0.66c)和RG62(93Ω，0.85c)，使阻抗失配提高、群時延加大；電纜切割長度分別為6.19m和7.97m，以獲得所需周期性。這樣，CPC總長L=119.5m。測vg的電路較簡單，見圖7；SG1產生頻率較低的正弦信號(f=110kHz)，作為調幅(AM)包絡；SG2產生頻率稍高(5～15MHz) 的已調信號，實際是AM波(調幅度100%)。兩路信號加到雙蹤數字示波器上，其中一路加有CPC，信號通過是隧穿過程。這個實驗以獲得NGV為目標，比Hachè實驗進了一步。觀察到的現象是：脈沖峰通過CPC在時間上提前。

圖7 Munday的實驗電路

Munday實驗中的禁帶約為(6.5～9.5MHz)，而在禁帶邊緣處的群速變化是生動有趣的——當f=6.3MHz(尚未進入禁帶)，vg=0.77c；當f=6.5MHz(已進入禁帶)，vg=4c；當f=6.8MHz(完全進入禁帶)，vg=-1.2c。最后一種情況，隧穿脈沖(輸出脈沖)比輸入脈沖早到0.32±0.02μs(peak of tunneled pulse arrived 0.32±0.02μs prior to the peak of input pulse entering CPC)。顯然，在禁帶中央n～f曲線斜率最大將使負群速的出現更具有可能性。

我們已在其他文章中給出實現群速超光速和負群速的條件[14]，它們可概括為以下兩個公式；為使vg>c，要求

(12)

而為使vg<0，要求dn/df<-n/f，亦即要求

(13)

對比以上兩式，顯然后者要求更高，即|dn/df|應更大些。后一條件表示，為獲得NGV要求

(13a)

按照以上原則可以計算Hachè實驗的情況，因為其論文給出了n～f曲線的數據。首先算出反常色散區|dn/df|=8.5×10-8Hz-1，而|1-n|/f=5×10-8Hz-1，滿足vg>c的條件，故實現了群速超光速。但是

因此不可能有vg<0的結果。Munday實驗則不同，其n～f曲線雖未給出，可以判斷它更陡峭，達到了要求。

回過頭來看2000年的WKD實驗[9]，反常色散區的折射率變化為1.8×10-6，而頻率變化為1.9 MHz，故|dn/df|=9.5×10-13Hz-1；這個值很小，但f很大(光頻)，故式(13a)可滿足；故他們在實驗中得到負群速，vg=-c/310。具體計算如下：取λ=852nm=8.52×10-7m，算出f?3.5×1014Hz，故有

這與WKD論文一致。另外，現在有

充分滿足實現vg<0的條件；至于如此“充分”的原因，是由于增益系統的作用。

現介紹中國傳媒大學在2003年進行的實驗及其結果[15]。阻抗分別為50Ω(RG-58A/U)和75Ω(RG-59B/U)的同軸電纜相互串聯組成混合電纜，由于二者的阻抗不匹配從而形成反常色散區。測量經過混合電纜的已調信號與未經混合電纜的基帶信號之間的時間差，在已知兩路信號所經過的路程長度的其中未經混合電纜的基帶信號在傳輸電纜中傳播速度的情況下，由公式計算出電信號在混合電纜中的傳播速度。采用圖7，取l1=l1a+l1b(l1a=4m，l1b=75m)，令

(14)

由此可得所要求的信號在混合電纜中的速度：

(14a)

如l1、l2已知，測出△t即可得v1；用數字式雙蹤示波器(HP54180A)可以實現測量△t。以上各式下標1表示經過混合電纜的已調信號所經過的路程長度和速度；下標2表示未經混合電纜的基帶信號所經過的路程長度和速度，其中v2=0.66c。

實驗步驟：①將混合電纜通過轉換頭接好(共15段，75m)，調節信號發生器1(HFG813)，使其發生頻率為200kHz基帶信號用以調制載波，調節信號發生器2(HFG813)，使其所發出的載波在6 MHz～13MHz之間變化。②測量固有時間差：按照圖7所示連線，將信號發生器1所產生的基帶信號分為兩路，一路直接進入示波器的一個輸入端。另一路接入信號發生器2，用以對載波進行調制；將信號發生器2產生的調制后的信號直接接入示波器的另一個輸入端(不經過混合電纜)。在示波器上同時觀察兩路信號的波形，讀出二者的時間差。這個時間差并不是我們所要求的，它的產生有兩方面原因：首先是由于兩路信號所經過的路程不同，兩次基帶信號調制載波時也會產生一個觸發時延，所以我們稱之為固有時間差△t1，為0.1515μs；③重新連接，將信號發生器2產生的已調波通過混合電纜后再接入示波器，這時觀察兩路信號的時間差△t2，將此時間差與步驟②中所得時間差相減，即可得到公式中所需的時間差△t(△t=△t2-△t1)；④調節信號發生器2，在6MHz～13MHz范圍內，每200kHz取一個采樣點，分別在示波器上測得不同頻率點(阻帶內和阻帶外)上基帶信號與載波信號之間的時間差，將結果代入公式(14a)，從而得到所對應的頻率點的電波在混合電纜中的傳播速度；⑤記錄數據，再由matlab仿真處理這些數據點，繪制數據曲線。

實驗前先按傳輸線理論作仿真計算。設n段傳輸線級聯，對應電壓un、電壓in，則連續性邊界條件導致有以下兩方程成立：

ane-jknz+bnejknz=an+1e-jkn+1z+bn+1ejkn+1z

(15)

-bn+1ejkn+1z)

(16)

式中z為傳輸方向，an、bn為入射波、反射波振幅，k為波數，Z為特性阻抗。由此編程計算，可求出傳輸系數T、反射系數ρ、折射率n(nr)乃至群速vg與頻率的關系。取Z1=50Ω，Z2=75Ω，n=12；算出的n(虛線)和vg/c(實線)見圖8。實驗結果是阻帶內v1=(1.5-2.4)c，是群速超光速。關于負群速，有一次觀察到波包比參考波形超前(調制波落在載波后頭)；但不很肯定。

圖8 中國傳媒大學研究組的計算和實驗情況

眾所周知光子晶體(PC)是一種周期性結構。現在使用多段(每段長數米)的不同阻抗的同軸線互相級聯(cascade)，也形成一種周期結構。連接處的不連續性交替、重復出現，對波的傳輸幅度和相位產生重大影響，這時同軸線內已不是純粹的TEM波了。反常色散曲線(n～f曲線)的陡峭程度與阻抗比值、短截電纜長度、截段的數目都有關系，改變這些因素可以提高曲線的陡峭度。從Munday實驗和我們實驗的情況看，同軸光子晶體(CPC)是可以獲得負群速(NGV)的方法之一。

現在我們再作核算；中國傳媒大學研究組的2003年研究，dn/df?-1.45×10-7Hz-1；如取n=1.6，f=9.5×106Hz，則有

故不會有vg<0的結果。為了使這個比值大于1，要求|dn/df|>1.68×10-7Hz-1，這比上述值只大14%，應當可以做到。

圖9給出數字示波器顯示的傳輸波形：圖9(b)、圖9(c)是阻帶內的波形，與超光速群速相對應；圖9(a)、圖9(d)是阻帶外的波形，與亞光速群速相對應。

圖9 實驗中的波形觀測

2009年周渭等[16]報道了用相同技術做CPC實驗的結果，不僅獲得了超光速群速而且獲得了負群速。兩種電纜仍為50Ω和75Ω各一，負群速的獲得是靠增加線長。該文與Munday一樣，沒有電腦軟件的仿真計算，而是在實驗中測試了6種總長(55.8m，80.6m，105.4m，130.2m，155m，179.8m)的情況，在最后的總長為179.8m時出現了時間差為負的一個點，為(-1.45c)。表1給出4個研究組(分屬加拿大、美國、中國)的實驗研究情況。

表1 用級聯同軸線模擬光子晶體的實驗

4 用波導級聯結構獲得超光速群速及負群時延[6，7，17]

由于有可以用到微波的同軸線，而波導(waveguides)是天然地用于微波的傳輸線，從表面上看，二者相似。實際上它們很不相同；同軸線中是一種承載TEM波的無色散傳輸，場解滿足Laplace方程，對應標量Helmholtz方程中本征值為零(h=0)的情況，屬于非本征值問題。波導則代表一種有截止特性的波動過程，是強色散性的器件(媒質)，場解不滿足Laplace方程，對應h≠0的情況，是本征值問題。在技術實踐中，一根波導可以是多模波導，也可以是單模波導；亦即選擇波導尺寸可以使之僅傳輸一個模式。例如對矩形波導而言，則傳輸主模TE10的條件是：寬邊尺寸a滿足λ/2

1985年黃志洵[17]的論文“波導截止現象的量子類比”，比歐美科學家早幾年提出了“用量子隧道效應觀察和研究波導”，并建立了量子隧穿的等效電路(等效網絡)模型。這體現了以Maxwell經典波電磁波方程與描寫量子波動的Schr?dinger波方程的相似性，消失態(evanescent state)既出現在金屬壁波導(當fc和vg<0的問題，用解析式的證明和數據的計算，此處不贅述。……令人感興趣的是2000年A.Pablo等[19]的論文“消失模的傳播速度”，用計算機模擬計算后得出結論說：“in any case，the evanescent modes travel for some distance with faster-than-light speed，and at least in three sectors of experimental physics superluminal motions might have been already observed ”。不過，作者們把信息速度(speed of information transfer)和信號速度(speed of signal)分開，只在Sommerfeld-Brillouin經典波速理論框架內討論；認為雖然消失態信號(evanescent signals)以超光速群速的速度行進，但信息速度尚不能超光速。對此，本文后面將作深入分析。

圖10 三段矩形波導互相級聯

2012年出現的兩篇論文([6]和[7])引人注目地提出了在微波用波導進行實驗的新方法，基本上不是利用消失模。是否可納入反常色散的框架內而理解？現在還不好說。先看Yao和Chang[6]的工作，所設計的結構是3段矩形波導互相級聯，如圖10；波導Ⅰ、Ⅲ是相同的WR282波導，寬度a=72.14mm，高度b=34.04mm；據此我們查閱手冊，知其主模TE10的工作頻率范圍f=2.6～3.95GHz，截止頻率fc=2.078GHz。波導Ⅱ的型號不變，寬度不變，故fc和原來一樣，但高度(人為地)減為3mm，是很薄的結構。作者說，幾何結構的改變在邊界上引發了模式效應(model effect)，即部分的基本工作模式(TE10)需轉換為波導的高階模(TEmn與TMmn)，以共同滿足結構變化后的金屬邊界條件。此模式轉換過程會導致所操作的TE10波的反射率增加，進而使整個系統形成類1維開口諧振腔(Fabry-Perot open cavity)，而電磁波在這個諧振腔中多次反射與互相破壞性干涉過程即被認為是造成群速超光速(實驗測得vg=5.29c)的基本原因。圖11是實驗系統的示意圖。

圖11 Yao和Chang的實驗系統

2012年10月下旬，筆者用電子郵件與H.Y.Yao(姚欣佑)討論；首先表示我們對其論文很感興趣，認為工作出色；但提出幾個問題：①實驗結果可否按反常色散解釋？如果可以，為何論文未提及該效應？②三段矩形波導如直接相連，會出現兩個小窗口，這就難于進行實驗，令人費解；③波導Ⅱ高度只有3mm，波導Ⅰ、Ⅲ高度卻有34mm，二者為何如此懸殊？……對此，Yao回答說：“我們的實驗沒有在波導中填入吸收或增益性物質，故未按反常色散解釋超光速現象；如用反常色散解釋，可以把兩口邊界上幾何不連續性造成的多次反射等效為電磁波包在一填充材料的波導內傳播，并依色散關系而模擬，找出等效折射率nr，它是頻率的函數，物理上包含了原來的模式轉換及多次反射效應。由于發生超光速現象時，通常透射信號小而反射強，故等效材料會有由于高反射損耗導致的強吸收”。此外，Yao介紹了實驗中采取的技術措施。……對此，筆者提出：“我們仍然認為你們的實驗可以用反常色散解釋。理由是，三段波導阻抗不同，這種失配和相位上的變化，可能造成等效折射率n隨頻率f增大而下降。現在需要的是理論分析和電腦計算，建議你們試試。另外，你們為什么不進一步努力，爭取用此結構測出負群速？當然，這要程度更大的反常色散”。對此，Yao回答說：“用這種等效原理算出的折射率與系統長度有關，這會降低等效折射率的普遍性和實用價值；不管怎樣我們會作計算。另外，我們也做負群速研究，預計在某些特殊幾何結構的波導中應能觀測到該現象，現正在設計實驗”。

圖12 圓波導的Ф～ω曲線

2012年的A.Carot 等[7]的論文，題為“Negative group velocity and spin-flip in microwave adaptors”；adaptor一詞譯為“適配器”不妥，在微波技術中有常見的波導—同軸轉換器就是adaptor，故譯為“轉換器”或“轉接器”就可以了。因此Carot論文題目的中文應為“微波轉換器中的負群速與自旋反轉”，從內容可知在這里adaptor有兩種：矩形波導/圓波導轉換器，圓波導/矩形波導轉換器；兩種波導均為fc=6.5GHz，而adaptor的工作頻段為8.2—12.4 GHz。文章的摘要說，具有兩個微波波導adaptor的類Fabry-Perot干涉儀作為反射器造成了一種無源介電媒質，由于極化位移產生了負群時延。通過其中一個adaptor，極化矢量的旋轉應變耦合出極大的負群速。在三段級聯波導中，Ⅰ、Ⅲ是矩形波導(TE10模)，Ⅱ是圓波導(TE11模，L=20m)。文章敘述了螺旋極化的變化，以及由兩個不同的圓波導模產生了負群速。……圖12是A.Carot等[7]給出的曲線，虛線是常規圓波導(vg=0.68c)的Ф～f變化規律，實線是采取措施以后獲得的Ф～f變化規律，相應的圓波導長20m，相當于667個波長。在圖中，反映負群時延和負群速的過程發生在f=9.884 GHz附近。圖13(a)顯示以48kHz信號調制(調幅)微波9.893GHz時的時間延遲，虛線是在20m長波導輸入端測得的波形，實線是產生τg?-2μs(相當于vg/c=-0.03)的快波波形。可以看出負群速的特征——快波最大值在進入波導之前就離開了它(the maxima of fast wave leaves the 20m waveguide before it has entered it)！應指出，這是在無源媒質(passive medium)中實現的。圖13(b)顯示當一個脈沖信號通過時輸出波形(實線)與輸入波形(虛線)的比較，用意也是觀察負群時延情況及波形失真的大小。

圖13 Carot實驗獲得的時間超前

現在給出波導級聯結構造成負群時延的初步理論分析。在圖10的Ⅰ、Ⅱ相聯端面，傳輸系數、反射系數、相角為Ti、ρi、Фi，在Ⅱ、Ⅲ相聯端面則為T0、ρ0、Ф0；考慮不連續性時，電磁脈沖入射后必然是有部分能量通過、部分能量被反射，故Ⅰ的波函數可寫作

ψI=Ei(ejβz+ρe-jβz)

(17)

上述寫法忽略了波導損耗；而在Ⅲ處僅有傳輸的(透射的)分量：

ψIII=TEiejβz

(18)

式中T=|T|ejφt；而反射系數ρ=|ρ|ejφ；并且在無耗條件下有

|T|2+|ρ|2=1

(19)

而雙口網絡在波傳輸中發生的總相移(total phase)可寫作：

φ=βL+φt

(20)

由此造成的群時延為

(3a)

這與前面的論述，即公式(3)，概念上是一致的。H.G.Winful[20]曾給出以下結果：

(21)

式中W=We+Wm是總的對時間平均的能量(We為電能，Wm為磁能)；而Pin是對時間平均的入射功率，且Pin∝ε0|Ei|2。總之，τg稱為傳輸群時延(transmission group delay)，以便與反射群時延(reflection group delay)相區別；后者的定義為

(22)

2012年，H.Y.Yao和T.H.Chang[6]導出如下公式：

(23)

式中φr0表示是Ⅱ的輸出端的φr；上式被A.Carot等[7]所引用，并指出當以下不等式成立：

(24)

則群時延為負；這只是理論上證明了這種可能性，具體的技術實現尚屬困難之事。

Carot等力圖以量子理論為基礎進行思考，他們回顧了1936年R.A.Beth的工作(Phys.Rev.，50，115，1936)，實驗為光子角動量即自旋的定量提供了證據；而光子自旋與光子電場的螺旋極化有關，這關系被用來反轉在圓極化光束中所有光子的自旋經過2?(從-?到+?)。采用的結構是兩個adaptor被圓波導(起FP干涉儀作用)分開；但負群時延現象僅在下述條件下發生：兩個轉換器的極化互不平行，角度0<α<π時可觀測到NGV；圓波導可在0～π/2角度上旋轉(實驗中L選為0.2m，5m，20m)。最大極化距離達20m；作為對照，電視衛星通信技術中，極化保持在35786km恒定。概括起來，第一個(輸入端的)adaptor中的線極化TE10模給出了模式及光子的態矢(state vector)，并轉換為右旋及左旋的圓極化TE11模。……總之，此論文的原理比較令人費解。

筆者曾用電郵詢問A.Carot(博士生)的導師——德國的G.Nimtz教授，他說該文略加修改后將由《Euro.Phys.Lett.》發表，題目改為“Giant negative group time delay by microwave adaptors”(微波轉換器造成的巨大負群時延)。該文不再提自旋反轉，因為Nimtz說“I don’t see a spin-flip”。最新的結果是：with a circular waveguide and the adaptors tunneling 50m; the signal speed was 1700c！但Nimtz承認說：“I don’t really understand the cause of the strange and strong effet.”

圖14 波導等效為多節級聯電路

筆者的觀點如下：2012年出現的新的方法，本質上是利用波導的周期性相位變化的特性。我們知道，對波導也可建立分布參數等效電路[17]——根據波導的高通濾波器性質，對TM波導，串聯電抗為零時發生截止；對TE波導，并聯電納為零時發生截止；對應的級聯等效電路見圖14，其中(a)是TM波導的情況，(b) 是TE波導的情況。結合本文前述內容(第2節)，很容易理解可由波導獲得沿長度方向的相角(Ф)周期性變化以及Ф隨頻率的周期性變化。正確的理解是Ф隨z/λ(或l/λ)而變，因此Ф隨波導長度變與Ф隨信號頻率變在概念上是一致的。此外還要運用波導的不連續性(discontinuity)概念；根據波導理論[17]，矩形波導(主模TE10)特性阻抗的算式為

(25)

Zc與波長(λ)、頻率(f)有關表示其色散性質；取fc/f=0.7，則有Zc=528b/a(Ω)；對于Yao的論文，波導Ⅰ、Ⅲ的Zc=249.2Ω，波導Ⅱ的Zc=22.2Ω；這可作為進一步計算時的參考。

另一個思考方向是按照光子晶體(PC)來理解，也較簡單易懂。總之要采用周期結構，并努力改變相頻特性曲線的規律，從而獲得負群時延和負群速。

需要說明的是，用波導作為DUT和用同軸線時一樣，要靠測量時間差來確定群速vg；設DUT總長為L，真空時波群通過L的時間為L/c，非真空(真實媒質)時波群通過時間為τg，二者之差表示媒質影響：△t=τg-L/c，故有

(14b)

上式與(14a)式相似，如測出△t即可得vg；另外，如△t<0，則vg<0(得到NGV)。

5 使用微帶線結構的可能性

前面所述及的技術發展已導致文獻上出現了一個有趣的詞語：負群速傳輸線(NGV transmission line)。因此，人們會設想采用其他傳輸線形式以獲取負群速(NGV)和負群時延(NGD)。在微波，使用微帶線(micro-strip line)會比使用波導更廉價和方便。圖15是微帶線的示意，其中顯示了三個部分。理論與實驗表明[21]，當f≤4GHz，準靜態分析得出的特性阻抗公式是可用的；當導體條較窄(w/d≤1)，Zc公式為

(26)

式中Z00是真空中波阻抗(Z00=376.62Ω?377Ω)；對于寬條(w/d>1)，Zc公式為

(27)

另外，有的微波工程手冊依據下式繪制特性阻抗與w/d的關系曲線，用εr作為可變參數從而繪出曲線族：

(28)

這些公式和曲線為實驗設計帶來了方便。

圖15 微帶線示意

那么是否可以用多段不同阻抗的微帶線級聯，經由失配創造出反常色散，從而得到NGV？我們認為有可能成功，因為微帶線與同軸線并無本質上的不同(都是雙導體導波系統，頻率不太高時均可傳輸TEM波)。不過，在實際中尚無人做過有關實驗。……2009年G.Monti和L.Tarricone[3]的工作，是針對超材料(metamaterials)的，也叫左手材料(LHM)或負折射材料(NRI)，故其中包含開口環形諧振器(split ring resonator，SRR)。圖16表示導體條與SRR耦合連接的情況，圖17表示SRR數目對性能的影響(S21是復傳輸系數，用散射矩陣表示；φ21是S21的相角)；實線表示總共6個SRR，虛線表示12個SRR。文獻[3]的工作證明當一個Gauss脈沖通過人為設計的傳輸線系統時，可以產生負群速及負群延時；而維持波形不變是可以做到的。

圖16 SRR耦合的微帶線示意

圖17 SRR數量對性能參數的影響

那么能否不用SRR而簡單地用不同阻抗的微帶線級聯？根據用CPC做實驗的經驗，每段長約(λ0/6～λ0/4)；在微波，若f0=8.2GHz(λ0=3.7cm)，要求每段長約為(6～8)mm。但這種設計和實驗尚無人做過。

6 實現超光速通信的可能性

1914年由A.Sommerfeld和L.Brillouin[22]提出的經典電磁波波速理論為人們認識波的規律提供了一個重要的入口，即使在今天對其意義和價值不能完全否定。例如正是這個理論最早給出了NGV的定義，使人們認識到：以群速vg行進的波群，如vg比無限大還大就是負群速(NGV)傳播。但SB理論并未使波速問題得到最終的解決，今天我們很容易指出它存在的若干問題。SB理論的第一個錯誤是在Brillouin圖的繪制中否定了負相速(NPV)存在的可能。2000年4月，K.Wynne等[23]報道說，在近場太赫裝置中產生了120fs的太赫脈沖，用以研究小尺寸金屬圓波導(直徑50μm、長40μm)的傳播，實驗測量頻段為0～3THz。由于是截止波導狀態(f

L.Brillouin對群速的認識也有很大的片面性；例如在1960年著作中不加批評地引述了20世紀早期的一個觀點：“Natually，the group velocity has a meaning only as it agrees with the signal velocity.The negative parts of group velocity have no physical meaning”。(見：A.Schuster，《Einführung in die theoretische optik》，Leipzig，1907)。這種說法已被百年后的事實所駁倒——21世紀最初10年當中不斷有“群速超光速”和“負群速”實驗成功的報道，負群速如無意義就不會有這么多科學家研究。負群速并非缺少物理意義，而是內涵非常豐富。

當然，近年來有的文獻在談到對物理現象的應用時流露出一種矛盾的心態。例如WKD實驗[9]發表后美國《Science News》雜志將其評為“2000年物理學10大新聞”之一，但研究者卻一再聲明“群速不是信息速度”，因此不違反因果性(Causality)。Hache實驗[12]發表后，在接受媒體采訪時他一方面說，目前科學家已不斷在實驗室中打破了相對論的速度極限，使光脈沖的傳輸速度超過了光速；現在實驗獲得了超光速電脈沖，證明光波的規律同樣適用于電波；研究成果有助于提高計算機運行速度和遠程通信速度。同時又說，能量傳輸速度并未超光速；而且信號傳輸速度越快失真越嚴重，因而從理論上講尚無法以超光速傳輸有用信息。……這種矛盾的態度在最近有了改變，例如著名刊物《Phys.Rev.Lett.》在2011年刊出的某論文[5]，寫出了前所未有的堅定的話語：“Our experiments show that the group velocity of the signal pulse does exceedc，this scheme provides a simple platform for studying superluminal light physics，and provides a new way of opening up superluminal communications via optial fibers”。可以說，隨著時間的推移，科學家們對實現超光速通信的期望和信心都在增加。

信息能否以超光速傳送當然是人們最關心的問題，以下我們作深入分析。“群速不是信息速度”的說法最早見于Brillouin的1960年著作，原話講的不是信息速度而是信號速度，是為了聲明“The signal velocity is always less than (or at most equal to) the velocity of light in vacuum”。信號速度定義的依據是：“The arrival of the signal can be arbitrarily defined as the moment when the path of integration reaches the polef0”，亦即“信號到達時間可人為地定義為積分路徑到達極點jω0的時間”。分析和計算的結果見圖18，其中vs是信號速度(為了比較用虛線繪出了群速vg)。總之Brillouin的結果是，在遠離ω0附近的區域vs與vg相同，ω0在附近v≠vg；由于c/vs>1，vs

圖18 Brillouin圖的部分示意

筆者認為這一分析存在問題；首先，定義是純數學的而非物理的，與人們心目中的信號速度(信息傳送的快慢)概念并不符合。事實上沒有必要把定義抽象化、數學化；對照信息時代的實踐，傳送信息的方式是用已調波(modulated waves)，即把有用信息用波包的方式(通常頻率較低)調制在載波(通常頻率較高)之上，并作整體性的輸運。人們日常生活所用的收音機、電視機都是如此，因此根本問題在于整個波群的傳輸，而波包在傳送過程中不發生失真才是基本的要求。這意味著調制信號(波包)的形狀不隨傳播時間(t)和空間(z)而變。做到這一點才能保證信息的傳輸正常化，即不發生錯誤和缺失。群速在本質上是波包的相速；相對論學者也承認“在波包不變形(不失真)的條件下群速是信號速度”[24 ]；況且我們也沒有別的更好的定義來描寫一個波群(例如一個光脈沖)的運動速度。因此，矛盾聚焦到“波包不失真”這一點上。如做不到不失真，群速也缺乏清晰的物理意義。總之，沒有必要尋找看似嚴謹但卻脫離實際的信號速度(或信息速度)定義，注意力要放在波形不變化上；如做得好，群速就是人們關注的信號速度。

因此我們再做一些基本的分析；首先，用ej(ωt-kz)表示一個沿z向傳播的行波，并把波矢的模值k按Taylor級數展開：

(ω-ω0)2+……

(29)

當ω與基值ω0的差為小量，則可只取兩項，故有

ωt-kz=ωt-k(ω0)z-k′(ω0)·(ω-ω0)z

(30)

因而

exp[j(ωt-kz)]=exp{j(ω-ω0)[t-k′(ω0)z]}·expj[ω0t-k(ω0)z]

(31)

等式右端后者為頻率ω0的載波，前者代表包絡(波包)。取t-k′(ω0)z=const.，微分后可得包絡的相速(即整個波群的速度，群速)：

(32)

以上討論的基礎是(ω-ω0)為小量，即群速定義適用于中心頻率ω0附近的窄頻帶中。另外，vg=dz/dt的使用表明速度基本定義的普適性，不能說“Newton經典力學不適用于波科學”。

當波群從z=0處傳輸到z=l處，中間過程無非是遭遇振幅衰減和相位變化。假定波群中各單色波處于△ω=ω1-ω2頻域，則規定電場強度為Ez(z，t)時就有

α(ω)?α(ω0)

(33)

(34)

這時就可寫出

(35)

Ez(l，t)=

(36)

(34)式即相頻特性方程β(ω)，可寫作：

β(ω)?[β(ω)-ω0vg]+vgω

(37)

令β(ω0)-ω0vg=a，則有

β(ω)?a+vgω

(37a)

至于群速與能量傳播速度(能速ve)的關系，在這方面存在兩種極端的看法。19世紀后期，Lord Rayleigh很重視群速，認為“群速代表能量速度”，今天來看這觀點并不全對亦不全錯。然而近年來有相對論學者強調“群速不代表能量傳送速度”，以此貶低群速的意義，又否定群速為負的可能，是走向另一極端。至于SB理論，認為全頻域均有ve

(38)

(39)

這表示只要群速足夠大，能速超光速是可能的！這也說明提高群速是有意義的，亦即研究“群速超光速”問題是有意義的。在今天，群速仍具有基礎性和重要性。

在國際上“群速超光速”實驗雖有不少，其結果常常是vg/c<10；這樣的“小超光速”條件，能速一般是亞光速。假定|T|=10-1～10-3，故|T|-2=102～106，可見只有vg是c的百倍乃至百萬倍時，能速才可能是超光速的。這種“大超光速”似乎只發生在某些特定條件下，例如引力傳播速度[26-28]，撓場傳播速度[29]，量子糾纏態傳播速度[30]。

因此我們可以得出以下幾點結論：①群速是波群傳輸過程的最重要參數之一；既然信息是調制在載波之上的波包，絕不能說波群(例如光脈沖)到達了信息卻未到達。貶低群速的意義是錯誤的，簡單化地講“群速不是信息速度”是不妥的。②只要vg、ng在頻帶△ω中不變化，信號傳輸不失真條件就得到滿足，群速代表信號(以及信息)傳送的快慢這一點就不成問題，群速自身定義也更具可靠性。③群速超光速的實驗結果，如vg/c足夠大，能量傳送速度亦可能超光速。④既然負群速比任何正群速(包括無限大速度)都大，從邏輯上講凡是實現了負群速的實驗結果都實現了信息速度超光速。

對于以上各點，最后一條或許會引起爭議。其實這與“負溫度”概念是相似的。在2009年出版的《大百科全書·物理學》[31]中指出：“負溫度狀態比正溫度狀態更熱；負溫度比正溫度要高”；既如此，“負速度比任何正速度更快”也就不難理解了。重要之點在于要看到近年來對負群速及負群時延的實驗研究已擴大到寬廣的頻域，低端可為短波及更低頻率，高端可為微波乃至光頻。實驗既可用增益媒質完成，又可僅靠無源媒質而實現。實驗結果往往呈現出共同的規律，無論對超光速研究或物理學中的負參數探索都帶來豐富的啟迪。

7 結束語

對負群速及負群時延的研究已有漫長歷史——如從1914年A.Sommerfeld和L.Brillouin[22]提出經典波速理論算起，至今已將近百年。如從1907年A.Einstein[32]發表否定負速度和超光速信號速度可能性的論文算起，則已超過百年。多年來人們從理論上和實驗上作了許多新的研究，其結果不僅證明負群速和負群時延存在，確定了負群速是比超光速群速還要快的波速度。不僅如此，我們的分析表明超光速通信(即信息速度vs>c)不但可能，或許它是在某些負群速實驗中已經實現的現實。

2012年9月19日美國《Time》周刊網站稱[33]：“NASA actually working on faster-than-light warp drive”( 9月21日中國《參考消息》報刊出時題為“NASA 著手研究超光速曲速引擎”)。這表示美國航天局已經安排專家在研究超光速宇宙航行的問題，證明筆者過去發表的觀點是正確的。這就給了我們精神上的鼓舞和科學上的期望。

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AbnormalEM-wavesPropagationinPassiveMedia

HUANG Zhi-xun

(Information Engineering School，Communication University of China，Beijing 100024)

Recently，there has been interest in modifying the group velocity of optical pulses，resulting in stopped，slow，and fast (superluminal)light.According to the physical theory，“fast light” appears in the anomalous dispersion medium，and then it so called “fast light medium”.There are many experimeuts to produce fast light，this situation opens up new perspectives for the so called “dispersion engineering”.For example，signal propagating with a group velocity that exceeds the speed of light in vacuum(c) is intriguing for scientists.And then，the traveling of short wave pulses，microwave pulses and light pulses with group velocityvg，whose values exceed infinity，so called negative group velocity(NGV) propagation.Such circumstance occurs when the peak of a pulse traveling through DUT，exits before the peak of the input pulse has reached the beginning of DUT.This effect is counterintuitive，but it is a discover under the experimental basis.When the group velocity of light in a material is negative，it is the NGV medium.

The definition of signal velocity by Brillouin，mathemalical meaning exceeds physical meaning.We argue that undistorted wave group(wave packet) propagation are the first consideration.According to this viewpoint，the theoretical analysis show that superluminal propagation (i.e.superluminal communication) was observed by authors of many NGV researchers.……The superluminal group velocity wave propagation，the negative group velocity wave propagation——each of the two cases has its own use.Now，scientists do research works in these fields： such as optical communication，squeezed light and quantum entanglement.The condusion tell us that，a hight efficiency and low-loss fast light scheme may explore potential applications.

negative group delay time; negative group velocity; passive medium; fast light

2012-11-12

黃志洵(1936-)，男(漢族)，北京市人，中國傳媒大學教授、博士生導師，中國科學院電子學研究所客座研究員.

O412

A

1673-4793(2013)01-0004-17

(責任編輯：宋金寶)