新產品銷售收入回歸曲線與產品生命周期曲線關系模型——以河南省大中型工業企業為例

胡 弘 河南省科學技術信息研究院，河南鄭州450003

新產品銷售收入是指企業在主營業務收入和其他業務收入中銷售新產品實現的收入。新產品銷售收入可以直接反映企業在科技研發新產品的情況，對于一個地區來講，也從一個方面反映該地區企業產品創新發展周期、更新換代頻率和市場競爭能力等。本文，我們對河南省1999-2010年統計的大中型企業新產品銷售收入統計數據進行了研究，回歸得出三次曲線。產品生命周期理論描述的是一種新產品從開始投放市場到被淘汰的全部過程，該理論由美國哈佛大學教授雷蒙德!弗農(Raymond Vernon)1966年在其《產品周期中的國際投資與國際貿易》一文中首次提出的[1]。由于新產品有生命周期，其生命周期的發展過程的某個階段有可能影響到新產品銷售收入的統計。在統計多種新產品銷售收入時，由于統計年限的不同，各種新產品的生命周期變化也會不同。因此，我們選取一些特定條件，建立一個將三次曲線與產品生命周期曲線相聯系數學模型，以期對新產品銷售收入的統計結果的進一步的解釋。

1 回歸曲線

根據統計年鑒，我們選取了一組河南省大中型工業企業1999-2010年新產品銷售收入相關數據[2]，見表1。

考慮新產品銷售收入逐年變化作為一組時間序列，時間坐標軸用t 表示，用數字1～12表示1999～2010年。用統計軟件對新產品銷售收入進行三次曲線回歸分析，結果表明，R2值為0.997，說明與三次曲線模型的擬合度非常好，而且 F檢驗結果Sig值遠小于0.01，模型成立的統計學意義非常顯著。所以，根據參數估計值列出三次曲線的回歸模型為：

式（1）中，x新產品銷售收入，t為年，初始值為1999年時，t0=1，公式的單位為億元。三次曲線和實際值的吻合情況如圖1所示（圖中的小三角表示實際值）。

表1 河南省1999～2010年大中型工業企業新產

圖1 三次曲線和實際值的吻合情況

如果對這個曲線在每一年的點上做切線，可以看到每一年的增長速度是不同的，增長速度可以對式（1）求一階導數得到：

在式（2）中，當t>3后，增長速度x’呈逐年增加的勢態，也從一個方面表明河南省科技實力逐年增強，導致新產品銷售收入增長不斷加快。

2 三次曲線與產品生命周期曲線的關系模型

新產品銷售收入一般統計的是被認可的新產品，有一定的時間階段。如果統計新產品的年限僅為1年，超過1年就不再統計，那么，統計的新產品數量的變化就是三次曲線。根據有關規定[3]，生產資料類自投產起3年內的產品都屬于新產品的范圍；消費類自投產起2年內的產品都屬于新產品的范圍。因此，就需要將在2-3年的范圍中產品生命周期曲線的變化考慮進去。

作為一個時間序列，產品生命周期過程可以分成4個階段：介紹期(或引入期)、成長期、成熟期和衰退期。考慮統計年限是在成長期中。首先，將一種新產品在成長期的銷售收入也近似表示為三次曲線，列出方程為：

式（3）中，xD為一種產品的銷售收入，a0,a1，a2,a3為系數。考慮新產品銷售收入是n個產品的銷售收入之和，設每種產品銷售收入都滿足式（3），并且n是常數，總的新產品銷售收入為：

考慮在時間序列中，每年增加一些新產品，淘汰一些產品，就需要對式（4）進行修改。考慮產品的統計年限為3年，成長期變化在這3年都被統計進來，那么，在t統計年，前1-2年進入統計的產品銷售收入的成長期變化已經經歷1～2年。設在t統計年新增加產品數量為△n(t)，統計出的總的新產品銷售收入為：

考慮式（5）中的變量為離散變量，在t統計年產品生命周期成長期小于1年的還沒有進入統計，超過3年的被淘汰，不再統計。在t統計年的統計的產品數量總數為：

由于xD(i)（i是統計年限中的某一年）與時間變量無關，在式（5）中可以看作常數，將式（5）與式（1）對比，結果是△n(t)和n(t)都是三次曲線，經過比較后可以計算出公式系數。這里要說明的是要滿足新產品銷售收入呈三次曲線的增長，統計的新產品數量也要呈三次曲線增長，產品生命周期曲線的形狀可以是任意的，不影響新產品銷售收入的三次曲線的形成，只影響三次曲線的大小和形狀。

當統計年限為1年，由式（5）可以得出，統計的產品數量變化也是三次曲線。

3 結語

綜上所述，河南省大中型企業新產品銷售收入作為時間序列雖然時間區間較短，但是在較少的統計點上卻得到統計意義明顯的模型。在三次曲線的解釋上，我們設定一些特定條件將其與產品生命曲線理論相聯系。從式（5）可以看出，增加式（5）的項數也就是延長產品的生命周期的成長期，可以增加新產品的銷售收入。在統計過程中，每種產品銷售收入不盡相同，我們可以取一種產品的銷售收入為一個基本單元，其他的是它的數倍，這樣式（5）也成立。分析表明，新產品銷售收入在短期內可能受到產品生命周期變化的影響，但是不具有長期效應。要保持新產品銷售收入的快速增長，必須要培育新的經濟增長點，依靠科技創新，發展數量更多、效益更好的新產品。

[1]MBA智庫百科.產品生命周期理論[EB/OL].http://wiki.mbalib.com/wiki.2013-3-22.

[2]河南省統計局等.2010河南科技統計年鑒[M].鄭州：河南省統計局等編，2011.

[3]MBAlib.國家認定企業技術中心2004年度交流材料[EB/OL].http://doc.mbalib.com/view/cca00 1e81d4d338d89552b108f31467e.html.2013-5-18