豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型分析

柴彥龍

高中物理教學(xué)中，豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題較為常見(jiàn)。相關(guān)內(nèi)容也是學(xué)生普遍感覺(jué)到難以理解、難以處理的。本文中就此問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)，希望對(duì)廣大物理教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)有所啟發(fā)。

豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)一般是變速圓周運(yùn)動(dòng)（帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)除外），運(yùn)動(dòng)的速度大小和方向在不斷發(fā)生變化，運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，合外力不僅要改變運(yùn)動(dòng)方向，還要改變速度大小，所以一般不研究任意位置的情況，只研究特殊的臨界位置──最高點(diǎn)和最低點(diǎn)。

一、兩類(lèi)模型——輕繩模型和輕桿模型

1.輕繩模型

運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在一輕繩的作用下繞中心點(diǎn)作變速圓周運(yùn)動(dòng)。由于繩子只能提供拉力而不能提供支持力。

所以：

（1）質(zhì)點(diǎn)過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件：質(zhì)點(diǎn)達(dá)最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力剛好為零，質(zhì)點(diǎn)在最高點(diǎn)的向心力全部由質(zhì)點(diǎn)的重力來(lái)提供，這時(shí)有mg=m，式中的vmin是小球通過(guò)最高點(diǎn)的最小速度。

（2）質(zhì)點(diǎn)能通過(guò)最高點(diǎn)的條件是v≥vmin=；

在最高點(diǎn)可能存在兩種情況：

（1）即由重力和拉力的合力提供向心力

（2）只有重力提供向心力

在最低點(diǎn)只有一種情況

繩上一定有拉力

2.輕桿模型

運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在一輕桿的作用下，繞中心點(diǎn)作變速圓周運(yùn)動(dòng)，由于輕桿能對(duì)質(zhì)點(diǎn)提供支持力和拉力，所以質(zhì)點(diǎn)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)受的合力可以為零，質(zhì)點(diǎn)在最高點(diǎn)可以處于平衡狀態(tài)。

所以質(zhì)點(diǎn)過(guò)最高點(diǎn)的最小速度為零，（臨界速度）

在最高點(diǎn)可能存在四種情況：

（1）當(dāng)v=0時(shí)，輕桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)有豎直向上的支持力，其大小等于質(zhì)點(diǎn)的重力，即N=mg；

（2）桿上彈力為零，由重力提供向心力v=

（3）當(dāng)v>，質(zhì)點(diǎn)的重力不足以提供向心力，桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)有指向圓心的拉力；即

（4）當(dāng)0

在最低點(diǎn)只有一種情況

桿上一定有向上的拉力

兩類(lèi)模型的最大區(qū)別在于，在圓周最高點(diǎn)能否提供向上的支持力。實(shí)際中可依據(jù)此判斷具體題目中物理情境下屬于哪種模型。

例1（07年全國(guó)2）如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑有軌道，由一段斜的直軌道與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R。一質(zhì)量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開(kāi)始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)。要求物塊能通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)，且在該最高點(diǎn)與軌道間的壓力不能超過(guò)5mg（g為重力加速度）。求物塊初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度h的取值范圍。

本題可歸類(lèi)于輕繩模型。

例2 如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠(yuǎn)小于R）固定，小球a、b大小相同，質(zhì)量相同，均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無(wú)摩擦運(yùn)動(dòng).兩球先后以相同速度v通過(guò)軌道最低點(diǎn)，且當(dāng)小球a在最低點(diǎn)時(shí)，小球b在最高點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（ ）

A.速度v至少為，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)

B.當(dāng)v=時(shí)，小球b在軌道最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力

C.當(dāng)小球b在最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力時(shí)，小球a比小球b所需向心力大5mg

D.只要v≥，小球a對(duì)軌道最低點(diǎn)壓力比小球b對(duì)軌道最高點(diǎn)壓力都大6mg

解：內(nèi)管可以對(duì)小球提供支持力，可化為輕桿模型，在最高點(diǎn)時(shí)，小球速度可以為零，由機(jī)械能守恒知mg2R=mvmin得vmin=2，所

以A錯(cuò)，mg2R+v02=mv2得v0=，此時(shí)=mg即重力剛好能提供

向心力，小球?qū)壍罒o(wú)壓力。最低點(diǎn)時(shí)的向心力為5mg，向心力相差4倍，B對(duì)，C錯(cuò)，最高點(diǎn)F1=m-mg，最低點(diǎn)F2=m+mg

由機(jī)械能守恒有mv12+mg2R=mv22，所以F2-F1=6mg，D對(duì)。

本題可歸類(lèi)于輕桿模型。在這兩類(lèi)基本模型的基礎(chǔ)上，還可進(jìn)行相應(yīng)的提高和升華。例如

在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，有一質(zhì)量為m、帶正電的小球，用長(zhǎng)為l的絕緣細(xì)線(xiàn)懸掛于O點(diǎn)，當(dāng)小球靜止時(shí)細(xì)線(xiàn)與豎直方向夾角為θ（如圖3）。現(xiàn)給小球一個(gè)垂直懸線(xiàn)的初速度，使小球恰能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。試問(wèn)：

（1）小球在做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在哪一位置速度最小？速度最小值為多大？

（2）小球在B點(diǎn)的初速度為多大？

解析：小球在做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，所受的重力和電場(chǎng)力均為恒力，這兩個(gè)力的合力大小為F=我們不妨把重力場(chǎng)與電場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)

叫做等效重力場(chǎng)，F(xiàn)叫做等效重力，小球在復(fù)合場(chǎng)中的等效重力加速度為g效==，其方向斜向右下方，且與豎直方向成θ角。小球在豎

直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由于只有等效重力做功（細(xì)線(xiàn)的拉力不做功），所以動(dòng)能與等效重力勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化，且總和保持不變，與重力勢(shì)能類(lèi)比可知，等效重力勢(shì)能mg效h=ΔEk，其中h為小球距等效重力勢(shì)能零勢(shì)面的高度。

（1）設(shè)小球靜止時(shí)的位置B為零勢(shì)點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能與等效重力勢(shì)能的總和不變可知，小球位于與B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的同一直徑上的A點(diǎn)時(shí)等效重力勢(shì)能最大，動(dòng)能最小，速度也最小.設(shè)小球在A點(diǎn)時(shí)速度為va，此時(shí)細(xì)線(xiàn)拉力為零，等效重力提供向心力，即

答案：（1）位于與B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的同一直徑上的A點(diǎn)，vB=。（2）豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)極其臨界問(wèn)題的模型是高中物理中極具代表性的問(wèn)題，能夠考察學(xué)生對(duì)能量、圓周運(yùn)動(dòng)、受力分析等知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。是高考中考察較多的問(wèn)題。希望本文能夠澄清大家在教學(xué)中的疑難。