填充式防護結(jié)構(gòu)彈道極限方程的多指標(biāo)尋優(yōu)

賈光輝 歐陽智江 蔣 輝 李 軒

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191)

隨著我國載人航天工程的發(fā)展，急需開發(fā)適合于我國航天器防護的填充式防護結(jié)構(gòu)[1].填充式防護結(jié)構(gòu)是在傳統(tǒng)Whipple防護結(jié)構(gòu)的緩沖板和后板之間增設(shè)了填充層織物，對二次碎片進行再次破碎和降速，以達到在有限空間內(nèi)提高防護效果的目的[2].國外的填充式防護結(jié)構(gòu)中，該填充層織物通常由Nextel陶瓷纖維和Kevlar高強度芳綸纖維組成[3].

在空間碎片超高速碰撞問題的研究中，彈道極限方程一直是最主要的研究內(nèi)容之一，也是航天器空間碎片撞擊風(fēng)險評估失效判斷的依據(jù)[4].當(dāng)前描述彈道極限方程預(yù)測能力的指標(biāo)主要包括總體預(yù)測率、安全預(yù)測率以及預(yù)測誤差平方和等.

目前國內(nèi)針對填充式防護結(jié)構(gòu)彈道極限方程的研究相對較少，主要借鑒國外方程的形式進行分析[5].由于國內(nèi)很難獲得Nextel陶瓷纖維材料，導(dǎo)致我國開發(fā)的填充式防護結(jié)構(gòu)在材料上和國外有很大的區(qū)別.目前國內(nèi)一些研究機構(gòu)主要以SiC和玄武巖等作為Nextel陶瓷纖維的替代材料[6].

此外，國內(nèi)填充式防護結(jié)構(gòu)的緩沖板和艙壁材料與國外也存在一定的差異，從而國外的彈道極限方程很難直接應(yīng)用于國內(nèi)填充式防護結(jié)構(gòu)的風(fēng)險評估.

為了獲得適用于國內(nèi)填充式防護結(jié)構(gòu)的彈道極限方程，可以考慮在國外方程的基礎(chǔ)上，采用國內(nèi)的實驗數(shù)據(jù)進行修正，以期獲得預(yù)測指標(biāo)最優(yōu)的彈道極限方程.

1 NASA填充式彈道極限方程簡介

NASA工程師Christiansen等人于1995年提出了一種填充式防護結(jié)構(gòu)彈道極限方程的通用形式[7]，該方程的具體形式如下:

低速段:當(dāng)V≤2.7/(cosθ)0.5時

高速段:當(dāng)V≥6.5/(cosθ)1/3時

式中，dc為臨界彈丸的直徑;V為彈丸的撞擊速度;θ為彈丸的撞擊角度;ρp為彈丸的密度;S為前后板間距;tw為后板厚度;ρw為后板密度;σw為后板的屈服強度;mb為前板與填充層織物總的面密度.

對于中速段內(nèi)的彈道極限方程，即當(dāng)2.7/(cosθ)0.5＜V＜6.5/(cos θ)1/3時，由高速段與低速段線性插值得到.

2001年，Christiansen在以上填充式防護結(jié)構(gòu)彈道極限方程的基礎(chǔ)上，對其低速段和高速段的速度拐點、低速段的整體系數(shù)以及個別參數(shù)的指數(shù)進行修正，獲得了適用性更強的彈道極限方程[8].修正后的填充式防護結(jié)構(gòu)彈道極限方程為

低速段:當(dāng)V≤2.6/(cosθ)0.5時

高速段:當(dāng)V≥6.5/(cosθ)3/4時，dc延用式(2).

對于中速段的彈道極限方程，即當(dāng)2.6/(cosθ)0.5＜V＜6.5/(cos θ)3/4時，同樣由高速段與低速段線性插值獲得.

2 方程對國內(nèi)實驗數(shù)據(jù)的預(yù)測

國內(nèi)對填充式防護結(jié)構(gòu)進行的超高速撞擊實驗相對比較少，相關(guān)的實驗中主要采用玄武巖或Kevlar作為填充織物，其中文獻[9]在Whipple防護結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上以11層Kevlar疊加作為單組填充，進行了12次超高速撞擊實驗，文獻[10]則以玄武巖纖維布作為填充織物進行了3次實驗.這些實驗都僅包含單組的填充織物，統(tǒng)稱為單填充組結(jié)構(gòu).

為更加清楚地展示國外的填充式彈道極限方程對國內(nèi)超高速撞擊實驗數(shù)據(jù)的預(yù)測情況，圖1繪出了NASA填充式彈道極限方程式(2)及式(3)對以上調(diào)研的國內(nèi)15個超高速撞擊實驗數(shù)據(jù)的預(yù)測分布.該圖稱為d/dc-V圖.

圖1 NASA填充式彈道極限方程對國內(nèi)數(shù)據(jù)的預(yù)測

從圖1發(fā)現(xiàn)，在15個數(shù)據(jù)點中，有11個后板失效的實驗數(shù)據(jù)，其中9個數(shù)據(jù)點處于d/dc=1上方，即實驗彈丸直徑比方程預(yù)測的臨界彈丸直徑大，方程預(yù)測其應(yīng)為失效，剛好與實驗結(jié)果一致，說明方程成功預(yù)測了9個失效的實驗數(shù)據(jù).同理，后板未失效的實驗數(shù)據(jù)有4個，其中3個處于d/dc=1下方，說明方程成功預(yù)測了3個未失效的實驗數(shù)據(jù).因此，國外方程對國內(nèi)15個實驗數(shù)據(jù)的總體預(yù)測率PTotal(PTotal=(9+3)/15)為80%，安全預(yù)測率PSafe(PSafe=1－(11－9)/15)為86.7%.可見，國外的填充式防護結(jié)構(gòu)彈道極限方程式(2)及式(3)對國內(nèi)的實驗數(shù)據(jù)具有一定的預(yù)測效果，只是預(yù)測率相對不高，需要進一步修正才能適用于我國的航天工程實際.

3 方程修正策略的探討

對比式(1)～式(3)發(fā)現(xiàn)，國外學(xué)者在修正方程時主要修正的是方程的整體系數(shù)以及個別參數(shù)的指數(shù)，因此，可以借鑒該方法對國外方程進行修正以獲得適用于國內(nèi)的方程.

若方程對失效和未失效實驗數(shù)據(jù)的預(yù)測分布在d/dc-V圖中沒有明顯的分界，則表明方程所反映的物理規(guī)律與實際不符，需要對其指數(shù)進行修正，否則僅需對方程的系數(shù)進行修正.

由圖1可見，實驗數(shù)據(jù)主要集中在低速段和中速段.在低速段內(nèi)，失效和未失效實驗數(shù)據(jù)之間有著明顯的分界，且d/dc=1的直線剛好將其分開，說明方程低速段對實驗數(shù)據(jù)的預(yù)測效果較好，僅需修正整體系數(shù)以提高預(yù)測精度.

在中速段內(nèi)，有1個未失效數(shù)據(jù)點處于失效數(shù)據(jù)之間，而d/dc=1的直線也將失效數(shù)據(jù)點隔開了，說明方程在中速段的預(yù)測效果不佳.由于失效數(shù)據(jù)點相對比較集中，故可以認為方程在中速段內(nèi)的形式所反映的物理規(guī)律與實際相符，僅需要修正其系數(shù).根據(jù)方程定義已知，中速段是由低速段和高速段線性插值獲得，因此對中速段系數(shù)的修正可以轉(zhuǎn)化為對低速段和高速段系數(shù)的修正.

基于上述分析，引入整體系數(shù)K1和K2，則待修正的填充式彈道極限方程可表示為

低速段:當(dāng)V≤2.6/(cosθ)0.5時

高速段:當(dāng)V≥6.5/(cosθ)3/4時

對于中速段的彈道極限方程，即當(dāng)2.6/(cosθ)0.5＜V＜6.5/(cos θ)3/4時，同樣由高速段與低速段線性插值獲得.

4 方程的修正

4.1 第1類指標(biāo)的修正

總體預(yù)測率PTotal和安全預(yù)測率PSafe反映的是方程成功預(yù)測實驗數(shù)據(jù)的概率，可以統(tǒng)稱為方程的第1類指標(biāo).

為保證獲得最優(yōu)的整體系數(shù)K1和K2，結(jié)合圖1的預(yù)測分布設(shè)定其變化區(qū)間為[0.5，1.5]，并采用窮舉法以0.01的步長進行搜索.

通過計算，最終PTotal隨K1和K2變化的等值線分布如圖2所示.由于實驗數(shù)據(jù)的有限性，導(dǎo)致以預(yù)測正確個數(shù)為基礎(chǔ)的PTotal隨K1和K2的變化呈現(xiàn)階躍的特征.

從圖2發(fā)現(xiàn)，PTotal較高的區(qū)域主要集中在圖中的下部靠中間位置，其最大值為93.3%.也就是說，為了獲得較高的PTotal，低速段系數(shù)K1取值應(yīng)在1左右而高速段系數(shù)K2應(yīng)比1小.

同理，圖3繪出了PSafe隨K1和K2變化的等值線分布情況，也呈現(xiàn)出階躍的特征.從圖中發(fā)現(xiàn)，左下角區(qū)域的PSafe取得較高值，其最大值高達100%，即實驗數(shù)據(jù)中所有失效的實驗點均被成功預(yù)測到.也就是說，為了獲得較高的PSafe，整體系數(shù)K1和K2都應(yīng)取較小值.

為了使新方程的第1類指標(biāo)較優(yōu)，將圖2和圖3中PTotal和PSafe取得較大值的等值線匯總在圖4中.可見，同時滿足PTotal=93.3%，PSafe=100%的整體系數(shù)K1，K2的組合有很多對，而實際中最優(yōu)的組合應(yīng)該是唯一的，因此有必要在此基礎(chǔ)上采用其他指標(biāo)尋找最優(yōu)的K1，K2組合.

4.2 第2類指標(biāo)的引入

較好的K1和K2除了能夠使方程成功預(yù)測更多的實驗數(shù)據(jù)外，還應(yīng)使沒有被成功預(yù)測到的實驗數(shù)據(jù)點距離直線d/dc=1更近，即預(yù)測誤差更小.因此，本節(jié)將選用預(yù)測誤差平方和作為方程的第2類指標(biāo)以尋求最為合理的K1和K2.

圖4 PTotal和PSafe聯(lián)合分布

文獻[11]給出了預(yù)測誤差平方和(即保守誤差)的定義:

式中，dci是由方程預(yù)測得到的第i個臨界彈丸直徑，dpi是實驗給出的第i個彈丸直徑，fi是方程預(yù)測第i個實驗數(shù)據(jù)的精確性(正確預(yù)測實驗結(jié)果時取0，反之取1).該指標(biāo)的意義在于僅針對方程預(yù)測錯誤的實驗數(shù)據(jù)，而不考慮預(yù)測正確的情況.

通過計算，f隨K1和K2變化的等值線分布如圖5所示.可見，由于f表示的是距離大小，其等值線表現(xiàn)也較為光滑.從圖中發(fā)現(xiàn)，f較小值主要集中在中間區(qū)域，為獲得較優(yōu)的f值，K1和K2應(yīng)取1左右.

圖5 f隨K1和K2變化的等值線

綜合以上兩類指標(biāo)，將PTotal，PSafe和f的較優(yōu)值集中在圖6中，可見，在滿足第1類指標(biāo)最優(yōu)的K1，K2組合中有唯一的組合使f取得最小值(如圖中的五角星點)，此時K1，K2分別取1.01，0.86.

根據(jù)以上尋優(yōu)結(jié)果，修正后的填充式彈道極限方程可表示為

低速段:當(dāng)V≤2.6/(cosθ)0.5時

高速段:當(dāng)V≥6.5/(cosθ)3/4時

圖6 PTotal，PSafe和f聯(lián)合分布

中速段則由高速段與低速段線性插值獲得.

4.3 方程修正前后對比

利用修正后的方程重新對以上調(diào)研的國內(nèi)15個實驗數(shù)據(jù)進行預(yù)測，其預(yù)測分布如圖7所示.從圖中發(fā)現(xiàn)，除1個未失效的實驗數(shù)據(jù)沒有被成功預(yù)測到之外，其余數(shù)據(jù)均被成功預(yù)測.

方程修正前后的對比情況整理如表1，表中M'NotFailure表示方程正確預(yù)測的未失效個數(shù);MNotFailure表示未失效實驗數(shù)據(jù)的總個數(shù);M'Failure表示方程正確預(yù)測的失效個數(shù);MFailure表示失效實驗數(shù)據(jù)的總個數(shù).

圖7 新方程對國內(nèi)數(shù)據(jù)的預(yù)測

由表1已知，修正后方程的PTotal達到93.3%，比修正前提高了13.3%;而PSafe則高達100%，比修正前也提高了13.3%.可見，修正后方程的預(yù)測效果明顯優(yōu)于修正前，且最終的預(yù)測率指標(biāo)比較高，可以滿足工程實際的需要.

表1 單填充組方程修正前后對比

5 修正結(jié)果的驗證

以上分析獲得的新彈道極限方程針對的是單填充組的填充式防護結(jié)構(gòu)，而在工程實際中，有時為了提高填充式結(jié)構(gòu)的防護性能，經(jīng)常填充單組以上的填充織物或者采用不同材料搭配的填充方式.針對該情況，以上修正的方程是否依然適用，是否有必要重新進行修正，本節(jié)將進一步研究.

調(diào)研發(fā)現(xiàn)，文獻[9]中還將11層Kevlar分成兩組疊加(組間保持一定的間距)，作為雙組填充進行了10次超高速撞擊實驗，后又將其中第1組填充換為玄武巖纖維布進行了9次實驗.

采用與第4節(jié)類似的方法，基于新調(diào)研的19個雙填充組實驗數(shù)據(jù)重新對方程進行修正，其預(yù)測結(jié)果與采用單填充組修正方程的預(yù)測結(jié)果對比如表2所示.

表2 單填充組與雙填充組修正方程對比

由表2可見，單填充組修正方程對雙填充組實驗數(shù)據(jù)的PTotal不足60%，且PSafe不足90%，說明單填充組防護結(jié)構(gòu)彈道極限方程不適用于雙填充組的結(jié)構(gòu).相對而言，雙填充組修正方程的PTotal達到84.2%，預(yù)測能力有了較大的提升，只是其PSafe依然不足90%，說明該修正方式存在一定的不足.

為此，將以上兩類雙填充組結(jié)構(gòu)的實驗數(shù)據(jù)分開，分別采用第4節(jié)類似的方法對其方程系數(shù)進行修正，最終方程的預(yù)測結(jié)果與采用統(tǒng)一修正系數(shù)后的預(yù)測結(jié)果對比整理如表3所示.

表3 雙填充組方程分別修正前后對比

由表3可見，單一填充材料修正后方程的PTotal達到90%，PSafe高達100%，其預(yù)測能力較統(tǒng)一修正時有了很大的提升.對于兩種填充材料而言，統(tǒng)一修正與單獨修正后方程的PTotal和PSafe都分別一樣，說明單獨修正后只是降低了f值.因此，根據(jù)不同的填充材料分別修正方程的系數(shù)可獲得相應(yīng)的最佳方程.

以上修正獲得的不同填充式防護結(jié)構(gòu)彈道極限方程的最優(yōu)系數(shù)表明，由于方程中沒有涉及填充組數(shù)目、填充物材料等相關(guān)參數(shù)，導(dǎo)致很難獲得針對每種填充式結(jié)構(gòu)都適用的最佳方程，只能根據(jù)特定結(jié)構(gòu)的實驗數(shù)據(jù)修正得到相應(yīng)的最優(yōu)方程系數(shù).

對比單填充組、單一材料的雙填充組以及兩種材料的雙填充組結(jié)構(gòu)修正后的最優(yōu)系數(shù)K1，K2發(fā)現(xiàn)，在結(jié)構(gòu)參數(shù)及填充材料面密度都分別相同的前提下，單填充組結(jié)構(gòu)在低速段內(nèi)的防護能力優(yōu)于雙填充組結(jié)構(gòu)，而高速段內(nèi)則雙填充組結(jié)構(gòu)較優(yōu).對雙填充組結(jié)構(gòu)而言，兩種填充材料的防護能力在整個速度區(qū)間都優(yōu)于單一填充材料.

6 結(jié)論

本文基于國內(nèi)填充式防護結(jié)構(gòu)超高速撞擊的實驗數(shù)據(jù)，對NASA填充式防護結(jié)構(gòu)的彈道極限方程進行修正，結(jié)果發(fā)現(xiàn):

1)采用兩類指標(biāo)聯(lián)合修正的方法可獲得適用于我國航天工程特定填充式結(jié)構(gòu)的彈道極限方程;

2)針對不同類型的填充式防護結(jié)構(gòu)，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)分別修正可獲得專業(yè)性較好的彈道極限方程;

3)在填充材料面密度相同的前提下，雙填充組結(jié)構(gòu)在高速段內(nèi)的防護能力優(yōu)于單填充組，而低速段內(nèi)則單填充組結(jié)構(gòu)較優(yōu).

4)下一步擬對本文涉及的3種填充式結(jié)構(gòu)的特點進行研究，以確定預(yù)測效果較好的統(tǒng)一形式的方程.

本文主要針對填充式防護結(jié)構(gòu)的彈道極限方程進行了多指標(biāo)修正建模工作，對論文中所用實驗數(shù)據(jù)的作者和單位表示感謝.

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