多線性位勢型算子的一類加權(quán)不等式

郭景芳， 王會敏， 滑軍麗

(1.河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018；2.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 河北石家莊 050024)

設(shè)Φ是Rn上的非負(fù)局部可積函數(shù)，滿足下面弱增長條件：存在常數(shù)δ,c>0,0≤ε<1,使得對所有k∈Z有

(1)

對可測函數(shù)f，定義位勢型算子TΦ：

對于Φ滿足條件(1)的位勢型算子ΤΦ，Pérez給出了強型(p,q)雙權(quán)不等式成立的充分條件[1]。

下面給出與Young函數(shù)有關(guān)的一些基本概念及記號，詳見文獻[3]。如果B：[0，∞)→[0,∞)為凸的遞增連續(xù)函數(shù)，滿足B(0)=0,B(t)→∞,t→∞,則稱B為Young函數(shù)。

給定一個Young函數(shù)B,Q為Rn中的方體，定義f在Q上的平均Luxemburg范數(shù)為

(2)

本文主要用到的Young函數(shù)是B(t)=t(1+log+t)δ,δ>0。對于這個Young函數(shù)，本文表示f在方體Q上的Luxemburg范數(shù)為‖f‖L(logL)δ,Q,Orlicz極大函數(shù)為ML(logL)δf。

1 幾個引理

為得到本文的主要定理，先給出幾個引理。

引理1[2]設(shè)Φ為滿足條件(1)的非負(fù)局部可積函數(shù)，令f和g為具緊支集的非負(fù)有界函數(shù)，μ是非負(fù)且緊支集上有限的測度，令a>2n則存在一列方體{Qk,j}和一列互不相交的子集{Ek,j},Ek,j?Qk,j,使

(3)

對所有k,j成立，且

(4)

(5)

證明本文利用不等式(4)及v∈RH∞,其中g(shù)=w,dμ(x)=v(x)dx:

由{Ek,j}的性質(zhì)，有v(Qk,j)≤Cv(Ek,j),又由于集族{Ek,j}互不相交且Ek,j?Qk,j有：

引理3[4]令g為使Mg a.e有限的任一函數(shù)，則(Mg)-α∈RH∞,α>0。

2 主要結(jié)論

1)若0

(6)

成立；

2)若p>1,則對任意的權(quán)函數(shù)w，存在常數(shù)C使得：

(7)

成立。

證明首先證明0

其中對任意δ>0，本文用到了Lebsgue微分定理。由于文獻[6]有下列結(jié)論：若w∈A1,則w-1∈RH∞;若w∈RH∞,則wλ∈RH∞,λ>0。本文對權(quán)M(gδ)-1/δ用引理2和引理3,繼續(xù)不等式

那么只需證明‖M(gδ)-1/δ‖Lp′(w)≥‖g-1‖Lp′(Mw),因為p′<0，這等價于證明

但若選擇0<δ

1,由Fefferman和Stein的經(jīng)典加權(quán)不等式[7-10]:

立即可得式(6)。

當(dāng)p=1時由引理2(v≡1)即可得式(6)成立。

下面證明p>1的情形。

首先證明下面的不等式成立，

(8)

由p=1得：

由一般H?lder不等式,對于適當(dāng)?shù)腨oung函數(shù)Ψ待定，繼續(xù)不等式

所以有式(7)成立。此時定理1證完。

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