加權相位差分測頻算法及其工程應用

王曉君，安國臣，張秀清

在偵察接收機信號處理系統中，需要從數字信道化后的實時數據流中得到信號的載波頻率。由于信道化后得到的是實時數據流，數據流中所包含信號的信噪比有很大不同，故所采用的算法應該首先具有實時處理能力，其次在低信噪比情況下也能有較好的測頻精度。

工程中應用的測頻方法有許多[1-6]，其中Kay測頻算法是一種基于最小均方誤差的相位差分頻率估計法，它在高信噪比復信號(復指數信號加高斯白噪聲)時，頻率估計方差可以達到Crammer-Rao(CR)界。

首先給出Kay測頻算法的測頻原理，然后通過仿真與其他測頻方法進行比較，給出不同信噪比情況下的性能比較，最后論述在工程應用中如何改進算法性能，如何降低Kay測頻算法的信噪比閾值以及探討基于FPGA的工程實現方法。

1 算法原理

疊加復高斯白噪聲的復正弦信號的N個觀測值可以表示為[1]

xk=Aej(ω0k+θ)+nk，k=0,1,…,N-1，

(1)

將式(1)重寫為

(2)

,

(3)

式(2)可寫為

xk?Aej(ω0k+θ+vk),k=0,1,…,N-1,

∠xk=ω0k+θ+vk,k=0,1,…,N-1。

(4)

在式(4)的基礎上，Kay提出了一種可達到CR界的加權差分算法。相位差定義為

Δk=∠xk+1-∠xk，

即

Δk=ω0+vk+1-vk,k=0,1,…,N-2。

(5)

從式(5)可知，問題轉化為從有色高斯噪聲過程中估計ω0的均值。該隨機過程等效成一個系數為1和-1的滑動平均模型。因此ω0的最大似然估計等效于線性模型的最小方差無偏估計，即最小化J，

頻率的估計為

(6)

可以證明估計的方差為

(7)

協方差矩陣C為

是一個三對角矩陣，有

經過一定的運算得到

式中：

從而由式(6)得頻率的估計為

頻率估計可進一步寫成

(8)

估計方差為

估計方差剛好等于CR界。wk是一個關于點k=N/2-1對稱的窗函數。之所以估計能夠達到CR界，完全歸功于窗函數的選擇。

2 測頻算法的性能仿真

圖1 Kay算法的測頻誤差(ω0=0.4π)Fig.1 Frequency measurement error of Kay algorithm (ω0=0.4π)

以單頻信號為例，分析不同數據長度、信噪比及信號頻率時Kay算法的測頻精度。圖1給出在固定信號頻率(ω0=0.4π)下，采用不同數據長度，在不同信噪比時的算法性能。通過仿真分析發現，同一信號頻率下，增加參與估計的數據長度可以提高測頻精度。同時，可以發現Kay算法存在明顯的信噪比閾值。只有當信號的信噪比大于這個閾值時，測頻的精度才可逼近CR界。

另外，Kay算法對不同信號頻率的測頻誤差是不同的，當ω0接近于π時，測頻誤差明顯增加，這時就需要較高的信噪比來提高測頻精度。這是因為當ω0接近被測頻率的估計范圍[-π π]兩端時，相位差分結果Δφ(n)出現相位折疊的概率大大增加，從而導致運算誤差。

圖2 4種實時測頻算法的性能比較(N=32，ω0=0.4π)Fig.2 Performance comparison of four kinds of real-time algorithm for frequency measurement (N=32, ω0=0.4π)

圖2給出Kay算法與曲線擬合法、擴展Prony法和高階相位差法的測頻性能比較。仿真條件為數據長度N=32，單頻信號且ω0=0.4π，高階相位差分的階次取為10。通過仿真分析發現，Kay算法和高階相位差法在信噪比大于信噪比閾值的情況下都可以達到CR界，但擴展Prony法和曲線擬合法始終無法達到CR界，相差5～6 dB。在處理單頻信號時，可見Kay算法和高階相位差法在性能和運算復雜度上相當。但是對于頻率調制信號，用高階相位差法進行處理復雜度就會增加。在處理相位編碼信號時需用相鄰相位差來剔除野值，Kay算法相比高階相位差法而言運算復雜度要小。綜合分析，這4種算法中以Kay算法的總體性能最優。

3 應用研究

Kay相位差分頻率估計算法是針對復指數信號模型提出的，要求系統使用正交采樣技術。首先根據復采樣點值計算出對應的相位角，再根據確定的權值進行差分加權，即可估計出復信號的頻率。影響頻率估計精度的參數有信噪比和參與運算的采樣點數。要減小頻率估計的均方誤差，總的說來，應該是信噪比和采樣點數都取的大些，但在實際應用中，需要考慮短數據和有限信噪比的情況。

3.1 改進Kay算法的一般方法

一種改進算法是自適應門限的解卷疊算法。由于一般的相位解卷疊算法是以π和-π為解卷疊門限的，因此在高頻端由于容限越來越小，從而造成高頻端測頻性能的下降。而改進的相位解卷疊算法采用自適應門限，算法如下：

(9)

另一種改進算法是剔除野值。使用相位差的均值作為剔除野值的依據，一般是在此均值的基礎上再設定一個接受范圍(例如取±π/2)，超出此范圍的相位差被視為野值，該值被剔除并用平均相位差來代替。尤其針對二相編碼信號進行的剔除野值處理是必需的。

以上2種改進算法增加的處理負擔不大，但卻具有較好的改善效果，適合在工程中應用。

3.2 提高Kay算法的檢測閾值

Kay算法存在信噪比檢測閾值，造成存在檢測信噪比閾值的原因可以歸納為2方面的問題[7-8]：1)相位差分算子的相位折疊誤差，使得信噪比閾值隨被測頻率的大小而變化；2)Kay算法本身存在信噪比閾值。當信噪比小于6.5 dB時，相位差不再符合高斯分布，用最小二乘法處理就不能再獲得最優解，因此即使不考慮相位折疊誤差，要想達到CR界，也存在約6.5 dB的信噪比閾值。

FITZ，LUISE和REGGIANNINI(L&R)提出應用接收信號的自相關系數進行頻率估計的方法。實際上FITZ的估計是一種相差加權平均，L&R的估計是一種加權線性預測。但由于這兩種方法在相位提取時，在高頻區造成了不可恢復的相位混疊，雖然改善了方差閾值但縮小了估計范圍，同時也使得實現難度增 加[9-10]。

工程實現時，可應用濾波器法降低Kay算法的信噪比閾值[9-14]。方法是在用相位差分進行頻率估計之前，用簡單的FIR濾波器處理輸入信號，提高信噪比，達到降低信噪比閾值的目的。例如，當使用2階濾波時，由式(1)，設ak=(xk+xk-1)/2,k=1,2，…，N-1，則ak的信噪比比原信號提高3 dB，經推導可得相位差分：

(10)

根據式(10)，再利用最小二乘法可得到與式(6)相類似的頻率估計子。通過K階濾波器，信號信噪比提升10lgK，則檢測閾值就降低10lgK，但頻率估計范圍會變為原來的1/K。濾波器法在工程實現上具有優勢，其濾波環節可插在原算法測頻模塊的前邊。雖然加權窗與原Kay法不同，但是可預先計算出來，并存儲在ROM存儲器中。

3.3 基于FPGA的實現方法

從實現角度講，基于FPGA實現Kay相位測頻法要解決的問題有[15-17]：1)為了提高精度，參與測頻的數據點數應該盡可能的多，可根據實際情況設置可變點的測頻處理，點數不同，加權系數就不同；2)數據流是實時動態的，計算過程中不可能存儲太多的點，輸出測頻結果也需要是實時的。

圖3 Kay相位差分算法實現Fig.3 Implementation of Kay phase difference algorithm

一種基于FPGA的Kay相位差分測頻法的實現框圖如圖3所示。測頻單元可實現8，16，32及64點測頻。不同點數下的Kay加權系數，可預先存儲在系數存儲器中。由啟停控制信號來控制一個測頻周期的開始與結束，并負責將累加器及系數存儲器地址計數器清零。

圖3所示框圖沒有考慮資源復用，適合于測頻點數預先不確定的場合。由于共有4路測頻單元，每一路測頻單元需要4個乘法器，因此為實現上述算法，需要FPGA中的乘法器數目為4×4=16個。需要的存儲器數目為4+8+16+32+64=124個。與其他3種測頻算法比較，加權相位差分算法與高階相位差分算法復雜度相當，且非常適合于FPGA的實現，而擴展Prony法與曲線擬合法算法復雜，只適宜于軟件實現。

4 結 語

Kay加權相位差分測頻算法是一種非常適合于短數據、有實時要求的測頻算法。當信號的信噪比大于檢測閾值時，其均方誤差逼近CR界。介紹了Kay算法原理，對算法性能進行了仿真分析，給出了工程應用中應重點考慮的提高兩端測頻精度及降低檢測信噪比閾值的問題，并且給出了基于FPGA的實現框圖。Kay算法可對輸入的連續數據流進行實時測頻，可被廣泛應用于通信/雷達偵察接收機中的信號實時測頻中，尤其是信道化后的信道數字測頻中。在工程應用中，該算法取得了較好的使用效果。

參考文獻/References:

[1] JENSEN J R,GLENTIS G, CHRISTENSEN M G,et al. Computationally efficient IAA-based estimation of the fundamental Frequency [A]. Signal Processing Conference (EUSIPCO), 2012 Proceedings of the 20th European[C]. Bucharest:[s.n.], 2012.2 163-2 167.

[2] 熊 鷹, 梁樹雄, 尹俊勛. 高斯白噪聲中單頻復正弦信號頻率估計[J].通信學報, 2002, 23(1):26-30.

XIONG Ying, LIANG Shuxiong, YIN Junxun. Frequency estimation of single complex sinusoid in white Gaussian noise signal [J]. Journal of China Institute of Communications , 2002, 23(1):26-30.

[3] 牛鵬輝, 涂亞慶, 張海濤. 一種實正弦信號的短時頻率估計新方法[J].電子測量與儀器學報, 2007, 21(6):41-46.

NIU Penghui, TU Yaqing, ZHANG Haitao. New method of short-time frequency estimation for real sinusoid [J]. Journal of Electronic Measurement and Instrument, 2007, 21(6):41-46.

[4] 張昌菊, 唐 斌. 一種雙正弦信號的快速頻率測量方法[J].電子與信息學報, 2005, 27(10):1 586-1 587.

ZHANG Changju, TANG Bin. Fast frequencies measurement method for dual sinusoidal signals [J]. Journal of Electronics and Information Technology, 2005, 27(10):1 586-1 587.

[5] 韓仲祥, 夏靖波, 王元一,等.高斯白噪聲中單頻復正弦信號頻率估計新方法[J].空軍工程大學學報(自然科學版), 2003, 4(3):69-71.

HAN Zhongxiang, XIA Jingbo, WANG Yuanyi, et al. A new method for frequency estimation of single complex sinusoid in white gaussian noise [J]. Journal of Air Force Engineering University(Natural Science Edition), 2003, 4(3):69-71.

[6] XIAO Y C, WEI P,XIAO X C,et al. Fast and accurate single frequency estimator[J]. Electronics Letters, 2004, 40(14):910-911.

[7] 舒 汀, 趙衛宏, 陸錦輝. 短序列條件下快速頻率估計性能分析[J].系統工程與電子技術, 2006, 28(10):1 509-1 512.

SHU Ting, ZHAO Weihong, LU Jinhui. Performance analysis for fast frequency estimation with short sequences [J]. Systems Engineering and Electronics, 2006, 28(10):1 509-1 512.

[8] 楊寶強, 劉蒼毅, 朱林戶. 基于相位差分的Kay法SNR閾值分析及改進[J].空軍工程大學學報(自然科學版), 2005, 6(4):34-36.

YANG Baoqiang, LIU Cangyi, ZHU Linhu. The threshold analysis of Kay's method and improvement [J]. Journal of Air Force Engineering University (Natural Science Edition), 2005, 6(4):34-36.

[9] SO H C. Subspace approach for fast and accurate single-tone frequency estimation [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(2):827-831.

[10] CAI Hong. Fast frequency measurement algorithm based on zero crossing method[J]. IEEE Computer Engineering and Technology, 2010, 4: 606-608.

[11] SALCIC Z. An improved taylor method for frequency measurement in power systems[J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2009,58 (9) :3 288-3 294.

[12] KIM D,NARASIMHA M J,COX D C. An improved single frequency estimation[J]. IEEE Signal Processing Letters, 1996, 3(7):212-214.

[13] MCCORMICK W S, LANSFORD J L.Time domain algorithm for the estimation of two sinusoidal frequencies[J].IEE Proceedings Vision Image and Signal Process, 1994,141(1):33-38.

[14] KUSLJEVIC M D. A simple recursive algorithm for simultaneous magnitude and frequency estimation[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2008,57(6):1 207-1 214.

[15] 王曉君, 陳 禾, 羅躍東. 一種EW接收機信號處理系統的設計與實現方法[J]. 河北科技大學學報, 2007, 28(2): 142-149.

WANG Xiaojun, CHEN He, LUO Yuedong. Design and implementation of signal processing system for electronic warfare receiver [J]. Journal of Hebei University of Science and Technology, 2007, 28 (2): 142-149.

[16] 張 鵬, 張昌菊, 唐 斌. 快速雙正弦信號頻率估計的FPGA實現[J].電子對抗技術, 2005, 20(6):15-17.

ZHANG Peng, ZHANG Changju, TANG Bin. Fast frequency estimation of dual tones implemented by FPGA [J]. Electronic Warfare Technology, 2005, 20(6):15-17.

[17] 張 鵬, 王更辰, 何 偉. 一種快速測頻算法及其FPGA實現[J].空軍工程大學學報(自然科學版), 2005, 6(4):74-76.

ZHANG Peng, WANG Gengchen, HE Wei. An algorithm of fast frequency estimation and the FPGA's realization[J]. Journal of Air Force Engineering University (Natural Science Edition), 2005, 6(4):74-76