具有輸入時滯與狀態時滯的非線性不確定奇異系統的保性能控制

王 坤，崔 棟

(燕山大學理學院，河北秦皇島 066004)

近年來，不確定系統的保性能控制的問題引起了人們的關注。研究的目的是對不確定系統設計一個控制器，使得其閉環系統不僅對所容許的不確定性漸近穩定，而且相應的閉環系統的性能指標不大于指標上界。正常系統的保性能控制器的研究已有許多成果[1-6]。對于奇異系統可以更好的描述實際物理過程，所以對奇異系統的保性能控制的研究更有意義。文獻[7]—文獻[9]對于線性奇異系統的保性能控制問題有了一定的發展，文獻[10]研究了廣義系統的時滯相關非脆弱H∞保成本控制，文獻[11]—文獻[12]利用Lipschitz條件設計了魯棒H∞保性能控制器,文獻[13]研究了一類不確定非線性奇異系統的保性能控制，未對輸入時滯進行研究。但目前對于均具有狀態時滯與輸入時滯的不確定奇異系統的非線性擾動的問題的研究還不多見，本文針對這一類非線性不確定奇異時滯系統，基于Lyapunov穩定性理論，線性矩陣不等式以及基本不等式方法設計了閉環系統的保性能控制器，使得閉環系統二次穩定且具有H∞抑制水平γ，保性能的性能指標不大于指標上界。

1 問題描述與預備知識

(1)

其中：x(t)∈Rn,u(t)∈Rm分別為系統的狀態向量和控制向量；ω(t)∈Rp為外界干擾輸入向量；z(t)∈Rq為受控輸出向量；通常矩陣E∈Rn×n為奇異矩陣，A,Ad,B1,B2,C為適當維數的已知常數矩陣，h為不確定的、非時變的狀態時滯，滿足0≤h≤h*,h*為時滯h的已知上界；ΔA,ΔAd,ΔB1為時變參數不確定性。

假設參數不確定性是可測的，并具有如下形式：

[ΔAΔAdΔB1]=DF(t)[E1E2E3],

(2)

其中：D,E1,E2,E3是適當維數的已知常數矩陣，F(t)∈Ri×j為時變未知實矩陣，Lebesgue可測且滿足FT(t)F(t)≤I。

非線性擾動f(t,x(t),x(t-h))為時變、含有狀態和時滯狀態的耦合函數具有如下結構：

fT(t,x(t),x(t-h))f(t,x(t),x(t-h))≤

(3)

其中H1,H2,H3是已知的定常結構矩陣。

定義1系統(1)所對應的性能指標是：

(4)

其中：R1,R2為給定的對稱正定加權矩陣。

定義2對于系統(1)和性能指標函數，若存在狀態反饋控制器：

u(t)=Kx(t),K∈Rm×n，

(5)

將狀態反饋控制器代入系統(1)，導出的閉環系統為

(6)

對于系統(1)和性能指標(4)，若存在反饋控制律u(t)和一個正數J*，使得對所有允許的非線性擾動f(t,x(t),x(t-h))和所有允許的不確定性，相應的閉環系統(6)是魯棒漸近穩定的且閉環系統的性能指標(4)滿足J≤J*，這里J*為系統(1)的一個性能指標上界，則稱控制器(5)為奇異系統的保性能控制器。

引理1[14]對任意x,y∈Rn及任意的實數ε>0，式(7)成立：

2xTy≤εxTx+ε-1yTy。

(7)

引理2[15]對于?a,b∈Rn,R=RT>0，有如下不等式(8)成立：

-2aTb≤aTRa+bTR-1b。

(8)

引理3[16]給定適當維數的矩陣Y,D,E，其中Y為對稱矩陣，則Y+DFE+ETFTDT<0，對于所有滿足FTF≤I的矩陣F都成立，當且僅當在常數ε>0，使得：

Y+εDDT+ε-1ETE<0。

(9)

2 魯棒控制器的設計

(10)

則系統(1)的標稱系統在反饋控制器(5)的作用下不僅漸近穩定，而且在初始條件下具有給定H∞的擾動抑制水平γ，并且相應的成本函數上界為

證明取如下的Lyapunov-krasovskii泛函：

V(t,xt)=V1(t,xt)+V2(t,xt)+V3(t,xt),

V1(t,xt)=xT(t)ETPx(t),

對V(t,xt)沿閉環系統(6)的軌線求導數:

其中:

2xT(t)Pf≤fTf+xT(t)PPTx(t)≤

V3(t,xt)=xT(t)Qx(t)-xT(t-h)Qx(t-h)。

當ω(t)=0時，

閉環系統漸近穩定。

由于式(10)中含有不確定項，所以對式(10)中的不確定性結構分解，于是得到下式：

其中：

最后得到:

得到：

3 數值算例

利用定理求解線性矩陣不等式，可得

則系統保性能狀態反饋控制器為

4 結 語

本文討論了一類非線性不確定奇異時滯系統的保性能控制問題。首先，給出了非線性不確定奇異時滯系統的魯棒H∞的保性能控制定義；然后應用線性矩陣不等式方法、Lyapunov穩定性理論以及基本不等式方法，給出了閉環系統的魯棒H∞的保性能控制器存在的充分條件和設計方法。用數值算例說明了方法的有效性。

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