拓撲絕緣體表面臺階勢壘的輸運性質

王愛坤，王 惠，穆惠英，安興濤

(1.河北科技大學理學院，河北石家莊 050018；2.河北化工醫藥職業技術學院化工系，河北石家莊 050026)

拓撲絕緣體因為具有特殊的能帶結構和電子性質[1]，近年來引起了人們廣泛的關注和極大的興趣。拓撲絕緣體是一種不同于金屬和絕緣體的新的量子物質態，其時間反演不變性更是受到人們的關注。三維拓撲絕緣體的表面是個二維體系，有奇數個狄拉克點，在這些狄拉克點附近，電子的行為類似于無質量狄拉克費米子，遵守狄拉克方程[2-3]。這種無質量的狄拉克費米子具有線性色散關系，引起了非常奇特的量子輸運現象，比如克萊因隧穿[4]——電子在垂直入射情況下穿過勢壘可達到完全透射。正是由于這些迷人的重要特征，使拓撲絕緣體在未來的電子技術發展中有著巨大的應用潛力，所以研究拓撲絕緣體表面態的輸運性質成為了人們目前關注的焦點。

近幾年來，人們研究了拓撲絕緣體表面上單勢壘、雙勢壘和多勢壘的電子輸運性質。GAO等研究了拓撲絕緣體表面上單壘和雙壘的隧穿性質，他們發現可以調節克萊因隧穿，甚至可以阻止克萊因隧穿，這些特殊的性質使控制“拓撲金屬”中的電子束變成了可能[4]。在他們研究的基礎上，像電子準直器、波矢濾波器、電磁開關等新興器件都可以制作出來。ZHANG等在周期變化的磁場下研究了三維拓撲絕緣體表面上狄拉克電子的輸運性質，當勢壘中磁場方向平行時，狄拉克點可以移動；而當勢壘中磁場方向逆平行時，狄拉克點的位置不變[5]。另外，YOKOYAMA等研究了拓撲絕緣體表面鐵磁體的輸運性質，發現電導取決于2個鐵磁體的磁場方向，磁場方向平行時的電導比磁場方向逆平行時的電導要小得多[6]。通過人們的不斷研究，拓撲絕緣體表面態的性質一一被發現，但是拓撲絕緣體表面上的臺階勢壘會對電子輸運性質有什么影響還未見報道。

本文利用傳遞矩陣理論[7-10]研究了三維拓撲絕緣體表面上的臺階勢壘的輸運性質，通過調整臺階勢壘的高度來研究拓撲絕緣體表面的隧穿性質，并計算臺階勢壘的透射概率和電導[11-18]。研究中發現：當電子垂直入射勢壘時，會出現全透射，這就是克萊因隧穿，但是無論勢壘的高度如何，克萊因隧穿出現的位置是不變的。另外，隨著費米能級的變化，電導有復雜的振蕩行為并出現了共振隧穿現象；而隨著臺階勢壘高低勢能差的變化，電導出現了開關效應，那么就可以通過調節費米能級和臺階勢壘高低勢能差來控制電導。這些研究不僅對理解材料的基本性質是至關重要的，而且對新器件的設計和發展有著重要的意義。

1 模型和方法

選取的模型是拓撲絕緣體表面上的臺階勢壘，選取(x,y)平面代表拓撲絕緣體表面。為了簡化，假設將臺階勢壘分成2個高度不同的勢壘，而2個勢壘的寬度同為a，這樣就將拓撲絕緣體表面分成4個區域，如圖1所示，各個區域的勢能可以表示為

圖1 拓撲絕緣體表面臺階勢壘的示意圖Fig.1 Schematic diagram of the step barrier on the surface of a topological insulator

(1)

考慮拓撲絕緣體表面中的單電子近似法，可由靜態無質量狄拉克方程表示為

(vFσP+Vxσ0)Ψ=EΨ。

(2)

式中：費米速度vF≈0.86×106ms-1；σ是泡利矩陣；P=(px,py)是電子動量；σ0是一個2×2的單位矩陣。

因為在本模型中，系統沿y方向是均勻的，所以橫向波矢ky是守恒的。對于給定的入射能E，式(2)的解為

(3)

式中kx是縱向波矢，滿足

(4)

根據波函數在邊界的連續性，可知x=0時，Ψ1|x=0=Ψ2|x=0，即

(5)

利用傳遞矩陣方法可得

(6)

所以

(7)

x=a時，Ψ2|x=a=Ψ3|x=a,即

可得

(8)

所以

(9)

x=2a時，Ψ3|x=2a=Ψ4|x=2a，即

可得

(10)

所以

(11)

因此，總的傳遞矩陣為

Ts=T3T2T1。

(12)

勢壘的反射系數和透射系數滿足式(13)所示的方程：

(13)

最后可得透射概率為

T=|t|2。

(14)

根據Landauer-Bwttiker公式，系統的電導可以寫成

(15)

圖2 電子穿過臺階勢壘的透射概率隨入射角的變化關系Fig.2 Transmission probability of electrons through the step barrier as the function of the incident angle

式中：Ly?2a是y方向的長度；φ=arccos(kx/EF)，是x方向的入射角；G0=2e2EFLy/(πh)，用它來作電導的單位。

2 結果和分析

在下面的數值計算中，取所有的參數為無量綱參數：以a=50 nm作為長度的單位，E0=hvF/a作為能量的單位(E0≈16．6 meV)，取圖1中區域2和區域3的寬度為1，而且取臺階勢壘低勢能(U2=15E0)為固定值，而高勢能U3是變化的，高低勢能的電勢差表示為dv=U3-U2。圖2給出的是透射概率隨入射角的變化關系，其中入射能E=10E0。

從圖2可以看到，無論臺階勢壘的高勢能U3怎樣變化，當電子垂直入射時，都會出現全透射，這就是克萊因隧穿，而且透射概率的曲線關于入射角是對稱的。研究發現當臺階勢壘的低勢能U3=20E0時，曲線除了電子垂直入射時出現的克萊因隧穿點之外，又在-0.13π和0.13π處附近出現了2個克萊因隧穿點。此外，隨著臺階勢壘高勢能U3的增大，這2個克萊因隧穿點不會再出現，而且它們的位置在逐漸地下降。這是因為當臺階勢壘高勢能U3變得極大時，臺階勢壘低勢能U2對電子隧穿的影響就會變得極小，幾乎可以忽略不計，其結果相當于電子直接穿過單勢壘。

圖3 拓撲絕緣體表面臺階勢壘中電導隨費米能級的變化關系 (U2=15E0)Fig.3 Conductivity as a function of the Fermi energy for the step barrier on the surface of a topological insulator (U2=15E0)

拓撲絕緣體表面臺階勢壘中電導隨費米能級的變化關系如圖3所示。從圖3可以看出，當費米能級小于臺階勢壘低勢能時，電導曲線隨著費米能級的變化復雜地振蕩，出現了共振隧穿效應，這時費米能級比較小，電子要穿過整個勢壘，致使電導很大，甚至最大達到2G0；當費米能級與臺階中2個勢壘的勢能相等時，電導曲線形成低谷，均取得最小值，這樣就可以通過調整費米能級的值來控制電導；當費米能級大于臺階勢壘高勢能時，電導曲線是隨著費米能級的增加而增加的。在臺階勢壘的高低勢差值不斷變化的情況下，勢壘U2是固定的，費米能級等于臺階勢壘的低勢壘的勢能時，電導G的值是相同的；而隨著臺階勢壘的高低勢差值的增加，費米能級等于高勢能處電導G的值是減小的。

圖4 拓撲絕緣體表面臺階勢壘中電導隨高低勢能差的變化關系(U2=15E0)Fig.4 Conductivity as a function of the difference of the step barrier on the surface of a topological insulator(U2=15E0)

圖4給出了拓撲絕緣體表面臺階勢壘中電導隨高低勢能差的變化關系。從圖4可以看出，電導G是隨著高低勢的差值小幅度平緩地振蕩，卻在dv=(EF-U2)處形成低谷，并達到最小值，而這個最小值隨著費米能級向右移動，這就形成了開關效應，所以可以通過調節臺階勢壘的高低勢能差來控制電導。

3 結 語

通過傳遞矩陣的方法研究了拓撲絕緣體表面上臺階勢壘的透射概率和電導，發現了透射概率與臺階勢壘的靜電勢有直接關系，而且在拓撲絕緣體表面存在克萊因隧穿，但是無論臺階勢壘的靜電勢怎樣變化，克萊因隧穿出現的位置是不變的。另外，隨著費米能級的變化，電導有復雜的振蕩行為并出現了共振隧穿現象；而隨著臺階勢壘高低勢能差的變化，電導出現了開關效應，所以可以通過調節費米能級和臺階勢壘高低勢能差來控制電導。

參考文獻/References：

[1] 葉 飛，蘇 剛.拓撲絕緣體及其研究發展[J]. 物理，2010，39(8)：54-59.

YE Fei，SU Gang. Topological insulators[J]. Physics，2010，39(8) ：54-59.

[2] PHAM C，NGUYEN H，NGUYEN V L. Massless dirac fermions in a grapheme superlattice:At-matrix approach[J]. J Phys Condens Matter，2010，22：5 501-5 507.

[3] PRATIM R，TARUN K，KAUSHIK B. Localization of dirac-like excitations in grapheme in the presence of smooth inhomogeneous magnetic fields[J]. J Phys Condens Matter,2012，24(5)：5 301-5 312.

[4] GAO Jinhua，CHEN Weiqiang，FENG Xiaoyong，et al.Tunneling through ferromagnetic barriers on the surface of a topological insulator[J]. Mesoscale and Nanoscale Physics，2009，9：378-388.

[5] ZHANG Ya，ZHAI Feng. Tunneling magnetoresistance on the surface of a topological insulator with periodic magnetic modulations[J].Appl Phys Lett,2010，96(5)：36-38.

[6] YOKOYAMA T，TANAKA Y，NAGAOSA N.Anomalous magnetoresistance of a two-dimensional ferromagnet/ferromagnet junction on the surface of a topological insulator[J]. Phys Rev B，2010,81(12)：1 401-1 404.

[7] WANG Suxin，LI Zhiwen，LIU Jianjun，et al. Transport properties through double-magnetic-barrier structures in grapheme[J]. Chin Phys B，2011，20(7)：7 305-7 309.

[8] ZHAO Peiliang，CHEN Xi. Electronic band gap and transport in Fibonacci quasi-periodic grapheme superlattice[J]. Appl Phys Lett,2011，99：1-4.

[9] 張紅梅，劉 德.傳遞矩陣方法與矩形勢壘的量子隧穿[J] .河北科技大學學報，2006,27(3)：196-199.

ZHANG Hongmei，LIU De.Transfer matrix method in the study of quantum transmission for rectangular barrier[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2006,27(3)：196-199.

[10] 劉 德，張紅梅，王博瑜.雙勢壘異質結構中自旋相關的散粒噪聲[J].河北科技大學學報，2010,31(6)：512-516.

LIU De，ZHANG Hongmei，WANG Boyu.Spin-dependent shot noise in double barrier heterostructures[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2010, 31(6)：512-516.

[11] CONCHA A Z. Effect of velocity barrier on the ballistic transport of dirac fermions[J]. Phys Rev B，2010，82(3)：3 413-3 417.

[12] WANG Ligang，ZHU Shiyao. Electronic band gaps and transport properties in grapheme superlattices with one-dimensional periodic potentials of square barriers[J]. Phys Rev B，2010，81(20)：5 444-5 448.

[13] SUN Lifeng，FANG Chao，SONG Yu，et al. Transport properties through grapheme-based fractal and periodic magnetic barriers[J]. J Phys Condens Matter,2010，22：5 303-5 307.

[14] HOSEIN C，FATEMEH A. Spin polarization and magnetoresistance through a ferromagnetic barrier in bilayer grapheme[J]. J Phys Condens Matter,2012，24(4)：5 303-5 306.

[15] YOUNG H，YOONBAI K，CORNELIU S，et al. Landau level spectrum for bilayer grapheme in a tilted magnetic field[J]. J Phys Condens Matter,2012，24(4)：5 501-5 507.

[16] MICHAEL B，PEETERS F M，VASILOPOULOS P，et al. Dirac and Klein-Gordon particles in one-dimensional periodic potentials[J]. Phys Rev B，2008，77：5 446-5 450.

[17] LUCA D，ALESSANDRO D. Multiple magnetic barriers in grapheme[J]. Phys Rev B，2009，79(16)：5 420-5 428.

[18] ABEDPOUR N，AYOUB E，REZA A，et al. Conductance of a disordered grapheme superlattice[J]. Phys Rev B，2009，79(16)：5 412-5 419.