基于MATLAB的平面翻轉機構優(yōu)化設計

陳水勝， 李雙強， 華中平， 鮑曉斌

(湖北工業(yè)大學機械工程學院， 湖北 武漢 430068)

翻轉機構在工程器械中應用廣泛，例如帶自卸功能的車輛、浮橋、艙門等[1]．此類機構由于工作載荷大，通常在動力方面投入巨大以提高安全系數(shù)，保證工作可靠性[2]．在實際應用中，雖然采用的動力驅(qū)動方式不盡相同，但其結構和功能都是相似的，有些結構有很大的優(yōu)化空間．下面通過對此類機構進行力學建模，用最優(yōu)化理論對結構尺寸進行優(yōu)化，使其既安全可靠，又有良好的結構工藝性．

1 模型的建立

對工程實際中的某種平面翻轉機構進行模型簡化，得到的機構簡圖見圖1．

圖 1 平面翻轉機構

圖1中A、B、C為三個鉸支點，構件1為基礎固定件、構件2為轉動構件、構件3為一個雙作用單桿活塞式液壓缸．構件3的活塞桿與構件2于A點鉸接、缸筒與構件1于C點鉸接，構件2與構件1、構件3的活塞桿分別于B、A點鉸接．

此機構模型能實現(xiàn)在液壓缸推力作用下，將構件2由豎直位置轉到水平位置．通過優(yōu)化設計，確定合適的鉸支點A、B、C的相對位置，以滿足在較小的液壓推力下，液壓缸活塞桿的長度最小．參照圖1，建立如圖所示笛卡爾直角坐標系(x，y)．設置鉸支B點為坐標原點B(0,0)，構件1水平布置、構件2豎直布置，構件2可以在xoy平面繞原點轉動作翻轉運動．優(yōu)化設計的目的就是要確定鉸支點A(x1，y1)、C(x2，y2)的值，在較小的液壓推力下，使液壓桿長度最小，即x2最小，使液壓缸的設計制造在滿足其使用功能的同時,具有良好的結構工藝要求，達到安全生產(chǎn)、經(jīng)濟實用的目的．

假設轉動構件2及其上固定的重物質(zhì)量為m，其重心位置為(h，s)，忽略鉸支連接及構件3(液壓缸)的質(zhì)量和摩擦轉矩，則在液壓力F推動下，構件2由豎直位置到水平位置的平衡轉動過程中，液壓力F與構件2的旋轉角度θ(0≤θ≤π/2)的關系可表示為：

F=m×9.8×(h×cosθ-s×sinθ)/

2 設計分析

2.1 實際數(shù)學模型的建立

在實際工程中，設翻轉底板(構件2)質(zhì)量m1=1 t，其上固定重物的質(zhì)量m2=1 t；則可翻轉物體質(zhì)量m=m1+m2=2 t．可翻轉物重心位置為(830,500)．

考慮翻轉機構的使用功能要求，對液壓缸實際安裝所需結構尺寸提出一定的要求：液壓缸在有效行程內(nèi)時，其連接支撐部件不與其它部件發(fā)生位置干涉．因此，缸筒與基礎部件(構件1)于C點鉸接時，其坐標值y2在初步計算確定缸筒直徑D=80 mm，則可取y2=50 mm，以保證翻轉機構在有效的翻轉范圍內(nèi)，液壓缸在最低位置時不與基礎部件(構件1)發(fā)生干涉．x1為鉸支點A距翻轉底板(構件2)的垂直距離，取安全尺寸x1≤350 mm．

現(xiàn)在未確定的未知數(shù)有三個：x1、y1和x2．

在MATLAB中建立方程如下：

F=(2000*9.8*(830*cos(angle)-500*sin(angle)))/(sqrt(x1^2+y1^2)*(cos(atan((sqrt(x1^2+y1^2)*sin(pi/2-angle+atan(x1/y1))-50)/x2))*sin(pi/2-angle+atan(x1/y1))-sin(atan((sqrt(x1^2+y1^2)*sin(pi/2-angle+atan(x1/y1))-50)/1000))*cos(pi/2-angle+atan(x1/y1))));

2.2 最大力發(fā)生位置的確定

因為未知數(shù)個數(shù)多，在求解機構翻轉時最大液壓推力Fmax的位置過程中，可以采用正交分析法，先假設其他幾個為已知量，預先確定位置．對于構件3所述的雙作用單桿活塞式液壓缸，在其液壓驅(qū)動力作用下，構件2在由豎直位置向水平位置的平衡轉動過程中，活塞桿處于先受壓后受拉的應力狀態(tài)．根據(jù)力學模型分析，最大力F應該發(fā)生在兩個極限位置處，即初始翻轉角度(θ=0°)和翻轉終點(θ=90°)處．

理論分析可知，F(xiàn)max應與y1的大小有很大關系，假設x1=300、x2=1 000，在MATLAB中輸入公式得到的曲線.

為F—y1變化曲線(圖2)，圖中曲線從上到下依次為y1=100、200、300、400、500、600 mm時的液壓缸受力變化情況．從圖2可以看出，基于上述數(shù)學模型的翻轉機構，在機構承載翻轉時液壓缸的受力是變化的，當0 rad≤θ≤1 rad時，液壓缸起推力作用，當1 rad≤θ≤π/2時，液壓缸處于受拉狀態(tài)，以保證平衡轉動，其受力臨界點在θ=1 rad(57.3°)．圖2所示的F—y1變化曲線為液壓控制系統(tǒng)提供了計算依據(jù)．在采用液壓驅(qū)動實際翻轉過程中，當沿轉動方向越過臨界點時，需要設置一定的背壓或者平衡裝置來保證翻轉過程的穩(wěn)定性和可靠性．

圖 2 F-y1變化曲線

從圖2提取關鍵數(shù)據(jù)點得到最大值見表1.

表1 Fmax—y1關系表

由圖2和表1分析可知，最大力Fmax在y1由100 mm增大到600 mm的情況下，F(xiàn)max都先出現(xiàn)在θ=0處，然后出現(xiàn)在θ=π/2處，而且當y1減小時，最大力F會劇烈增大；并且以300 mm ≤y1≤400 mm時，F(xiàn)max較小．此時y1為最優(yōu)化值．

綜合以上情況，以最大力Fmax出現(xiàn)在θ=π/2處，而且y1≥320 mm時，進一步優(yōu)化其它坐標值．

2.3 三個未知量與力F的關系

為了求得鉸支點其它坐標最優(yōu)解，先要知道鉸支點A(x1，y1)、C(x2，y2)中三個未知量x1、y1、x2與力F的關系．由理論力學知識，在π/2處力F與x1、y1、x2有如下關系

F=

在MATlAB中建立如下方程：

function y=findbest(x1,y1,x2)

y=(500*2000*9.8)/(cos(atan((x1-50)/(y1+x2)))*x1-sin(atan((x1-50)/(y1+x2)))*y1);

2.3.1假設y1、x2已知，求x1與力F的關系

假設y1=500 mm，x2=1 000 mm．在MATLAB中輸入fplot(′findbest(x1,500,1000)′,[0,500])，得到的圖見圖3．

圖 3 力F與x1關系

由圖3可知，最大力F隨x1的增大而減小，而且x1>200以后減小的幅度越來越小．

2.3.2假設x1、x2已知，求y1與力F的關系

假設x1=300、x2=1 000，在MATLAB中輸入fplot(′findbest(300,y1,1000)′,[0,1000])．得到的圖見圖4．

圖 4 力F與y1關系

由圖4可知，最大力F隨y1的增大而增大，而且增大的幅度基本不變．

2.3.3假設x1、y1已知，求x2與力F的關系

假設x1=300、y1=500，在MATLAB中輸入fplot(′findbest(300,500,x2)′,[0,2000])，得到的圖形見圖5.由圖5可以看出：最大力F隨x2的增大而減小，而且在x2>1 000 mm以后，減小的幅度越來越小．

3 最優(yōu)化結果

由以上三個變量與最大力F的關系可知，x1越大、y1越小、x2越大力F越小．在實際工程中，由工藝尺寸、裝配尺寸和使用功能尺寸確定三個未知數(shù)的約束如下：

1)0≤x1≤350 mm；

2)320 mm≤y1≤1 380 mm；

3)400 mm≤x1≤1 400 mm；

在Excel中用規(guī)劃求解方法是一種比較方便的方法．用規(guī)劃求解工具得到的最優(yōu)解如下：目標函數(shù)F=33 815.166 9 N；設計變量左鉸鏈x坐標x1=350 mm, 左鉸鏈y坐標y1=320 mm, 右鉸鏈x坐標x2=1 400 mm, 右鉸鏈y坐標y2=50 mm.

求解可得：當鉸支點坐標值取A(350，320)、C(1400，50)時，液壓驅(qū)動機構翻轉的驅(qū)動液壓缸所需的系統(tǒng)壓力較低．但是考慮到x2是關鍵數(shù)據(jù)，x2的大小直接決定了液壓缸的安裝尺寸和結構工藝尺．x2大，則液壓缸的長度尺寸大；x2小，則液壓缸長度尺寸小．分析圖5中力F隨x2的變化趨勢可知，取x2=1 000時，F(xiàn)max=36 245.587 N，比x2=1 400時(F=33 815.166 9 N)的值只增大了7.19%．特別是當x2>1 000 mm后，隨著x2的增加，液壓缸驅(qū)動力F增加的幅度并不明顯．在滿足翻轉機構的使用功能要求的前提下，工程上需要液壓缸長度較短，具有良好的結構工藝性，并滿足工作穩(wěn)定性和可靠性[3]．因此從功能實用、經(jīng)濟可靠方面來說，上述翻轉機構最終優(yōu)化結果為：A(350，320)、C(1000，50)．

4 驗證及結論

1) 用最優(yōu)化理論，結合MATLAB工具平面翻轉機構的結構尺寸進行優(yōu)化設計，確定了合理的結構參數(shù)，提高了系統(tǒng)的可靠性．

2) 計算結果在實際工程中應用，有效地解決了翻轉位移及承載能力與驅(qū)動液壓缸制造工藝上的矛盾，改善了液壓缸的結構工藝性能，從而降低了系統(tǒng)的制造、使用和維護成本．

[參考文獻]

[1] 李靜，寧虎成．基于MATLAB的結構優(yōu)化設計[J]．工程結構，2012(4)：142-143.

[2] 馮淑珍,車架翻轉機構的設計[J].機械工程師，2011(5):149-150.

[3] 吳邦祖，大平板翻轉機構設計[J].新技術新工藝，1991(4):23.