基于MATLAB的平面翻轉機構優化設計

陳水勝， 李雙強， 華中平， 鮑曉斌

(湖北工業大學機械工程學院， 湖北 武漢 430068)

翻轉機構在工程器械中應用廣泛，例如帶自卸功能的車輛、浮橋、艙門等[1]．此類機構由于工作載荷大，通常在動力方面投入巨大以提高安全系數，保證工作可靠性[2]．在實際應用中，雖然采用的動力驅動方式不盡相同，但其結構和功能都是相似的，有些結構有很大的優化空間．下面通過對此類機構進行力學建模，用最優化理論對結構尺寸進行優化，使其既安全可靠，又有良好的結構工藝性．

1 模型的建立

對工程實際中的某種平面翻轉機構進行模型簡化，得到的機構簡圖見圖1．

圖 1 平面翻轉機構

圖1中A、B、C為三個鉸支點，構件1為基礎固定件、構件2為轉動構件、構件3為一個雙作用單桿活塞式液壓缸．構件3的活塞桿與構件2于A點鉸接、缸筒與構件1于C點鉸接，構件2與構件1、構件3的活塞桿分別于B、A點鉸接．

此機構模型能實現在液壓缸推力作用下，將構件2由豎直位置轉到水平位置．通過優化設計，確定合適的鉸支點A、B、C的相對位置，以滿足在較小的液壓推力下，液壓缸活塞桿的長度最小．參照圖1，建立如圖所示笛卡爾直角坐標系(x，y)．設置鉸支B點為坐標原點B(0,0)，構件1水平布置、構件2豎直布置，構件2可以在xoy平面繞原點轉動作翻轉運動．優化設計的目的就是要確定鉸支點A(x1，y1)、C(x2，y2)的值，在較小的液壓推力下，使液壓桿長度最小，即x2最小，使液壓缸的設計制造在滿足其使用功能的同時,具有良好的結構工藝要求，達到安全生產、經濟實用的目的．

假設轉動構件2及其上固定的重物質量為m，其重心位置為(h，s)，忽略鉸支連接及構件3(液壓缸)的質量和摩擦轉矩，則在液壓力F推動下，構件2由豎直位置到水平位置的平衡轉動過程中，液壓力F與構件2的旋轉角度θ(0≤θ≤π/2)的關系可表示為：

F=m×9.8×(h×cosθ-s×sinθ)/

2 設計分析

2.1 實際數學模型的建立

在實際工程中，設翻轉底板(構件2)質量m1=1 t，其上固定重物的質量m2=1 t；則可翻轉物體質量m=m1+m2=2 t．可翻轉物重心位置為(830,500)．

考慮翻轉機構的使用功能要求，對液壓缸實際安裝所需結構尺寸提出一定的要求：液壓缸在有效行程內時，其連接支撐部件不與其它部件發生位置干涉．因此，缸筒與基礎部件(構件1)于C點鉸接時，其坐標值y2在初步計算確定缸筒直徑D=80 mm，則可取y2=50 mm，以保證翻轉機構在有效的翻轉范圍內，液壓缸在最低位置時不與基礎部件(構件1)發生干涉．x1為鉸支點A距翻轉底板(構件2)的垂直距離，取安全尺寸x1≤350 mm．

現在未確定的未知數有三個：x1、y1和x2．

在MATLAB中建立方程如下：

F=(2000*9.8*(830*cos(angle)-500*sin(angle)))/(sqrt(x1^2+y1^2)*(cos(atan((sqrt(x1^2+y1^2)*sin(pi/2-angle+atan(x1/y1))-50)/x2))*sin(pi/2-angle+atan(x1/y1))-sin(atan((sqrt(x1^2+y1^2)*sin(pi/2-angle+atan(x1/y1))-50)/1000))*cos(pi/2-angle+atan(x1/y1))));

2.2 最大力發生位置的確定

因為未知數個數多，在求解機構翻轉時最大液壓推力Fmax的位置過程中，可以采用正交分析法，先假設其他幾個為已知量，預先確定位置．對于構件3所述的雙作用單桿活塞式液壓缸，在其液壓驅動力作用下，構件2在由豎直位置向水平位置的平衡轉動過程中，活塞桿處于先受壓后受拉的應力狀態．根據力學模型分析，最大力F應該發生在兩個極限位置處，即初始翻轉角度(θ=0°)和翻轉終點(θ=90°)處．

理論分析可知，Fmax應與y1的大小有很大關系，假設x1=300、x2=1 000，在MATLAB中輸入公式得到的曲線.

為F—y1變化曲線(圖2)，圖中曲線從上到下依次為y1=100、200、300、400、500、600 mm時的液壓缸受力變化情況．從圖2可以看出，基于上述數學模型的翻轉機構，在機構承載翻轉時液壓缸的受力是變化的，當0 rad≤θ≤1 rad時，液壓缸起推力作用，當1 rad≤θ≤π/2時，液壓缸處于受拉狀態，以保證平衡轉動，其受力臨界點在θ=1 rad(57.3°)．圖2所示的F—y1變化曲線為液壓控制系統提供了計算依據．在采用液壓驅動實際翻轉過程中，當沿轉動方向越過臨界點時，需要設置一定的背壓或者平衡裝置來保證翻轉過程的穩定性和可靠性．

圖 2 F-y1變化曲線

從圖2提取關鍵數據點得到最大值見表1.

表1 Fmax—y1關系表

由圖2和表1分析可知，最大力Fmax在y1由100 mm增大到600 mm的情況下，Fmax都先出現在θ=0處，然后出現在θ=π/2處，而且當y1減小時，最大力F會劇烈增大；并且以300 mm ≤y1≤400 mm時，Fmax較小．此時y1為最優化值．

綜合以上情況，以最大力Fmax出現在θ=π/2處，而且y1≥320 mm時，進一步優化其它坐標值．

2.3 三個未知量與力F的關系

為了求得鉸支點其它坐標最優解，先要知道鉸支點A(x1，y1)、C(x2，y2)中三個未知量x1、y1、x2與力F的關系．由理論力學知識，在π/2處力F與x1、y1、x2有如下關系

F=

在MATlAB中建立如下方程：

function y=findbest(x1,y1,x2)

y=(500*2000*9.8)/(cos(atan((x1-50)/(y1+x2)))*x1-sin(atan((x1-50)/(y1+x2)))*y1);

2.3.1假設y1、x2已知，求x1與力F的關系

假設y1=500 mm，x2=1 000 mm．在MATLAB中輸入fplot(′findbest(x1,500,1000)′,[0,500])，得到的圖見圖3．

圖 3 力F與x1關系

由圖3可知，最大力F隨x1的增大而減小，而且x1>200以后減小的幅度越來越?。?/p>

2.3.2假設x1、x2已知，求y1與力F的關系

假設x1=300、x2=1 000，在MATLAB中輸入fplot(′findbest(300,y1,1000)′,[0,1000])．得到的圖見圖4．

圖 4 力F與y1關系

由圖4可知，最大力F隨y1的增大而增大，而且增大的幅度基本不變．

2.3.3假設x1、y1已知，求x2與力F的關系

假設x1=300、y1=500，在MATLAB中輸入fplot(′findbest(300,500,x2)′,[0,2000])，得到的圖形見圖5.由圖5可以看出：最大力F隨x2的增大而減小，而且在x2>1 000 mm以后，減小的幅度越來越?。?/p>

3 最優化結果

由以上三個變量與最大力F的關系可知，x1越大、y1越小、x2越大力F越?。趯嶋H工程中，由工藝尺寸、裝配尺寸和使用功能尺寸確定三個未知數的約束如下：

1)0≤x1≤350 mm；

2)320 mm≤y1≤1 380 mm；

3)400 mm≤x1≤1 400 mm；

在Excel中用規劃求解方法是一種比較方便的方法．用規劃求解工具得到的最優解如下：目標函數F=33 815.166 9 N；設計變量左鉸鏈x坐標x1=350 mm, 左鉸鏈y坐標y1=320 mm, 右鉸鏈x坐標x2=1 400 mm, 右鉸鏈y坐標y2=50 mm.

求解可得：當鉸支點坐標值取A(350，320)、C(1400，50)時，液壓驅動機構翻轉的驅動液壓缸所需的系統壓力較低．但是考慮到x2是關鍵數據，x2的大小直接決定了液壓缸的安裝尺寸和結構工藝尺．x2大，則液壓缸的長度尺寸大；x2小，則液壓缸長度尺寸?。治鰣D5中力F隨x2的變化趨勢可知，取x2=1 000時，Fmax=36 245.587 N，比x2=1 400時(F=33 815.166 9 N)的值只增大了7.19%．特別是當x2>1 000 mm后，隨著x2的增加，液壓缸驅動力F增加的幅度并不明顯．在滿足翻轉機構的使用功能要求的前提下，工程上需要液壓缸長度較短，具有良好的結構工藝性，并滿足工作穩定性和可靠性[3]．因此從功能實用、經濟可靠方面來說，上述翻轉機構最終優化結果為：A(350，320)、C(1000，50)．

4 驗證及結論

1) 用最優化理論，結合MATLAB工具平面翻轉機構的結構尺寸進行優化設計，確定了合理的結構參數，提高了系統的可靠性．

2) 計算結果在實際工程中應用，有效地解決了翻轉位移及承載能力與驅動液壓缸制造工藝上的矛盾，改善了液壓缸的結構工藝性能，從而降低了系統的制造、使用和維護成本．

[參考文獻]

[1] 李靜，寧虎成．基于MATLAB的結構優化設計[J]．工程結構，2012(4)：142-143.

[2] 馮淑珍,車架翻轉機構的設計[J].機械工程師，2011(5):149-150.

[3] 吳邦祖，大平板翻轉機構設計[J].新技術新工藝，1991(4):23.