從COBE數據推算早期宇宙實物密度的相對漲落

危 鈺

(武漢鐵路職業技術學院， 湖北 武漢 430205)

1 原子復合與光子退耦

宇宙早期處于極度高溫狀態，任何原子結構都不存在，宇宙各處無時無刻都發生著可逆反應：

e-+p?H+γ

(1)

它的正向反應即原子的復合，為了研究復合和退耦的關系，做如下理論分析。

首先，把電離氫的數密度記作np，氫原子的數密度記作nH，于是可以定義氣體的電離度為：

(2)

顯然，在溫度較高的時候電離度接近1，膨脹中溫度降低使得電離度隨之降低。在這個過程中還涉及到核子數和光子數之比的問題，把它們的比值記作：

(3)

這個值往往是由觀測事實來推定的， 值得注意的是，nH和nγ在宇宙膨脹中都與膨脹因子R3成反比，所以他們的比值η是不變的。下面為了討論的繼續，先暫時借用已有的數據，取η≈5×10-10.

令氣體的溫度為T，在統計平衡下，質子，電子和氫原子的量子漲落情況都滿足Boltzmann分布，因此有：

(4)

(5)

(6)

式子中的μ代表各組分的化學勢，m代表粒子靜質量，g代表自旋自由度數。對于上述粒子我們已知：gp=ge=2 ，gH=4 ；mp+me-mH=B，另外考慮化學平衡和電中性條件有：

μp+μe=μH

(7)

np=ne

(8)

其中，已經利用光子組分化學勢為零，且對于任意化學勢為零的組分，其粒子數密度滿足：

(9)

式子(9)中的上半部分針對波色組分，下半部分針對費米組分，且其中的ξ(3)≈1.202 是宗量為3的Riemannξ函數值。光子屬于波色子，自旋自由度數為2，故由(9)可知光子的數密度為：

(10)

結合式子(3)和(10)可以有：

(11)

用式子(7)消去式子(4)(5)(6)中的化學勢，再和式子(11)聯立就能得到電離度Xp和溫度T以及η之間的依賴關系了。把me和B這些粒子物理中的已知量帶入，可以得到一個簡單的數值結果：

(12)

這里溫度的單位為電子伏。由這個結果我們就能明確的看到，隨著溫度的降低，電離度大概在0.4eV到0.25eV之間連續而迅速的降低。

上面的推導只指出了電離度下降和溫度之間的關系，但本質上，光子的退耦取決于光子和實物粒子的碰撞情況，也就是說，到底溫度下降到什么程度可以認為上述復合反應不再繼續，光子退出了與實物粒子復合的相互作用，這仍然需要從光子退耦的基本定義出發進一步分析。

在電離氣體中，光子的熱碰撞主要是和自由電子的Thomson散射，取自然單位制，則每個光子單位時間內的碰撞次數為：

Γ=neσTh

(13)

式中的σTh為散射截面，與光子能量無關，這個值在粒子物理中是清楚的，為：σTh=6.65×10-25cm2.

無論相互之間的關系多么復雜，宇宙膨脹是光子退耦的根本原因，膨脹用膨脹率H描寫，可以從基本的宇宙動力學方程和宇宙模型的理論中推出，這些動力學方程包括Friedmann方程：

(14)

該方程是描述宇宙膨脹的基本方程，可以把常數項，曲率項和輻射項都忽略，得到：

(15)

下標0表示是今天的值，例如ρm0表示今天的實物密度。另外密度與宇宙尺度以及溫度之間有關系：

(16)

式子(16)的后半部分利用了退耦后光子氣體的等效溫度滿足RT=常數的結論，該結論在后面的討論中會有證明。于是聯立(15)和(16)并帶入觀測值：Hubble常數H0=65km·s-1·Mpc-1以及宇宙密度參量Ωm0=1/3 可以得到：

(17)

接下來討論光子碰撞率隨溫度的變化，由于ne=np，式子(13)可以改寫為：

Γ=XpηnγσTh

(18)

將式子(10)和散射截面代入式子(18)，并用T/Tγ0代替 ，則得到：

(19)

為簡單起見，不妨取Γ=H作為光子退耦的標志，同時取η≈5×10-10，則聯立式子(12)、(17)和(19)得出Xp≈4×10-3，相應的溫度可以算出為Tdec=0.25eV，這就是光子退耦時的宇宙溫度了。在COBE數據中可以看到這個理論計算與實際觀測數據吻合的很好。

注意在上面的計算中，有許多宇宙學參數都直接取了觀測值而未加討論，并且認為是各向同性的。事實上，比較式子(17)和(19)可以看出，若令Γ=H為光子退耦的判據，那么如果我們測量到背景光子溫度存在微弱的各向異性，則表示Xpη也存在著各向異性，也就是說，各方向上的電離度和核子光子數比有所不同，這就意味著各個方向上物質的密度可能存在差異，這種微弱的早期密度差異可能正是宇宙結構形成的起因。

2 COBE數據以及對早期密度漲落的推算

由美國國家航空宇航局(NASA)主持的宇宙背景輻射探測衛星(COBE)為我們提供了關于宇宙各向異性方面的數據，圖1[1]是由Smoot教授領導的小組所作的實驗觀測圖，他們為了比較各向上微弱的差異，對于全部的觀測數據取對數，并計算了偏差，在圖中，這種微弱的漲落被表現的非常直觀。從觀測數據上看，這種各向異性約為：δ=5×10-6.

圖1 圖中對所有的觀測數據取對數作為多極漲落的橫坐標，并計算了它們的偏差。盡管這在統計上不是完備的，但可以展現各向異性。

首先，對于我們觀測到的宇宙背景溫度實際上是一個各個不同方向和空間的平均值，這個背景存在小的起伏，即T=T(θ,φ)，對于這樣的起伏用多極展開討論比較方便，它的數學形式是按照球諧函數展開，即：

(20)

其中第一項a00是平均溫度。第二項是偶極各向異性，它反映了觀測者的運動速度。從第三項起，也就是四極各向異性才描述了退耦時的溫度起伏(當然，事實上觀測者運動的Doppler效應對高次項也有影響，扣除它們才是退耦時的起伏)。

多極起伏用δT描述，它與展開系數的關系是：

(21)

其中尖括號表示對m的平均，從結構形成的角度估算，δT1/T0約是μK數量級的。而COBE衛星上的一套儀器DMR在1992年測到了這個四極各向異性，它的大小是：

(22)

不妨取退耦時宇宙各向上的電離度為：Xp≈4×10-3，代入式子(12)，可以得到：

17.6×10-14ηT3/2e13.6/T-0.996=0

(23)

(24)

又由定義式(3)知道η是核子數與光子數之比，但在退耦時可以近似認為光子數是各向同性的，那么這個漲落就完全由核子數的漲落所決定，即：

δnH=nγδη

(25)

則相應引起的密度漲落應該為：

(26)

代入光子數密度，即得到密度相對漲落為：

(27)

到此，我們就從背景輻射的漲落推導出了早期宇宙的實物密度漲落。

注意到實驗數據中探測到的溫度起伏是對10°范圍內的天區掃描得到的平均值[1](儀器的分辨率只達到這個范圍)，也即是說，這個溫度漲落對應著遙遠宇宙中很大的一個區域。這個區域的大小表征了漲落的擾動尺度，光子退耦距現在的時間大約為tγ=1.37×1010年，則我們所觀測到的天區距地球的距離大約為r=ctγ，所以這塊天區的尺度應該為：

I=rθ=ctγθ≈3.6×1024m

(28)

則對應Jeans理論中擾動的波長為：

λ=2l=7.2×1024m

(29)

又已知Jeans自引力物質結團理論有臨界結團波動尺度稱之為Jeans尺度，它為：

(30)

以式子(30)作為判據，代入必要的參量可以得出臨界波長，其中聲速的推算最為重要，因假設溫度的微小變化不改變物態方程，即有：

(31)

則聲速應該為：

(32)

則臨界波長為：

(33)

要求出現自引力不穩定性則要求波動的尺度不小于臨界波長，即λ≥λJ，因此那個時候的宇宙密度臨界值為：

ρ≥1.29×10-30kg·m-3

(34)

也就是說，退耦時宇宙的實物部分密度應該滿足式子(34)才能出現自引力不穩定性從而導致結團。

3 分析與結論

據可靠觀測數據，今天的宇宙實物密度大致的范圍是：

ρ0≥4.7×10-28～3.6×10-27kg·m-3

(35)

退耦時刻的宇宙密度相對漲落以及在此漲落下滿足自引力結團要求的臨界密度值已經由式子(27)和(34)推算得到，對于為何與今天宇宙密度范圍相差甚大的合理解釋之一可能是在退耦時期的暗物質與普通物質的比例更大，也就是說也許暗物質正在逐步轉化為可觀測物質，又或者暗物質相對于可觀測物質的占比正在減少。如果認為宇宙的變化一直是一個連續的沒有階段躍變的過程，那么可能越早期的宇宙中，暗物質所占的比例就越大。那么暗物質對于宇宙結構的形成可能起著更重要的作用。

當然，這些在很大程度上只是估算，畢竟這個漲落的分辨率為10度左右，把我們關心的更細致的起伏都抹去了。2001年升空的觀測衛星MAP和2007年發射的衛星Planck Surveyor都準備在更高的分辨率下測量溫度起伏，這些問題有待進一步的實驗數據與分析。

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