3-PRRU三維平動并聯機器人的位置正解分析

劉家念，趙新華

(天津理工大學 機械工程學院，天津 300191)

0 前言

本文提出了一種結構簡單，無伴隨運動的新型機構——3自由度3-PRRU并聯機器人。因其結構特點，除具備少自由度并聯機器人的特性外，還具有在工作空間內實現三維平動的特點，彌補了6自由度并聯機器人工作空間小的缺陷，并且結構對稱，有利于正反解數學模型的建立，在工業生產、居民生活等方面很有應用前景。目前國際上對此類機構的研究并不多，理論上有待于進一步研究，以盡早為人類服務［1-2，7］。

并聯機器人運動學正解問題一直是機器人機構學研究中的熱點和難點之一，且正解分析是工作空間分析和機構設計中必要的前提。正解就是已知輸入主動件的位置，求解輸出件的位置。位置正解主要包括解析法和數值法兩種［3］。對于3-PRRU并聯機器人，數值法的數學模型比較容易建立，不需要繁瑣的數學推導，因此應用Denavit-Hartenberg(D-H)方法建立了該機構的正解數學模型，構造了一個關于該機構運動平臺位置參數的三元高次非線性方程組，再利用matlab軟件中提供的非線性方程組的求解函數fsolve對正解進行數值求解，且求解速度非常快，通過實例驗證又可以得出求解精度非常高的結論。

對于并聯機器人正解的研究僅憑計算數據很難直觀地判斷機構動平臺的位置，因此，采用matlab軟件編制繪圖程序實現正解位形的可視化，同時也能驗證所建立的正解數學模型的正確性。

1 3-PRRU三維平動并聯機器人

3-PRRU并聯機器人由固定平臺、運動平臺及連接兩平臺的3條支鏈組成，兩平臺均為正三角形，對稱分布的3條PRRU分支結構完全相同，每條支鏈自上而下依次由移動副P、轉動副R1、連桿1、轉動副R2、連桿2和虎克鉸U連接組成。在這三個運動副中其與固定平臺相連接的移動副為驅動副，通過改變各支鏈移動副P的移動量，來實現運動平臺相對于固定平臺的三維(x，y，z方向)平動。

2 機構數學模型

3-PRRU機構簡圖如圖1所示。△ABC為固定平臺，外接圓半徑R=0.4 m，定坐標系ox0y0z0固結于定平臺的幾何中心處，x0沿OA方向，z0垂直于定平臺向上，3條移動副軸線垂直于定平臺。△abc為運動平臺，外接圓半徑r=0.1 m，動坐標系o－xpypzp固結于動平臺的幾何中心處。以一條支鏈為例，桿L1=0.1 m，桿L2=0.8 m，e1和e2分別為R1和R2的軸線，e3和e4為虎克鉸U的兩個轉動副的軸線，各運動副軸線之間的關系為:e1垂直于移動副軸線，桿L1垂直于e1和e2，e2⊥e1，桿L2垂直于e2和e4，e3∥e1，e4∥e2。

圖1 3-PRRU機構簡圖Fig.1 Body diagram of 3-PRRU

3 機構位置正解分析

3.1 機構位置正解建模

為了研究操作臂各連桿之間的位移關系，根據(D-H)規則，在每個連桿上固結一個坐標系，用齊次變換來描述各連桿相對于固定參考系的空間幾何關系，從而推導出動平臺上的固結坐標系相對于定平臺上的固結坐標系的等價齊次變換矩陣，建立操作臂的運動學方程，進而求出3-PRRU的位置正解數學模型［4］。

圖2為第一支鏈坐標系的示意圖，(為便于分析，把單個虎克鉸轉化為兩個互相垂直的轉動副，L3=0)，坐標系{i}zi軸沿著關節i的軸線方向，xi軸與連桿公垂線重合，指向從關節i到關節i+1，yi軸按右手法則確定。利用連桿坐標系，連桿參數可以明確地定義為ai為從zi到zi+1沿x測量的距離;αi為從zi到zi+1繞xi旋轉的角度;di為從xi=1到xi沿 zi測量的距離;θi為從xi=1到xi繞zi旋轉的角度。

圖2 3-PRRU機構第一支鏈坐標系的示意圖Fig.2 Schematic diagram of coordinate system of the branched-chain

第一支鏈上D-H矩陣的參數見表1。根據第一支鏈建立運動學閉環方程為

式中，D－H矩陣為

展開得

式中，c為cos;s為sin。

表1 第一支鏈上D－H矩陣的參數Tab.1 D-H matrix parameters for the branched-chain

式(1)中的各個D-H矩陣為

為便于求解，可得

整理可得

整理可得到

由等式兩邊對應元素相等可以看出:c(θ3+θ4)= －1，s(θ3+θ4)=0，則

從矩陣等式的最后一列可以得到以下信息

在實際中 θ3應滿足: －180°≤θ3≤ －90°，90°≤θ3≤180°，因此

將式(9)與式(10)相除得

由三角公式 s2θ2+c2θ2=1，得

在實際中 θ2應滿足: －180°≤θ2≤ －90°，且 pz，d1都為負，pz＜d1，因此

將式(8)和式(13)代入式(10)可得

根據機構的對稱性，第二、第三支鏈同理可得

將式(14)(15)(16)聯立，組成正解數學模型的三元高次非線性方程組，即已知d1、d2、d3值，求解 px、py、pz。

3.2 利用Matlab數值求解

根據正解方程組的特點，采用Matlab優化工具箱中提供的非線性方程組的求解函數fsolve來進行正解的數值求解比較簡單。Matlab中fsolve語句數值效果較好，采用的解法是將方程組轉化為最小二乘問題，其調用格式為x=fsolve(F，x0，optimset)，其中F是用于定義需求解的非線性方程組的函數文件名，x0是迭代初值，也就是方程組根的大概值，opti-mset用來設定參數［5］。

(1)建立方程組的函數文件fxyz.m。在Matlab中建立文件名為fxyz.m的M文件，并保存起來以備調用，函數文件如下:

(2)在Matlab的命令窗口中輸入計算命令。

輸出結果:

本算例中給出的d1、d2、d3值是當給出該機構實際應用中動平臺中心點的一組位置參數px=0.05 m，py=－0.09 m，pz=－0.8 m時通過式(14～16)得出的一組驅動位移值，將前后兩組px、py、pz作比較，得出px、py、pz的偏差分別為 1.1703e－012， －2.0797e－012， －1.3961e－011。該算法精度非常高，可以滿足正常的控制需求。

4 3-PRRU位形可視化

在給出一組驅動位移的條件下，根據位置正解的數值計算結果可得到該3-PRRU并聯機器人相應的一個位形，采用Matlab軟件編制繪圖程序將這個位形可視化。圖3是當給出驅動位移d1= －0.15161，d2= －0.22761，d3= －0.15027時機構的位置形態。

圖3 3-PRRU并聯機器人正解位形Fig.3 Configuration visualization of 3-PRRU parallel manipulator

5 結論

在解決具有對稱結構并聯機器人的正解問題時，先列出一條支鏈的輸入輸出方程，再根據各支鏈之間的對稱關系很容易列出數值法的正解數學模型。利用Matlab強大的計算功能可以輕松解決非線性方程組的數值求解問題，只需運行簡單的編程即可，避免了解決并聯機器人正解問題時大量繁瑣的數學計算。采用Matlab軟件編制程序實現3-PRRU并聯機器人位形的可視化，能夠確定所得到的位置正解是否滿足實際情況，同時也能進一步驗證正解數學模型的正確性，為以后的研究奠定基礎。

［1］王洪斌，魏立新，王洪瑞.并聯機器人的理論研究現狀［J］.自動化博覽，2002，(05):42－44.

［2］MERLET J P.Parallel robots［M］.Netherland:Kluwer Academic Publishers，2000.

［3］韓方元.并聯機器人運動學正解新算法及工作空間本體研究［D］.長春:吉林大學，2011.

［4］熊有倫.機器人學［M］.機械工業出版社，1993.

［5］張德豐.MATLAB程序設計與典型應用［M］.北京:電子工業出版社，2009.

［6］張鐵牛，陸中平，陳巧紅，等.基于 COSMOSMotion的3－PRRU并聯機器人運動仿真［J］.浙江理工大學學報，2011，27(6):885－889.

［7］趙新華.并聯機器人運動學理論研究［D］.天津:天津大學，2000.