求解近場散射問題的最小二乘方法

欒 天,王玉潔,鄭恩希

(1.北華大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,吉林 吉林 132033;2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所,長春 130012)

近場散射問題應(yīng)用廣泛,如近場光學(xué)顯微鏡的研發(fā)、生物微樣本的無損成像以及納米技術(shù)等[1-3].目前,關(guān)于近場散射問題數(shù)值計算的研究報道較少,已有方法主要包括Green函數(shù)方法[4]、有限元或有限差分方法[5]、邊界積分方法[6]及多重多極方法[7]等.最小二乘方法的理論框架最初由Stojek[8]提出,即在區(qū)域剖分前提下,利用Helmholtz方程的局部解構(gòu)造試探函數(shù)空間,并借助數(shù)值方法保證解在單元交界處的連續(xù)性,這樣與頻率相關(guān)的信息便包含在離散空間中,從而適用于數(shù)值求解高波數(shù)時諧散射問題,該方法目前已被應(yīng)用于有界障礙物散射[9-10]和光柵衍射[11]等問題中.

本文針對近場全內(nèi)反射顯微鏡的散射模型,提出一種最小二乘方法.為提高計算效率及在數(shù)值上捕捉近場信息,采用平面波函數(shù)和倏逝波函數(shù)逼近場的局部性態(tài),并在最小二乘框架下進行求解.數(shù)值實驗驗證了算法的有效性.

1 數(shù)學(xué)模型

圖1 模型結(jié)構(gòu)Fig.1 Geometry of the model

記k0為自由空間的波數(shù).入射場為平面波ui=exp(iαx+iηy),其中:α=n-k0sinθ;η=n-k0cosθ;θ∈(-π/2,π/2).在界面處入射波一部分能量被反射回下半空間產(chǎn)生反射波ur,另一部分能量透過界面進入上半空間產(chǎn)生透射波ut.當增加入射角,超出某一臨界值時,入射能量則被全部反射回下半空間,產(chǎn)生全反射現(xiàn)象.

沒有樣本時,記空間中的場分布為uref,稱為參考場.根據(jù)Maxwell電磁理論,TM極化(transverse magnetic polarization)情況下,uref滿足如下Helmholtz方程:

(1)

(2)

其中ur和ut分別表示反射波和透射波:

(3)

這里

(4)

考察方程(3),(4),當入射角θ大于臨界角θcr時,即k0n+<|α|,γ(α)為純虛數(shù),則透射場為

此時場ut在界面表面沿x軸傳播,且沿y軸正方向指數(shù)衰減,即ut為倏逝波.

若在基座上放置樣本S,則參考場uref與樣本相互影響將產(chǎn)生散射場us.記此時空間中總場u=uref+us,則在TM極化情況下,u滿足如下Helmholtz方程:

(5)

綜上,所考慮的近場散射問題數(shù)學(xué)描述為: 已知入射波ui,求全場u滿足:

(6)

其中g(shù)=(?ν-ik0n(x))uref.

2 最小二乘方法

?νk,jvk=?νj,kvj,vk|Γk,j=vj|Γk,j, ?νkvk-iσvk=g.

(7)

對函數(shù)v∈V,定義其在Γk,j上的躍度為

類似地,可定義?νv在Γk,j上的躍度并記為[?νv]Γk,j.于是,可定義如下目標泛函:

(8)

其中:a∈M(M=NP)是未知系數(shù);‖·‖0,D為D上的L2范數(shù).將最小二乘解作為ua的系數(shù),則ua即為所求問題的數(shù)值解.

選用p個平面波函數(shù)和2個倏逝波函數(shù)作為基函數(shù),即

φk,l|Ωk=eik0nkdk,l·(x-xk),l=1,2,…,p,

(9)

φk,p+1=eiβ(y-yk)eiα(x-xk),φk,p+2=eiβ(y-yk)e-iα(x-xk),

(10)

(11)

3 數(shù)值算例

下面針對本文提出的最小二乘方法進行數(shù)值實驗.程序代碼使用MATLAB語言.計算區(qū)域為Ω=[-l,l]×[-l,l],將Ω等矩形剖分成2nΩ×2nΩ(nΩ∈)個小單元,單元邊長為l/nΩ,取k0=1,θ=π/4,l=0.5.

例1n+=4,n-=10,nS=8.

圖的實部

圖的實部

圖4 L2誤差關(guān)于h的收斂性Fig.4 Convergence of error in L2-norm against h

圖5 L2誤差關(guān)于p的收斂性Fig.5 Convergence of error in L2-norm against p

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