時滯對振動主動控制系統控制效果的影響分析

張偉中 張 斌 伍曉紅 孫 清

1.浙江機電職業技術學院，杭州，310053 2.河南省電力勘測設計院，鄭州，450007 3.西安交通大學，西安，710049

0 引言

時滯系統普遍存在于自然和工程實際中，從自然界到人類社會，從自然科學、工程技術到社會科學，時滯現象無處不在［1-12］。在精密儀表、數控機床等自動化產品結構涉及的振動主動控制領域也不可避免地存在著時滯現象，傳感器信號的采集和傳輸、控制器的計算、作動器的作動過程等，都會導致作用于結構的控制力產生時滯［13-14］。時滯的存在使受控系統成為無限維系統，增加了其動力特性的復雜性，而且時滯反饋系統具有超越特征方程和無限多特征值，給系統的穩定性分析增加了難度，因此數值方法成為了分析時滯控制系統穩定性的有力工具。精細積分方法是為解決結構動力學計算而提出的，該算法簡單且計算精度很高，近年來在計算動力學問題、最優控制問題以及偏微分方程中得到應用［15-16］。但是對于時滯受控系統，當控制力與系統的位移和速度相關時，需要對荷載向量逐步進行賦值，故應用精細積分方法時須先對其進行修正。本文對精細積分方法進行改進，計算含時滯受控系統的動力學方程，得到了在不同時滯量下系統的響應。

1 含時滯振動控制系統的動力學方程

含雙時滯受控系統的動力學方程如下：

2 時滯受控系統動力響應的精細積分方法

首先進行變量代換，引入一對對偶變量，令

則式（1）可以表示為

令

則式（5）為非齊次微分方程，先求解其齊次解，齊次方程形式如下：

設時間步長為τ，則

令v0＝v（0），v1＝v（τ），v2＝v（2τ），…，vk＝v（k τ），則

下面求T，有

令Δt＝τ／N，當取N＝2n很大時，Δt很小，采用泰勒級數展開：

從而

由于Ta的元素值相對于單位矩陣I非常小，為減小計算機的舍入誤差，編程時單位矩陣I不參與累加及乘法運算，而是通過對Ta＝2Ta＋T2a進行n次循環計算得到Ta，當循環結束時，有

得到了齊次方程的解后，下面求解式（5），設非齊次項在時間步長（tk，tk＋1）內為線性變化，則式（5）可寫為

其中，P0＝ P（tk），P1＝ （P（tk＋1）-P（tk））／τ。式（5）的解可表示為

將t＝tk＋1代入式（14），由于exp（H（tk＋1-tk））＝exp（Hτ）＝T，因此有

在文獻［16］的算例中，每個時間點的荷載向量P0和P1都是已知的，在程序的初始可以提前賦值，但對本文求解的含有時滯的振動控制方程，由于控制力gpx（t-τ1）和gdx·（t-τ2）與該時間點τ1之前的位移以及τ2之前的速度有關，而系統的位移和速度是待求解的，無法提前預知，故荷載向量無法在程序初始時賦值，因此，P0和P1的求解成為解決問題的關鍵。

選取合適的時間步長τ，令τ與時滯量τ1和τ2滿足下述關系：

式中，l、p均為正整數。

設l＜p，對第k個時間步長的荷載向量進行計算，當k＜l-1時，有

對 k ＝ l-1， 設 vk＝ ［q（tk）p（tk）］T＝［qkpk］T，則有

對l≤k＜p-1，有

對k＝p-1，有

對k≥p，有

其中，qk-l、pk-p、qk-p等在第k步計算時已經為已知，此時可以逐步對P0和P1賦值，再根據式（15）求出每一步的響應。對于l≥p的情況，過程類似，此處不再贅述。

3 算例結果及分析

選取Elcentro波，峰值加速度a為200cm／s2，波形如圖1所示。取系統參數為：m＝1kg，c＝3 N·s／m，K ＝500N／m，初始條件為x（0）＝0，（0）＝0，則動力方程表達為

圖1 Elcentro波

采用前述精細積分方法，取時間步長為0.01s，當系統沒有控制時，時程響應曲線如圖2所示。

圖2 無控制時系統時程響應

圖3 取gp＝－0.020 000N／m，gd＝－2.388 877N·s／m時系統時程響應

圖4 取gp＝－0.199 960N／m，gd＝－11.470 657N·s／m時系統時程響應

從圖3～圖5可以看出，隨著控制增益gp和gd取值的增大，系統的響應趨于減小，則控制效果越來越好。

圖5 取gp＝－1.996 016N／m，gd＝－41.866 380N·s／m時系統時程響應

以上是不考慮時滯的情況，但是在工程實際中，時滯是不可避免的，下面采用精細積分算法分別計算不同時滯情況下的系統響應，并將每種時滯組合下系統響應的最大值即系統響應峰值與相應的時滯組合繪制分布圖。

（1）當 gp＝ -0.02N／m，gd＝ -2.388 877 N·s／m時，系統響應峰值位移量S分布如圖6所示。

圖6 系統響應峰值位移量S分布圖

（2）當 gp＝ -0.199 960N／m，gd＝-11.470 657N·s／m 時，時間響應分別為0～0.3s和0～0.06s時，系統響應峰值位移量S分布如圖7所示。

圖7 系統響應峰值位移量S分布圖

（3）當 gp＝ -1.996 016N／m，gd＝-41.866 380N·s／m時，系統響應峰值位移量S分布如圖8所示。

圖8 系統響應峰值位移量S分布圖

從圖6、圖7a和圖8a可以看出，系統的峰值分布主要隨τ2發生變化，這是由于在三組最優控制中，gd都明顯大于gp，因此與gd相關的時滯量τ2就對系統的響應起了決定性的作用。盡管系統響應峰值隨τ2增大上升之后又有回落，但是此時已經失去了控制效果，在圖6中回落的最低點峰值S＝0.006 763 3m（τ1＝0.19s，τ2＝0.25s），與系統無控的響應峰值位移量S＝0.007 329m相比，控制效果并不明顯。為此文中對時滯影響的討論主要集中在響應峰值隨時滯變化的上升階段。

因圖7a和圖8a中的峰值過大，為清楚描述峰值隨時滯變化的上升過程，將時滯的變化范圍縮小到0.06s和0.03s以內，分別得到圖7b和圖8b。

比較圖6、圖7b和圖8b可以看出，對于固定的控制增益，在變化的初期隨著時滯的增大，系統的響應峰值也增大。當時滯較小時，選擇較大的控制增益可以獲得較好的控制效果。

在圖6中，當τ1＝0.01s，τ2＝0.01s時，系統響應的峰值位移量S＝0.005 83m，而圖7b中，當τ1＝0.01s，τ2＝0.01s時，系統的響應峰值S＝0.003 388m，同無時滯情況下的兩種增益取值下的峰值對比趨于一致。但是同時，隨著時滯的增大，較大的控制增益會使系統更快地失去穩定，如圖8a，當τ1＝0.01s，τ2＝0.04s時，系統響應的峰值已經達到了1 741 100m，發散速度很快，而在圖6中，當τ1＝0.01s，τ2＝0.04s時，系統響應的峰值位移量S僅為0.006 227m，仍具有一定的控制效果。

4 結論

（1）最優控制方法對于無時滯系統可以獲得很好的控制效果，但對考慮時滯情況的受控系統則有一定的局限性，如果減小控制增益的加權矩陣R，得到的最優控制增益將增大，理論的控制效果也更好。

（2）時滯對系統控制效果的影響程度與反饋增益有關，隨著增益的增大而增大，并且時滯的增大會導致控制增益較大情況下系統響應很快發散；同時，較大的控制增益會使系統更快地失去穩定；為此應適當地調節時滯量和反饋控制增益，使它們相匹配，這樣可以使系統保持穩定狀態。因此應根據控制過程中的時滯量選擇合理的控制增益，以獲得更好的控制效果。

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