在直線上找一點使它到直線同側兩點的距離和最小教學初探

張震康

幾何作圖是幾何基礎知識的基本要求，而在初中幾何作圖中，最值問題的作圖是比較困難的作圖，這類題型是歷年來中考數學的熱點，備受青睞，而這類題型比較貼近生活實際，創意新穎設計巧妙，很能激起學生的學習興趣，也能考查學生的綜合能力，也正是因為綜合知識的運用，所以往往比較難以想到求作方法，如人教版八年級上冊第42頁探究題就是這類最值問題。

課本探究題：如圖要在燃氣管道1上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣，泵站修在管道什么地方，可使所用輸氣管最短？（圖1）

我們可以把管道1近似看作一條直線，問題就是在l上找一點C，使AC與CA的和最小，即在直線上確定一點，使它到直線同側兩點的距離這和最小，這是最常見的最值問題，如圖2，課本是這樣處理的：

以1為對稱軸做A（或B）的對稱點A′（或B′），連結A′B（或AB′）？交l于C點？？，C即所求點

證明如圖3

為了證明點C的位置就是所求，我們不妨在直線1上另外取一點C′.連接AC′，BC′，A′C′.

因為直線l是點A、A′的對稱軸，點C，C′在L上，所以CA=CA′，C'A=C′A′.

AC+CB=A′C+CB=A′B

在AA′BC′中，

∵A'B

∴AC+CB

即AC+CB最小。

如果按照課本上方法直接去作圖，學生很難理解為什么這樣作圖，為什么這么點是最點。

但是稍作改動，設想如果兩個點在管道的兩旁如下圖如何作圖？這樣問題就簡單化了，很多同學都可以馬上回答：連接A、B兩點交l于C，點C即為所求。

為什么？那是因為兩點之間線段最短。

假如這兩個鎮在管道的同側呢，又如何確定這個泵站的位置？能否把A鎮或者B鎮移到管道的另一側去呢？如圖4.實際上可行嗎？那怎么辦？我們可以在圖上代表A、B鎮的點在圖上移動，這樣的移動要符合什么條件？使它到管道上每一點的距離與原址到管道的距離一樣，這時你聯想到什么？線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等，線段是關于線段垂直平分線軸對稱圖形，即這兩點關于直線L對稱，那么怎么作圖也就明白了，這樣作圖就容易多了，對課本的作法和證明方法也就自然而然地理解了。

這時要求學生自己動手作點A或者點B的對稱點A′（或B′），然后連接A′B（或者AB′）交1于點C.（如圖5）問題得到解決。