具有隨機節點結構的復雜網絡同步研究*

劉金良

(南京財經大學應用數學學院,南京 210046)

(2012年8月18日收到;2012年9月20日收到修改稿)

1 引言

由于許多實際系統,如internet、電力系統、智能交通網絡等都可以通過復雜網絡模型進行描述,因此,近年來,復雜網絡成為研究熱點問題,受到物理、通信、計算機以及生命科學等領域學者的廣泛關注[1?4].其中,復雜網絡的同步問題更是備受關注.所謂復雜網絡的同步是指性質相同或相近的兩個或多個復雜網絡,通過系統間的相互作用,使得在不同初始條件下的各種演化的復雜網絡的狀態逐漸接近,最后達到全同的狀態.有關復雜網絡的同步問題已經有很多研究成果.文獻[5]利用滑模控制法對規則網絡的混沌同步問題進行了研究,針對一個混沌系統進行控制或驅使一個混沌系統同步于另一個混沌態的滑模控制法推廣到由多個混沌系統構成的復雜網絡的同步研究中,同時設計了網絡滑模面以及控制輸入,并依據穩定性理論分析了它們的有效性.基于網絡拆分思想并運用Lyapunov穩定性理論,文獻[6]研究了一類具有非線性耦合的多重邊賦權復雜網絡,給出了該類復雜網絡的同步準則.文獻[7]對一類具有不相同節點和非線性擾動的復雜網絡的同步問題進行了研究,作者通過使用自適應控制和脈沖控制的方法給出了具有更小保守性的復雜網絡的同步判據.

與此同時,在實際的動態系統中,很多復雜網絡系統的同步受到時滯的影響,如通訊網絡總信號的傳播通常是有時滯的,病毒在傳播中也是存在一定的時滯的.而時滯可能導致復雜網絡的系統性能下降,甚至震蕩或不穩定,因此,為了更好地模擬實際網絡,在復雜網絡的建模過程中,應該充分考慮到時滯所到來的影響.文獻[8,9]通過使用Lyapunov穩定性理論對一類具有耦合時滯的線性復雜網絡系統進行了研究,給出了具有更小保守型的同步判據.文獻[10]對一類具有耦合時滯的連續和離散的復雜網絡動態系統的同步問題進行了研究,然后通過對時滯進行劃分的思想,借助分段分析的方法得到了時滯依賴的復雜網絡同步的充分性判據,由于該方法利用了更多的時滯信息,因此得到的結論具有更小的保守性.文獻[11]對一類具有隨機非線性和概率時滯的復雜網絡研究了其族同步問題,然后基于隨機分析的理論得到了復雜網絡時滯概率分布依賴的族同步判據.

考慮復雜網絡系統的復雜性,其動態系統的節點非線性是很難確定的,因此考慮其節點的隨機變化就變得很有意義.已經有不少文獻對節點互異的復雜網絡進行了研究.文獻[12]對星形網絡和小世界網絡進行了研究,結果表明隨著耦合強度的增大,網絡中相鄰結點的兩個系統之間存在相同步現象,而且相同步行為與定義的量化指標之間存在較準確的對應關系.文獻[13]對節點結構互異的離散型時空混沌系統構成復雜網絡的反同步問題進行了研究,通過構造合適的Lyapunov函數,確定了復雜網絡中連接節點之間的耦合函數的結構以及控制增益的取值范圍,進而發現整個網絡存在穩定的混沌反同步現象.

基于上述討論,本文研究了具有隨機節點分布的復雜網絡的同步問題,通過引入一個服從Bernulli分布的隨機變量來表示節點的隨機變化.通過使用Lyapunov穩定性理論和隨機系統理論給出了該類復雜網絡同步穩定的充分性判據,其中,這些判據是以便于計算機matlab求解的線性矩陣不等式的形式給出.需要指出的是,該充分性判據不僅與復雜網絡的狀態時延有關,還與節點結構的概率分布有關.

2 網絡模型與預備條件

考慮由N個節點構成的連續復雜動態網絡,每個節點是n維子系統,其模型為

其中 xi(t)=(xi1(t),xi2(t),···,xin(t))T∈ Rn為第 i個節點的狀態變量;A,B是已知矩陣;f1(·),f2(·)∈Rn是連續可微的向量函數;Γl∈Rn×n(l=1,2)是已知的常數正定對角矩陣,表示內部耦合矩陣;G=(gij)∈RN×N是耦合配置矩陣,表示網絡拓撲結構和節點間的耦合強度,其元素gij定義為:若在節點i和節點 j(i?=j)間有連接,則gij=gji＞0,否則gij=gji=0(i?=j).矩陣G的對角元素定義[11]為

τ(t)為時變時滯,滿足τ1≤τ(t)≤τ2,其中 0≤τ1≤τ2,這里時滯下界τ1可以為0;δ(t)服從Bernulli分布,定義如下:

假設δ(t)滿足

則

注1 與傳統的復雜網絡[3?5]不同的是,這里用服從Bernulli分布的隨機變量δ(t)來表示復雜網絡孤立節點動力學行為的隨機變化.由δ(t)的定義可知,在復雜動態網絡系統(1)中,非線性函數f1(·)與 f2(·)按照 δ(t)進行隨機切換.

注2 系統模型(1)是具有一定代表性的復雜網絡模型,首先該模型考慮了復雜網絡節點動力學行為的隨機變化,其次模型考慮了復雜網絡節點的時滯,而且模型中既包含非時滯耦合項也包含時滯耦合項.

假設1 對任何u,v∈Rn,非線性函數 f1(·)與f2(·)滿足以下扇形區域條件:

注3 由假設1可知

其中

?表示對稱矩陣所對應的對稱元素(下同).

使用矩陣的Kronecker積,系統(1)可以重寫為緊湊形式:

其中

給出本文主要結論之前,首先給出如下引理.

引理1[14]對給定的τ1≤τ(t)≤τ2,x(t)∈Rn,以及任意的正定矩陣R∈Rn×n,有

引理2[15]假定0≤τm≤τ(t)≤τM,1,2以及?是已知的維數匹配矩陣,則

成立,當且僅當下面式子成立

3 主要結論

本節給出復雜網絡(9)式同步的穩定性準則.定義

則復雜網絡系統(9)式可以重寫為

定理1 對于給定的時滯信息0≤τ1＜τ2和節點概率分布信息δ0∈[0,1],系統(1)同步漸近穩定,若存在正定矩陣P＞0,Q1＞0,Q2＞0,R1＞0,R2＞ 0,合適維數的矩陣 Ni,Mi(i=1,2,···,6),以及適當維數的對角矩陣Λ1和Λ2,使得下面的線性矩陣不等式對s=1,2成立:

其中

證明 構造如下形式的Lyapunov泛函:

其中V1(xt)=xT(t)P x(t),

則V(xt)沿系統(14)式求如下算子運算:

并對其取數學期望得:

由引理1可知

而

由假設1和注3,存在對角陣Λ1和Λ2使得下式成立

應用自由權矩陣,有

注意到存在矩陣R2,使得

將(22)和(23)式代入(17)式的右邊,結合(18)—(25)式,可得

由(15)式可知,當s=1,2,利用Schur補引理,可得

再由引理2,可得

利用Lyapunov穩定性理論,系統(14)式同步漸近穩定,于是復雜網絡系統(1)的狀態是同步漸近穩定的.

注4 由定理1可以看出,復雜網絡系統(1)的同步漸近穩定不僅依賴于狀態時延τ1,τ2,還依賴于節點結構的概率分布.

下面給出上面結果的一個特例,其證明類似定理1的證明.

當δ(t)=1,也即不考慮復雜網絡系統(1)的隨機節點結構的變化,此時系統(1)退化成

利用Kronecker積,系統(30)式可以重寫為下面緊湊形式:

定義

則復雜網絡系統(31)式可以重寫為

類似于定理1,構造如下Lyapunov泛函

使用自由權矩陣N和M:

可以得到如下復雜網絡(30)式同步的穩定性準則.

定理2 對于給定的時滯信息0≤τ1＜τ2,系統(30)同步漸近穩定,若存在正定矩陣P＞0,Q1＞0,Q2＞0,R1＞0,R2＞0,合適維數的矩陣Ni,Mi(i=1,2,···,5) 以及適當維數的對角矩陣Λ,使得下面的線性矩陣不等式對s=1,2成立:

其中

4 數值仿真

考慮如下具有5個節點的復雜網絡系統,每個節點的動力學行為通過如下系統來描述:

其中

假設外部耦合矩陣與內部耦合矩陣可以分別通過如下形式給出:

當節點的概率分布δ0=0.7,令時滯下界τ1=0.1,通過定理1,通過使用matlab的LMI工具箱求解(15)式可得,時滯上界τ2=1.3,并且對不同的節點概率分布δ0,當τ1=0.1時,可以分別得到對應的時滯上界τ2(見表1).

選擇如下初始條件:

當 τ1=0.1,τ2=1.2,δ0=0.6,可得圖 1 和圖 2 仿真曲線.其中,圖1給出了時滯τ(t)的變化規律,圖2給出了復雜網絡系統(9)式的狀態相應曲線,其中xj(i=1,2,···,5;j=1,2)表示第 i個節點的第j個狀態,由該曲線可以看出該復雜網絡可以很快達到同步.

圖1 當τ1=0.1,τ2=1.2,δ0=0.6時,時滯τ(t)的變化曲線

表1 對于不同的δ0(τ1=0.1),系統所允許的最大時滯τ2

圖2 當τ1=0.1,τ2=1.2,δ0=0.6時,復雜網絡系統狀態曲線

上面的算例里面,我們僅選擇N=5,隨著節點的增多,上面結論也能很好地使得系統達到同步.如其他條件不變,當N=10,外部耦合矩陣

當初始狀態

復雜網絡系統(9)式的狀態相應曲線如圖3所示.

圖3 當τ1=0.1,τ2=1.2,δ0=0.6時,復雜網絡系統狀態曲線

5 結論

本文對一類具有隨機節點分布的復雜網絡的同步問題進行了研究.借助Lyapunov穩定性理論和隨機系統理論給出了該類復雜網絡同步穩定的充分性判據.其中,這些判據是以便于計算機matlab求解的線性矩陣不等式的形式給出.仿真算例表明了本文方法的有效性.

[1]Strogatz S H 2001 Nature 410 268

[2]Albert R,Barabasi A L 2002 Rev.Mod.Phys.74 47

[3]Wang J A 2012 Acta Phys.Sin.61 020509(in Chinese)[王健安2012物理學報61 020509]

[4]L¨u L,Liu S,Zhang X,Zhu J B,Shen N,Shang J Y 2012 Acta Phys.Sin.61 090504(in Chinese)[呂翎,柳爽,張新,朱佳博,沈娜,商錦玉2012物理學報61 090504]

[5]L¨u L,Li Y S,Wei L L,Yu M,Zhang M 2012 Acta Phys.Sin.61 120504(in Chinese)[呂翎,李雨珊,韋琳玲,于淼,張檬2012物理學報61 120504]

[6]Bian Q X,Yao H X 2010 Acta Phys.Sin.59 3027(in Chinese)[卞秋香,姚洪興2010物理學報59 3027]

[7]Yang X,Cao J,Lu J 2012 IEEE Trans.Circuits Sys.I 59 371

[8]Zhang Q,Zhao J 2012 Chin.Phys.21 040502

[9]Gao H,Lam J,Chen T 2006 Phys.Lett.A 360 263

[10]Yue D,Li H 2010 Neurocomputing 73 838

[11]Li H 2011 J.Phys.A:Math.Theor.44 105101

[12]Lu J,Zhang R,Xu Z Y 2010 Acta Phys.Sin.59 5949(in Chinese)[盧靜,張榮,徐振源2010物理學報59 5949]

[13]L¨u L,Liu S,Zhang X,Zhu J B,Shen N,Shang J Y 2012 Acta Phys.Sin.61 090504(in Chinese)[呂翎,柳爽,張新,朱佳博,沈娜,商錦玉2012物理學報61 090504]

[14]Gu K,Kharitonov V,Chen J 2003 Stability of Time-Delay Systems(Berlin:Springer)p315

[15]Yue D,Tian E,Zhang Y 2009 Int.J.Robust Nonlin.19 1493